新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第二章導數(shù)及其應用4導數(shù)的四則運算法則4.2導數(shù)的乘法與除法法則課件北師大版選擇性必修第二冊

4.2導數(shù)的乘法與除法法則第二章內容索引010203自主預習新知導學合作探究釋疑解惑隨堂練習課標定位素養(yǎng)闡釋1.掌握導數(shù)的乘法和除法法則.2.能應用法則對有關函數(shù)求導.3.加強數(shù)學運算能力的培養(yǎng).自主預習新知導學導數(shù)的乘法與除法法則【問題思考】2.[f(x)g(x)]'=f'(x)g'(x)成立嗎?(利用f(x)=x2,g(x)=x3驗證)提示:不成立.驗證過程略.3.導數(shù)的乘法與除法法則一般地,若兩個函數(shù)f(x)和g(x)的導數(shù)分別是f'(x)和g'(x),則4.(1)(xsinx)'=

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(1)答案:sinx+xcosx【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若f'(x)=2x,則f(x)=x2.(×)(2)已知函數(shù)y=2sinx-cosx,則y'=2cosx+sinx.(√)(3)積的導數(shù)等于導數(shù)的積,商的導數(shù)等于導數(shù)的商.(×)(4)若f(x)=f'(a)x2+lnx(a>0),則f'(x)=2f'(a)x+.(√)合作探究釋疑解惑探究一利用導數(shù)的乘法、除法法則求導【例1】

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=x3·ex;(2)y=cosx·lnx;(3)y=.分析

分析函數(shù)的結構特征→選擇正確的求導公式和法則→運用公式求導→化簡解:(1)y'=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex=x2(3+x)ex.仔細觀察和分析函數(shù)的結構特征,緊扣求導運算法則,結合基本初等函數(shù)求導公式,不具備求導法則條件的可適當進行恒等變形.另外,對較復雜的函數(shù)求導時,可先化簡再求導.特別地,當對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是根式或分式時,可先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質將真數(shù)轉化為有理式或整式,然后求導.【變式訓練1】

求下列函數(shù)的導數(shù).探究二導數(shù)的四則運算【例2】

求下列函數(shù)的導數(shù).求函數(shù)導數(shù)的策略(1)先區(qū)分函數(shù)解析式的運算特點,即函數(shù)解析式的和、差、積、商,再根據(jù)導數(shù)的運算法則求導數(shù).(2)對于三個以上函數(shù)的積、商的導數(shù),依次轉化為“兩個”函數(shù)的積、商的導數(shù)計算.【變式訓練2】

求下列函數(shù)的導數(shù):探究三利用導數(shù)求參數(shù)【例3】

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx的圖象過點(1,5),其導函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖2-4-1,求f(x)的解析式.分析

y=f'(x)的圖象過點(1,0),(2,0),故f'(1)=0,f'(2)=0,再結合f(1)=5求a,b,c.圖2-4-1解:∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2x3-9x2+12x.在例3條件下,求曲線y=f(x)在點(1,5)處的切線方程.解:由例3題圖知f'(1)=0,即曲線y=f(x)在點(1,5)處的切線的斜率為0,故切線方程為y=5.三次函數(shù)求導問題由于三次函數(shù)的導數(shù)是二次函數(shù),因此將導數(shù)的計算與二次函數(shù)的圖象和性質結合起來就很容易理解了.解題時應回顧二次函數(shù)的單調性、最值、圖象的對稱軸以及二次項系數(shù)的符號對圖象的影響等.【變式訓練3】

已知偶函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P(0,1),且在x=1處的切線方程為y=x-2,求函數(shù)f(x)的解析式.解:∵函數(shù)f(x)的圖象過點P(0,1),∴e=1.又f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),即ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.f'(x)=4ax3+2cx.∵函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y=x-2,∴切點為(1,-1),∴a+c+1=-1.①由切線的斜率為1,得f'(1)=4a+2c=1.②【易錯辨析】

未正確應用法則致誤

以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?在應用法則求導時,應先明確要使用的法則,再運算求解.答案:B隨堂練習

解析:∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax.又f'(1)=2a=2,∴a=1.答案:A2.曲線y=1-在點(-1,-1)處的切線方程為

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