高二數(shù)學(xué)階段性測試－綜合能力檢測

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精階段性測試題五（選修1－1綜合能力檢測)時(shí)間120分鐘，滿分150分.一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列命題錯(cuò)誤的是()A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1,則x2－3x＋2≠0”B．若命題p:?x∈R，x2＋x＋1＝0,則?p為:?x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∧q為假命題,則p，q均為假命題D．“x>2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件［答案］C[解析］p∧q為假命題,則p，q中至少有一個(gè)是假命題即可，不一定p，q都是假命題．2．設(shè)p：大于90°的角叫鈍角，q:三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，則p與q的復(fù)合命題的真假是(）A．“p∨q”假 B．“p∧q"真C．“?q”真 D．“p∨q”真[答案]D［解析]p假，q真，故“p∨q”真．3．已知a，b,c，d成等比數(shù)列，且拋物線y＝x2＋x－1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b,c）,則ad等于（）A.eq\f（5，8） B．－eq\f(5,8)C。eq\f（7，4） D．－eq\f（7,4）［答案］A[解析］拋物線y＝x2＋x－1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，－\f（5，4）)）＝（b,c），∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（b＝－\f（1,2)，，c＝－\f（5，4).））∵a，b，c，d成等比數(shù)列，則有ad＝bc＝eq\f(5，8）,故選A.4．平面內(nèi)有一長度為2的線段AB和一動(dòng)點(diǎn)P，若滿足｜PA｜＋|PB|＝6，則｜PA｜的取值范圍是()A．[1,4］ B．[1，6]C．[2，6] D．［2,4］［答案]D[解析]因?yàn)閨PA|＋|PB｜＝6〉2，所以P點(diǎn)的軌跡為橢圓,所以3－1≤PA≤3＋1，即|PA｜∈［2，4］．5．已知函數(shù)f（x）＝x2＋2xf′（1),則f(－1）與f（1)的大小關(guān)系是（）A．f(－1)＝f（1) B．f（－1)<f（1）C．f(－1）>f（1） D．無法確定［答案］C［解析］f′（x)＝2x＋2f′（1），令x＝1，得f′（1)＝2＋2f′(1），所以f′(1）＝－2，因此f(x)＝x2－4x，f（－1）＝5,f（1）＝－3,即f（－1）〉6．若曲線Cy＝x3－2ax2＋2ax上任意點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角，那么整數(shù)a的值等于（）A．－2 B．0C．－1 D．1［答案]D[解析］曲線C上任意點(diǎn)處切線的傾斜角都是銳角,所以y′>0恒成立，即3x2－4ax＋2a>0恒成立，Δ＝16a2－24a〈0,解得0<a<eq\f(3，2),因?yàn)閍為整數(shù)，所以a＝1.7．已知2x＋y＝0是雙曲線x2－λy2＝1的一條漸近線,則雙曲線的離心率為（）A.eq\r（2) B.eq\r（3)C。eq\r（5） D．2[答案]C[解析]x2－λy2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f（1,\r（λ）)x，所以eq\f（1，\r（λ））＝2，所以λ＝eq\f(1,4）,所以e＝eq\r（1＋\f(b2，a2）)＝eq\r（1＋4）＝eq\r(5）。8．命題“?x0∈R，eq\f（1，\r（2x0－3））〉1”的否定是(）A．?x0∈R，eq\f（1，\r(2x0－3))≤1B．?x0∈R,eq\f（1,\r(2x0－3))>1C．?x0∈R，eq\f（1，\r(2x0－3))≤1D．?x0∈R，eq\f(1，\r(20－3）)〈1［答案］C［解析]特稱命題的否定為全稱命題，故選C。9．由線y＝ex在點(diǎn)(2，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為(）A.eq\f（9,4）e2 B．2e2C．e2 D.eq\f(e2,2）[答案]D［解析］因?yàn)閥′＝ex，所以k＝e2，故切線方程為y－e2＝e2（x－2）,因此，切線與兩標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f（1，2）×e2×1＝eq\f（e2，2），故選D.10．函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時(shí)取得極值，則a等于（）A．2 B．3C．4 D．5［答案]D［解析］∵f′（x）＝3x2＋2ax＋3，又f（x）在x＝－3時(shí)取得極值,∴f′(－3)＝30－6a＝0，則a11．已知雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a〉0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且｜PF1｜＝4|PF2｜,則此雙曲線的離心率e的最大值為(）A。