新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章函數(shù)1生活中的變量關(guān)系課件北師大版必修第一冊

§1

生活中的變量關(guān)系自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解生活中兩個變量之間的依賴關(guān)系現(xiàn)象.2.了解生活中兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系現(xiàn)象.3.能辨析依賴關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系.4.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、依賴關(guān)系【問題思考】1.某人坐摩天輪一圈用時20min.若摩天輪勻速轉(zhuǎn)動,則他的海拔高度與摩天輪轉(zhuǎn)動的時間有依賴關(guān)系嗎?當(dāng)他轉(zhuǎn)動一圈位于摩天輪一半高度時,摩天輪轉(zhuǎn)了多少分?提示:該人的海拔高度與摩天輪轉(zhuǎn)動的時間有依賴關(guān)系.當(dāng)他轉(zhuǎn)動一圈位于摩天輪一半高度時,摩天輪轉(zhuǎn)了5

min或15

min.2.在某變化過程中有兩個變量,如果其中一個變量的值發(fā)生了變化,另一個變量的值也會隨之發(fā)生變化,那么就稱這兩個變量具有依賴關(guān)系.二、函數(shù)關(guān)系【問題思考】1.若某人坐摩天輪一圈用時20min,摩天輪勻速轉(zhuǎn)動,現(xiàn)將摩天輪的轉(zhuǎn)動時間t當(dāng)作自變量,他的海拔高度h為因變量,則每取一個t值,有幾個h值與之對應(yīng)?提示:每取一個t值,有唯一一個h值與之對應(yīng).2.如果在一個變化過程中,有兩個變量x和y,對于變量x的每一個值,變量y都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么y就是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量.3.下列說法不正確的是(

)A.依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系B.函數(shù)關(guān)系是依賴關(guān)系C.如果變量m是變量n的函數(shù),那么變量n也是變量m的函數(shù)D.如果變量m是變量n的函數(shù),那么變量n不一定是變量m的函數(shù)解析:根據(jù)依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別可知A,B正確.若變量m是變量n的函數(shù),因?yàn)闈M足函數(shù)關(guān)系的自變量n對因變量m可以是多對一,此時若把m換成自變量,n換成因變量,顯然對于m的每一個取值,可能會有多個n與之對應(yīng),所以變量n不是變量m的函數(shù).故C錯誤,D正確.答案:C三、分段函數(shù)【問題思考】1.某市空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則收取:①5km以內(nèi)(含5km),票價2元.②5km以上,每增加5km,票價增加1元(不足5km的按5km計算).已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1km,沿途(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)有11個公共汽車站.請根據(jù)以上內(nèi)容,回答下面的問題:(1)從起點(diǎn)站出發(fā),公共汽車的行程x(km)與票價y(元)間的函數(shù)關(guān)系是什么?(2)這種函數(shù)關(guān)系的特征是什么?提示:(1)當(dāng)0<x≤5時,y=2;當(dāng)5<x≤10時,y=3,(2)在給定范圍內(nèi),對于自變量x的不同取值,對應(yīng)關(guān)系不同.2.形如上述的函數(shù),一般叫作分段函數(shù).【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)圓的周長與其直徑的比值是常量.(√)(2)一般地,一個人的能力與他受教育的程度之間是依賴關(guān)系.(√)(3)發(fā)射升空的火箭高度與發(fā)射的時間之間是函數(shù)關(guān)系.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

依賴關(guān)系與函數(shù)關(guān)系【例1】

下列各組中兩個變量之間是否存在依賴關(guān)系?其中哪些是函數(shù)關(guān)系?(1)球的體積和它的半徑;(2)速度不變的情況下,汽車行駛的路程與行駛時間;(3)家庭的收入與消費(fèi)支出;(4)正三角形的面積和它的邊長.解:(1)中,球的體積V與半徑r間存在

的關(guān)系.(2)中,在速度不變的情況下,行駛路程s與行駛時間t之間存在正比例關(guān)系.(3)中,家庭的收入與消費(fèi)支出間存在關(guān)系,但具有不確定性.(4)中,正三角形的面積S與其邊長a間存在

的關(guān)系.綜上可知(1)(2)(3)(4)中兩個變量間都存在依賴關(guān)系,其中(1)(2)(4)是函數(shù)關(guān)系.判斷兩個變量間有無依賴關(guān)系,主要看其中一個變量變化時,是否會導(dǎo)致另一個變量隨之變化.而判斷兩個具有依賴關(guān)系的變量是否具有函數(shù)關(guān)系,關(guān)鍵是看兩個變量之間的關(guān)系是否具有確定性,即考察對于一個變量的每一個值,另一變量是否都有唯一確定的值與之對應(yīng).【變式訓(xùn)練】

諺語“瑞雪兆豐年”說明(

)A.下雪與來年的豐收具有依賴關(guān)系B.下雪與來年的豐收具有函數(shù)關(guān)系C.下雪是豐收的函數(shù)D.豐收是下雪的函數(shù)解析:積雪層對越冬作物具有防凍保暖的作用,大雪可以防止土壤中的熱量向外散發(fā),又可阻止外界冷空氣的侵入,具有增墑肥田的作用.所以下雪與來年的豐收具有依賴關(guān)系,但不是函數(shù)關(guān)系.答案:A探究二

用圖象表示變量間的關(guān)系【例2】

某市一天24h內(nèi)的氣溫變化,如圖所示.

