球體的表面積與體積

球的體積和表面積割圓術(shù)早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而創(chuàng)造了“倍邊法割圓術(shù)〞。他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小〞。這樣重復(fù)下去，就到達(dá)了“割之又割，以至于不可再割，那么與圓合體而無所失矣〞。這是世界上最早的“極限〞思想。球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球(即球體):球面所圍成的幾何體。它包括球面和球面所包圍的空間。半徑是R的球的體積：推導(dǎo)方法：分割求近似和化為準(zhǔn)確和復(fù)習(xí)回憶球的概念球心球的半徑球的直徑二、球的概念點集角度旋轉(zhuǎn)體角度球面所圍成的幾何體叫球體簡稱球。球面:半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球體與球面的區(qū)別？在空間內(nèi)到一個定點的距離為定長的點的集合0半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球體與球面的區(qū)別？球面概念：球面所圍成的幾何體叫球體簡稱球。0ACD球心半徑直徑半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面〔旋轉(zhuǎn)體角度〕球面概念：在空間內(nèi)到一個定點的距離為定長的點的集合〔點集的角度〕二、球的概念球的截面的形狀圓面球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓球的體積公式的推導(dǎo)球的體積公式及應(yīng)用球的外表積公式及應(yīng)用球的外表積公式的推導(dǎo)教學(xué)重點教學(xué)難點重點難點球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓R

高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積比照球的體積學(xué)習(xí)球的知識要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來．所以我們先來回憶圓面積計算公式的導(dǎo)出方法．球的體積我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無窮大時，就得到了圓的面積公式．即先把半球分割成n局部，再求出每一局部的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積．球的體積分割求近似和化為準(zhǔn)確和問題:球的半徑為R,用R表示球的體積.AOB2C2球的體積AOOROA球的體積球的體積球的體積2)假設(shè)每小塊外表看作一個平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點便得到n個棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積,當(dāng)n趨近于無窮大時就精確到等于球的體積.1)球的外表是曲面,不是平面,但如果將外表平均分割成n個小塊,每小塊外表可近似看作一個平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的外表積.當(dāng)n趨近于無窮大時,這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的外表積.球面不能展開成平面圖形，所以求球的外表積無法用展開圖求出，如何求球的外表積公式呢?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,是否也可借助于這種極限思想方法來推導(dǎo)球的外表積公式呢?下面，我們再次運用這種方法來推導(dǎo)球的外表積公式．球的外表積球的外表積第一步：分割球面被分割成n個網(wǎng)格，外表積分別為：那么球的外表積：那么球的體積為：OO球的外表積第二步：求近似和由第一步得：OO球的外表積第三步：化為準(zhǔn)確和如果網(wǎng)格分的越細(xì),那么:“小錐體〞就越接近小棱錐O球的外表積例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)例題講解(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,那么鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計算器算得:例題講解(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?球內(nèi)切于正方體側(cè)棱長為5cm例題講解例2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的外表積。ABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，那么由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，那么正方體對角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1O例題講解理論遷移例3如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：（1）球的體積等于圓柱體積的；（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.OABC例4.過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，外表積．例題講解OABC例4過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，外表積．解：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面⊙O′的半徑為r，例題講解2.一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是4cm,這個球的體積為＿＿＿cm3.83.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比_________.1.球的直徑伸長為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼模弑?練習(xí)一課堂練習(xí)⑴正方體的內(nèi)切球直徑＝⑵正方體的外接球直徑＝⑶與正方體所有棱相切的球直徑＝探究假設(shè)正方體的棱長為a，那么a4.假設(shè)兩球體積之比是1:2，那么其外表積之比是______.練習(xí)二1.假設(shè)球的外表積變?yōu)樵瓉淼?倍,那么半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.2.假設(shè)球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，那么外表積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.3.假設(shè)兩球外表積之比為1:2，那么其體積之比是______.課堂練習(xí)7.將半徑為1和2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么這個大鉛球的外表積是______.5.長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為，則它的外接球的表面積為_____.6.假設(shè)兩球外表積之差為48π,它們大圓周長之和為12π,那么兩球的直徑之差為______.練習(xí)二課堂練習(xí)了解球的體積、外表積推導(dǎo)的根本思路：分割→求近