新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用習(xí)題課用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值課件北師大版選擇性必修第二冊

習(xí)題課——用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、

極值、最值第二章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,能用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)單調(diào)性問題.2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.3.能利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大、最小值.4.注重邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【問題思考】1.導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性之間具有如下關(guān)系:(1)若在某個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)>0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;(2)若在某個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)<0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.若在某個區(qū)間上,f'(x)≥0,且只在有限個點(diǎn)為0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增;若在某個區(qū)間上,f'(x)≤0,且只在有限個點(diǎn)為0,則在這個區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減.2.做一做:函數(shù)f(x)=cosx-x在區(qū)間(0,π)內(nèi)的單調(diào)性是(

).A.先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減B.先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減解析:∵x∈(0,π),∴f'(x)=-sin

x-1<0,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞減.答案:D二、函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)【問題思考】1.(1)函數(shù)的極大值與極小值:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,x0)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,b)上單調(diào)遞減,則x0是極大值點(diǎn),f(x0)是極大值.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,x0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,b)上單調(diào)遞增,則x0是極小值點(diǎn),f(x0)是極小值.(2)函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有最值的條件:如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.②求y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值的步驟:(ⅰ)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上的零點(diǎn);(ⅱ)將所有導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)進(jìn)行比較,其中最大的值即為函數(shù)的最大值,最小的值即為函數(shù)的最小值.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]內(nèi)單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(0)=0.答案:(1)A

(2)20【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,則必有f'(x)>0.(×)(2)函數(shù)的極大值可能小于極小值.(√)(3)函數(shù)的最大值不一定是極大值,最小值也不一定是極小值.(√)合作探究釋疑解惑探究一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例1】

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x(a≠0).(1)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;(2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.又因為a≠0,所以a的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞).例1第(2)問中,若h(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍.解:若h(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則h'(x)<0在[1,4]上有解,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)單調(diào)遞增的充要條件是:對任意的x∈(a,b),都有f'(x)≥0,且在(a,b)上的任一非空子區(qū)間上f'(x)不恒為零.(要注意等號是否可以取到)(3)注意區(qū)分“在區(qū)間上恒成立”與“在區(qū)間上存在x值使不等式成立”的區(qū)別.分離參數(shù)后對應(yīng)不同的最值類型.【變式訓(xùn)練1】

已知函數(shù)f(x)=x2+alnx.(1)當(dāng)a=-2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若g(x)=f(x)+在[1,+∞)上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).若函數(shù)g(x)為[1,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),則g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,因為φ(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以φ(x)max=φ(1)=0,所以a≥0.若函數(shù)g(x)為[1,+∞)上的單調(diào)遞減函數(shù),因為φ(x)沒有最小值,不滿足題意,所以實數(shù)a的取值范圍為[0,+∞).探究二用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值【例2】

已知函數(shù)f(x)=x2+alnx.(1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的極值,并指出是極大值還是極小值.(2)若a=1,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值和最小值.分析

先求f'(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,最后確定函數(shù)f(x)的極值和最值.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.例2中,若a=1,求證:在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3圖象的下方.當(dāng)x≥1時,F'(x)≤0,且只在有限個點(diǎn)為0,則函數(shù)F(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減.又F(1)=-<0,∴在區(qū)間[1,+∞)內(nèi),F(x)<0恒成立,即f(x)<g(x)恒成立.因此,當(dāng)a=1時,在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)圖象的下方.導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)等問題的有效方法,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間關(guān)鍵是求解不等式的解集;最值問題關(guān)鍵在于比較極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小;參數(shù)問題有恒成立問題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等,求解時注意分類討論思想的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練2】

已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+a(a∈R),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x).(1)求函數(shù)g(x)=f'(x)+(2a-1)x的極值;(2)當(dāng)x>1時,關(guān)于x的不等式f(x)<0恒成立,求a的取值范圍.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=ln

x-2ax+1,所以,當(dāng)x=1時,函數(shù)g(x)有極大值,極大值為g(1)=0,無極小值.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=ln

x-2ax+1.若a≤0,則f'(x)=ln

x-2ax+1>0在x>1時恒成立,從而f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)>f(1)=0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,與已知矛盾,故a≤0不符合題意.若a>0,設(shè)φ(x)=f'(x)=ln

x-2ax+1,x>1,則f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)<f(1)=0對x∈(1,+∞)恒成立,符合題意.探究三利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立與有解問題【例3】

已知函數(shù)f(x)=lnx+x2-(a+1)x.(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=-2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x>0時,恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.含參數(shù)不等式的解法一般有兩種:(1)分離參數(shù)法;(2)直接化為不等式恒成立問題.無論哪種方法實質(zhì)都是轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值.【變式訓(xùn)練3】

已知函數(shù)f(x)=alnx+x2-ax有兩個極值點(diǎn).(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)f(x)的兩個極值點(diǎn)分別為x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值.解:(1)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=,函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn),即方程f'(x)=0有兩個不同的正根,即方程x2-ax+a=0有兩個不同的正根.故a的取值范圍為(4,+∞).∴y<ln

4-3,∴λ≥ln

4-3.∴λ的最小值是ln

4-3.【規(guī)范解答】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【典例】

已知函數(shù)f(x)=x-eax(a>0).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間

上的最大值.審題策略

(1)求f'(x),通過求f'(x)>0(<0)確定f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)將極大值與

比較得到f(x)的最大值.規(guī)范展示:(1)函數(shù)f(x)=x-eax(a>0),則函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)=1-aeax.當(dāng)x變化時,f'(x)的符號、f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn)如表2-6-12:表2-6-12答題模板

用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問題一般可用以下幾步答題:第1步:(求導(dǎo)數(shù))求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x);第2步:(求極值)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值;第3步:(求端點(diǎn)函數(shù)值)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)函數(shù)值;第4步:(求最值)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較,確定f(x)的最大值與最小值.規(guī)范解答本題的要點(diǎn)如下:(1)能準(zhǔn)確求導(dǎo)或求函數(shù)值;(2)能準(zhǔn)確確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn).【變式訓(xùn)練】

已知函數(shù)f(x)=

(a>0)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的兩個零點(diǎn)為-3和0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)的極小值為-e3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值.設(shè)g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因為ex>0,所以y=f'(x)的零點(diǎn)就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零點(diǎn),且f'(x)與g(x)符號相同.因為a>0,所以當(dāng)-3<x<0時,g(x)>0,即f'(x)>0;當(dāng)x<-3或x>0時,g(x)<0,即f'(x)<0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞).(2)由(1)知,x=-3是f(x)的極小值點(diǎn),所以有

因為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5為函數(shù)f(x)的極大值,故f(x)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值為f(-5)和f(0)中的較大者,而f(-5)==5e5>f(0)=5.故函數(shù)f(x)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值是5e5.隨堂練習(xí)1.函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(

).A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)解析:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).∴當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.故選A.答案:A2.已知函數(shù)f(x)=-1+lnx,若存在x0>0,使得f(x0)≤0,則實數(shù)a的取值范圍是(

).解析:函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),不等式

-1+ln

x≤0有解,即a≤x-xln

x在(0,+∞)上有解.令h(x)=x-xln

x,則h'(x)=-ln

x.由h'(x)=0,得x=1.當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0,當(dāng)x>1時,h'(x)<0.故當(dāng)x=1時,函數(shù)h(x)=x-xln

x取得極大值1,也是最大值.所以要使不等式a≤x-xln

x在(0,+∞)上有解,只要a≤h(x)