新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則4.2導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則課件北師大版選擇性必修第二冊(cè)

4.2導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則第二章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握導(dǎo)數(shù)的乘法和除法法則.2.能應(yīng)用法則對(duì)有關(guān)函數(shù)求導(dǎo).3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則【問題思考】2.[f(x)g(x)]'=f'(x)g'(x)成立嗎?(利用f(x)=x2,g(x)=x3驗(yàn)證)提示:不成立.驗(yàn)證過程略.3.導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則一般地,若兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是f'(x)和g'(x),則4.(1)(xsinx)'=

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(1)答案:sinx+xcosx【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若f'(x)=2x,則f(x)=x2.(×)(2)已知函數(shù)y=2sinx-cosx,則y'=2cosx+sinx.(√)(3)積的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的積,商的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的商.(×)(4)若f(x)=f'(a)x2+lnx(a>0),則f'(x)=2f'(a)x+.(√)合作探究釋疑解惑探究一利用導(dǎo)數(shù)的乘法、除法法則求導(dǎo)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x3·ex;(2)y=cosx·lnx;(3)y=.分析

分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征→選擇正確的求導(dǎo)公式和法則→運(yùn)用公式求導(dǎo)→化簡(jiǎn)解:(1)y'=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex=x2(3+x)ex.仔細(xì)觀察和分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,緊扣求導(dǎo)運(yùn)算法則,結(jié)合基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,不具備求導(dǎo)法則條件的可適當(dāng)進(jìn)行恒等變形.另外,對(duì)較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)時(shí),可先化簡(jiǎn)再求導(dǎo).特別地,當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)是根式或分式時(shí),可先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將真數(shù)轉(zhuǎn)化為有理式或整式,然后求導(dǎo).【變式訓(xùn)練1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).探究二導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算【例2】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的策略(1)先區(qū)分函數(shù)解析式的運(yùn)算特點(diǎn),即函數(shù)解析式的和、差、積、商,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù).(2)對(duì)于三個(gè)以上函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù),依次轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)”函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)計(jì)算.【變式訓(xùn)練2】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):探究三利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)【例3】

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx的圖象過點(diǎn)(1,5),其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖2-4-1,求f(x)的解析式.分析

y=f'(x)的圖象過點(diǎn)(1,0),(2,0),故f'(1)=0,f'(2)=0,再結(jié)合f(1)=5求a,b,c.圖2-4-1解:∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2x3-9x2+12x.在例3條件下,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,5)處的切線方程.解:由例3題圖知f'(1)=0,即曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,5)處的切線的斜率為0,故切線方程為y=5.三次函數(shù)求導(dǎo)問題由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),因此將導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來(lái)就很容易理解了.解題時(shí)應(yīng)回顧二次函數(shù)的單調(diào)性、最值、圖象的對(duì)稱軸以及二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)對(duì)圖象的影響等.【變式訓(xùn)練3】

已知偶函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點(diǎn)P(0,1),且在x=1處的切線方程為y=x-2,求函數(shù)f(x)的解析式.解:∵函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)P(0,1),∴e=1.又f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),即ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.f'(x)=4ax3+2cx.∵函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y=x-2,∴切點(diǎn)為(1,-1),∴a+c+1=-1.①由切線的斜率為1,得f'(1)=4a+2c=1.②【易錯(cuò)辨析】

未正確應(yīng)用法則致誤

以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?在應(yīng)用法則求導(dǎo)時(shí),應(yīng)先明確要使用的法則,再運(yùn)算求解.答案:B隨堂練習(xí)

解析:∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax.又f'(1)=2a=2,∴a=1.答案:A2.曲線y=1-在點(diǎn)(-1,-1)處的切線方程為

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