eq\f（5,3） B。eq\f（4,3)C．2 D.eq\f（7，3)［答案]A［解析］e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2｜，｜PF1|－｜PF2｜)≤eq\f（|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2｜）＝eq\f(5|PF2|，3|PF2|)＝eq\f（5，3）.12．下列四圖都是同一坐標(biāo)中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象,其中一定不正確的序號(hào)是（）A．①② B．③④C．①③ D．①④[答案］B[解析]二次函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)，③中x〈0時(shí),f′（x)>0,f(x)在（－∞，0）內(nèi)應(yīng)遞增,故③為假，同理，知④也為假．二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題4分,共16分,將正確答案填在題中橫線上)13．實(shí)數(shù)系方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)比1大，一個(gè)比1小的充要條件是________．[答案]a＋b＋1<0[解析］實(shí)數(shù)系方程x2＋ax＋b＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)比1大，一個(gè)比1小的充要條件是f(1)＝a＋b＋1<0.14．△ABC的三邊,a，b,c,已知a>c〉b，且成等差數(shù)列，若A（－1,0），B(1,0），則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為________．[答案］eq\f(x2，4）＋eq\f(y2，3）＝1(y≠0，且x<0)［解析]由題意得a＋b＝2c＝4,根據(jù)橢圓的定義可知，其軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4，焦距為2的橢圓,因?yàn)閍>c>b15．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值,在x＝3處有極小值,則a＝________,b＝________.［答案]－3－9［解析]y′＝3x2＋2ax＋b，則－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的兩根，∴a＝－3，b＝－9。16．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù)，若｜eq\o（PA，\s\up6（→)）|－｜eq\o（PB,\s\up6（→))|＝k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up6（→））＝eq\f(1，2)(eq\o（OA,\s\up6（→)）＋eq\o（OB,\s\up6（→)）），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線eq\f（x2,25)－eq\f（y2,9)＝1與橢圓eq\f(x2，35)＋y2＝1有相同的焦點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)為______________（寫出所有真命題的序號(hào)）．［答案]③④［解析］①中當(dāng)k＝|AB|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一條射線．②中點(diǎn)P的軌跡是以AC中點(diǎn)為圓心，以定圓半徑的一半長為半徑的圓．三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．（本題滿分12分）已知p5x2－4x－1>0,qeq\f（1，x2＋4x－5)>0，試判斷?p是?q的什么條件？[解析]由5x2－4x－1〉0，得x<－eq\f(1，5）或x>1，即px<－eq\f（1，5）或x>1；由eq\f(1，x2＋4x－5)〉0,得x〈－5或x>1,即qx〈－5或x>1，容易判斷p是q的必要不充分條件,從而?p是?q的充分不必要條件．18．(本題滿分12分)已知x∈R，求證：cosx≥1－eq\f(1,2）x2.［解析]令F（x)＝cosx－1＋eq\f(1,2)x2,則F′(x)＝－sinx＋x，當(dāng)x≥0時(shí)F′(x)≥0，∴F(x）在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又F(0)＝0，即x∈[0，＋∞)時(shí)，恒有F(x)≥0，即cosx≥1－eq\f（x2，2)。又F(－x)＝cos(－x)－1＋eq\f（(－x）2，2）＝cosx－1＋eq\f(x2，2）＝F(x），∴F(x)是R上的偶函數(shù),∴當(dāng)x〈0時(shí)，恒有F（x）≥0，即cosx≥1－eq\f（x2，2)，綜上所述，對(duì)一切x∈R,都有cosx≥1－eq\f(x2,2)。19．(本題滿分12分）設(shè)f(x）＝ex（ax2＋x＋1)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行．求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性．