上午8時的氣溫是多少?全天的最高氣溫、最低氣溫分別大約是多少?解:上午8時的氣溫是0

℃,全天最高氣溫大約是9

℃,在14時達(dá)到,全天最低氣溫大約是-2

℃,在4時達(dá)到.1.本例中條件不變,請問大約在什么時刻,氣溫為0℃?解:大約在8時和22時,氣溫為0

℃.2.本例中條件不變,大約在什么時間內(nèi),氣溫在0℃以上?兩個變量有什么特點(diǎn),它們具有怎樣的對應(yīng)關(guān)系?解:大約在8時到22時之間,氣溫在0

℃以上,變量0≤t≤24,變量-2≤θ≤9,由于圖象是連續(xù)的,可知它們之間具有隨著時間的增加,氣溫先降再升再降的變化趨勢,所以θ與t具有依賴關(guān)系,也具有函數(shù)關(guān)系.對于這類問題,求解的關(guān)鍵是充分利用圖象.探究三

用表格表示變量間的關(guān)系【例3】

聲音在空氣中傳播的速度簡稱聲速,實(shí)驗(yàn)測得聲速與氣溫的一些數(shù)據(jù)如表.(1)根據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)作圖,由圖可看出變量聲速是隨什么變化?(2)求x與y間的關(guān)系式;(3)氣溫為22℃時,某人看到煙花燃放5s后才聽到聲響,那么此人與燃放煙花所在地相距約多少米?解:(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),可作出如下圖.

由圖可看出變量聲速隨氣溫的變化而變化.對于這類通過表格來反映兩個變量之間關(guān)系的問題,求解時根據(jù)表中兩個變量對應(yīng)數(shù)據(jù),分析其變化情況,即可做出判斷.易

錯

辨

析【典例】

一高為H、滿缸水量為V0的魚缸軸截面如圖2-1-2,其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出.若魚缸中水深為h時,水的體積為V,則V與h間的關(guān)系的大致圖象可能是圖中的(

).錯解

因?yàn)樗诓煌５亓鞒?所以水的體積V在不斷減少,由魚缸的形狀可知,水的體積V先減少得快,后減少得慢,故選C.答案

C以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解審題不細(xì)致,沒弄清題意,不理解V與h的關(guān)系而致誤.正解:由魚缸的形狀可知,水的體積V隨著h的減小,先減少得慢,后減少得快,又減少得慢,故選B.答案:B這類問題審題要仔細(xì),分清變量間的關(guān)系.【變式訓(xùn)練】

一人騎著自行車一路勻速行駛,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽擱了一些時間.圖中與這件事正好吻合的圖象是(其中x軸表示時間,y軸表示路程)(

)解析:開始一段時間路程逐漸增大,增大時的速度相同,圖象是一直線段,耽擱的時間段路程不變,圖象與x軸平行,然后行駛路程在原來的基礎(chǔ)上又增大,由題中圖象知選A.答案:A隨

堂

練

習(xí)1.下列兩個變量之間的關(guān)系,不是函數(shù)關(guān)系的是(

)A.多邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和

B.正方形的邊長和面積C.圓的面積和半徑

D.人的體重和身高答案:D2.下圖是某市某一天的溫度隨時間變化情況的圖象.由圖象可知,下列說法錯誤的是(

).

A.這天15時的溫度最高B.這天3時的溫度最低C.這天的最高溫度與最低溫度相差13℃D.這天21時的溫度是30℃解析:這天的最高溫度與最低溫度相差36-22=14

(℃),故C錯誤.答案:C3.當(dāng)圓柱底面半徑變化時(圓柱的高不變),圓柱的體積也隨之發(fā)生變化,在這個變化過程中,

是自變量,

是因變量.

答案:圓柱底面半徑

圓柱的體積4.一位騎自行車者和一位騎摩托車者在相距80km的兩城鎮(zhèn)間旅行時,路程和時間的關(guān)系如圖所示.由圖可知,騎自行車者用了6h(含途中休息的1h),騎摩托車者用了2h,有人根據(jù)這個圖象,提供了這兩個旅行者的如下信息,其中正確的信息是

.(填序號)

①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h,晚到1h;②騎自行車者是變速運(yùn)動,騎摩托車者是勻速運(yùn)動;③騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者.解析:由題中圖象可以看出騎自行車者早出發(fā)3

h,而晚到1

h,是變速運(yùn)動