新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章函數(shù)4函數(shù)的奇偶性與簡單的冪函數(shù)4.2簡單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件北師大版必修第一冊

4.2

簡單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解冪函數(shù)的概念.2.學(xué)會以簡單的冪函數(shù)為例研究函數(shù)性質(zhì)的方法.3.理解和掌握冪函數(shù)的圖象在第一象限的分類特征.4.能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理與冪函數(shù)有關(guān)的問題,加強(qiáng)直觀想象能力素養(yǎng)的培養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、冪函數(shù)的概念【問題思考】1.給出下列5個問題:①如果張紅購買了1元/kg的蔬菜wkg,那么她需要支付p=w元,這里p是w的函數(shù).②如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=a2,這里S是a的函數(shù).③如果正方體的棱長為a,那么正方體的體積V=a3,這里V是a的函數(shù).④如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長

,這里a是S的函數(shù).⑤如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1m,那么他騎車的平均速度v==t-1m/s,這里v是t的函數(shù).(1)上述5個問題中,若自變量都用x表示,因變量都用y表示,則對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式分別是什么?(2)上述5個問題中的函數(shù)有什么共同特征?(2)都是自變量出現(xiàn)在底數(shù)的位置上,指數(shù)為常數(shù),冪為函數(shù)值的函數(shù).2.一般地,形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù),即底數(shù)是自變量、指數(shù)是常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).3.一元二次函數(shù)都是冪函數(shù)嗎?提示:不一定.如y=3x2,y=x2-3x+2都不是冪函數(shù).只有二次項系數(shù)為1,無一次項和常數(shù)項的一元二次函數(shù)才是冪函數(shù).二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)【問題思考】(1)觀察上圖,將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表內(nèi).(2)通過對上述5個冪函數(shù)的圖象分析,哪個象限一定有冪函數(shù)的圖象?哪個象限一定沒有冪函數(shù)的圖象?提示:第一象限一定有冪函數(shù)的圖象,第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象.2.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象都過點

(1,1).(2)α為奇數(shù)時,y=xα為奇函數(shù);α為偶數(shù)時,y=xα為偶函數(shù).(3)當(dāng)α>0時,y=xα在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)α<0時,y=xα在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)y=2x3,y=x2+1和y=(x+1)3都是冪函數(shù).(

×

)(2)冪函數(shù)y=xα的定義域為R.(

×

)(2)若冪函數(shù)y=f(x)是一元二次函數(shù),則f(2)=4.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

冪函數(shù)的概念

形如y=xα的函數(shù)叫冪函數(shù),它具有三個特點(1)xα的系數(shù)為1.(2)指數(shù)為常數(shù).(3)底數(shù)為自變量.答案:B探究二冪函數(shù)的圖象【例2】

若冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖2-4-6,則a,b,c,d的大小關(guān)系是(

).A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c解析:在第一象限內(nèi),直線x=1的右側(cè)部分的圖象由下至上,對應(yīng)冪函數(shù)的冪指數(shù)依次增大,所以a>b>c>d.故選B.答案:B1.冪函數(shù)的圖象一定出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi),圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi),至于是否在第二或第三象限內(nèi)出現(xiàn)要看冪函數(shù)的奇偶性.2.冪函數(shù)y=xα的圖象分布與冪指數(shù)α的關(guān)系具有如下規(guī)律:在直線x=1的右側(cè),按“逆時針”方向,圖象所對應(yīng)的冪指數(shù)依次增大(如圖).【變式訓(xùn)練2】

已知(a+1)-1<(3-2a)-1,求a的取值范圍.探究三

冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1.比較冪值大小的方法(1)若指數(shù)相同,底數(shù)不同,則考慮利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)若指數(shù)不同,底數(shù)相同,則考慮借助圖象求解.(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同,則考慮插入中間數(shù),使這個數(shù)介于所比較的兩數(shù)之間,進(jìn)而比較大小.2.利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式的步驟(1)確定可以利用的冪函數(shù).(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性,將不等式的大小關(guān)系,轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系.(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍,注意分類討論思想的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練4】

已知冪函數(shù)f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)為偶函數(shù).(1)求f(x)的解析式;(2)若f(2a+1)>16,求實數(shù)a的取值范圍.解:(1)因為冪函數(shù)f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)為偶函數(shù),所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.當(dāng)m=2時,m+1=3不符合題意,舍去;當(dāng)m=3時,m+1=4符合題意,所以f(x)=x4.(2)由(1)知,不等式f(2a+1)>16可化為(2a+1)4>16,解得2a+1<-2或2a+1>2,易

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析因考慮不全面致誤【典例】

當(dāng)x∈(1,+∞)時,冪函數(shù)y=xα的圖象恒在直線y=x的下方,求實數(shù)α的取值范圍.錯解如圖①,當(dāng)0<α<1時,在區(qū)間(1,+∞)上,y=xα的圖象在直線y=x的下方.如圖(2)所示,當(dāng)α<0時,也符合題意,故實數(shù)α的取值范圍是α<1,且α≠0.(1)(2)以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽略了α=0這一特殊情況,在解答求取值范圍的題目時,一定要考慮全面.正解:當(dāng)0<α<1時,在區(qū)間(1,+∞)上,y=xα的圖象在直線y=x的下方,如圖①.當(dāng)α<0時,在區(qū)間(1,+∞)上,y=xα的圖象也在直線y=x的下方,如圖②.當(dāng)α=0時,在區(qū)間(1,+∞)上,y=xα的圖象也在直線y=x的下方,如圖③.故實數(shù)α的取值范圍是(-∞,1).(1)(2)(3)準(zhǔn)確掌握冪函數(shù)的概念,此外分類討論題目要考慮全面,切不可丟掉某些情況.【變式訓(xùn)練】

已知冪函數(shù)

(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,則n=

.解析:因為f(x)為冪函數(shù),所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.當(dāng)n=1時,f(x)=x-2;當(dāng)n=-3時,f(x)=x18.又f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以只有n=1符合題意.答案:1隨

堂

練

習(xí)答案:C2.若冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2,8),則滿足不等式f(a-3)>f(1-a)的實數(shù)a的取值范圍是

.

解析:設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xα,因為其圖象過點(2,8),所以2α=8=23,所以α=3,即f(x)=x3.又因為f(x)=x3在R上是單調(diào)遞增的,所以由f(a-3)>f(1-a)得a-3>1-a,解得a>2.答案:(2,+∞)3.已知冪函數(shù)y=x2-a在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是

.

解析:因為y=x2-a在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以2-a<0,得a>2.答案:(2,+∞)4.比較下列各組中兩個數(shù)的大小:(1)(-6.3)4,(-6.2)4;(2)4.12,3.8-2,(-1.9)3.解:(1)∵(-6.3)4=6.34,