［解析］f′(x)＝ex（ax2＋x＋1＋2ax＋1)，由條件知，f′（1）＝0,故a＋3＋2a＝0?a于是f′（x）＝ex(－x2－x＋2)＝－ex(x＋2）（x－1)，故當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(1，＋∞）時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x∈(－2,1）時(shí)，f′（x）〉0,從而f(x)在(－∞,－2),(1,＋∞）上單調(diào)遞減，在(－2，1)上單調(diào)遞增．20．(本題滿分12分）（2009·全國Ⅱ文,21）設(shè)函數(shù)f(x）＝eq\f(1,3）x3－（1＋a）x2＋4ax＋24a，其中常數(shù)a>1.（1）討論f（x）的單調(diào)性;(2)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍．[解析]本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．解：(1）f′(x)＝x2－2（1＋a）x＋4a＝（x－2)（x－2由a>1知，當(dāng)x<2時(shí)，f′（x)〉0,故f（x）在區(qū)間（－∞，2)上是增函數(shù)；當(dāng)2〈x〈2a時(shí)，f′（x)<0，故f(x）在區(qū)間(2,2當(dāng)x>2a時(shí)，f′（x）〉0，故f（x)在區(qū)間(2綜上，當(dāng)a〉1時(shí),f（x）在區(qū)間(－∞，2）和(2a,＋∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2（2)由（1)知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x)在x＝2a或xf(2a）＝eq\f(1，3）（2a)3－(1＋a）(2a)2＋4a·2a＝－eq\f(4,3）a3＋4a2＋24a，f(0)＝24a由假設(shè)知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a>1，，f（2a)〉0，，f(0)〉0，））即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a>1,,－\f(4,3）a(a＋3）（a－6）〉0，，24a>0。)）解得1<a〈6.故a的取值范圍是（1，6)．21．(本題滿分12分）一條斜率為1的直線l與離心率為eq\r(3）的雙曲線eq\f（x2，a2)＝eq\f（y2,b2)＝1(a〉0，b〉0)交于P，Q兩點(diǎn),直線l與y軸交于R點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6（→）)·eq\o（OQ，\s\up6(→))＝－3，eq\o（PQ，\s\up6（→)）＝4eq\o(RQ,\s\up6（→）），求直線與雙曲線的方程．[解析]由e＝eq\r（3），所以c2＝3a2，所以b2＝2a2,所以雙曲線方程為2x2－y2＝2a2,設(shè)直線ly＝x＋m，R(0，m)，P(x1，y1),Q(x2，y2)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x＋m，，2x2－y2＝2a2，))?x2－2mx－m2－2a2＝0,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＋x2＝2m，，x1x2＝－m2－2a2.)）①又因?yàn)閑q\o(OP，\s\up6(→)）·eq\o(OQ，\s\up6（→）)＝－3，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝4eq\o（RQ,\s\up6(→)），則有x1x2＋y1y2＝－3,所以2x1x2＋m(x1＋x2）＋m2＋3＝0，②eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－x1＝4x2，,y2－y1＝4（y2－m)，）)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－3x2,，3y2＋y1＝4m.））③由①,③得x2＝－m，x1＝3m，m2＝a2,代入②得m2＝1，a2＝1，所以m＝±1，a2＝1，b2＝2，所以所求的直線與雙曲線方程分別是y＝x±1，x2－eq\f(y2，2)＝1.22．（本題滿分14分）已知f（x）＝x3－eq\f(1，2)x2＋bx＋c。(1）若f（x）的圖象有與x軸平行的切線，求b的取值范圍．（2)若f（x）在x＝1時(shí)取得極值，且x∈(－1,2），f（x）〈c2恒成立，求c的取值范圍．［解析](1)f′（x）＝3x2－x＋b，由已知f′（x）＝0有實(shí)數(shù)解，即3x2－x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝1－12b≥0.故b≤eq\f(1,12）.（2)由題意x＝1是方程3x2－x＋b＝0的一個(gè)根,設(shè)另一根為x0,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋1＝\f(1,3），,x0×1＝\f(b,3），）)?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(2,3)，，b＝－2.))∴f(x）＝x3－eq\f（1，2）x2－2x＋c，f′(x）＝3