2024屆新教材二輪復習 　實際問題中的最值問題 作業(yè)

2024屆新教材二輪復習實際問題中的最值問題作業(yè)一、選擇題1．從時刻t＝0開始的ts內(nèi)，通過某導體的電量q(單位：C)可用公式q＝2t2＋3t表示，則第5s時電流強度為(B)A．20C/s B．23C/sC．25C/s D．27C/s[解析]某導體的電量q在5s時的瞬時變化率就是第5s時的電流強度．因為q′＝4t＋3，所以當t＝5時，電流強度為4×5＋3＝23(C/s)．2．把長度為8的線段分成四段，圍成一個矩形，矩形面積的最大值為(B)A．2 B．4C．8 D．以上都不對[解析]設(shè)矩形的長為x，則寬為eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以矩形面積為S＝x(4－x)＝－x2＋4x(0<x<4)，所以S′＝－2x＋4，令S′＝0，得x＝2，所以矩形的最大面積為S＝2(4－2)＝4.3．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是(D)A.eq\f(3,2)eq\r(3)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2[解析]設(shè)兩段長分別為xcm,(12－x)cm，這兩個正三角形的邊長分別為eq\f(x,3)cm，eq\f(12－x,3)cm，面積之和為S(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))2))＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)x2－\f(8x,3)＋16)).令S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3)))＝0，解得x＝6.則x＝6是S(x)的極小值點，也是最小值點，所以S(x)min＝S(6)＝2eq\r(3)cm2.4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是(D)A．150 B．200C．250 D．300[解析]由題意，總利潤P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,70090－100x，x>390，))∴P′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x2,300)＋300，0≤x≤390，,－100，x>390.))令P′(x)＝0，得x＝300，經(jīng)檢驗當x＝300時總利潤最大，故選D.5．(多選)一個質(zhì)量m＝5kg的物體做直線運動，設(shè)運動距離s(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)：s(t)＝t＋eq\f(1,2)t2表示，并且物體的動能Ek＝eq\f(1,2)mv2(m為物體質(zhì)量，v為物體運動速度)，則(AC)A．物體開始運動后第7s時的動能是160JB．物體開始運動后第7s時的動能是165JC．第7秒時的速度為8m/sD．第7秒時的速度為eq\f(63,2)m/s[解析]s(t)＝t＋eq\f(1,2)t2，則s′(t)＝v(t)＝1＋t，當t＝7時，v＝8，所以Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)×5×82＝160J.二、填空題6．電動自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)，為使耗電量最小，則其速度應定為_40__.[解析]由題設(shè)知y′＝x2－39x－40，令y′>0，解得x>40或x<－1，故函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)在[40，＋∞)上遞增，在(0,40)上遞減，所以當x＝40時，y取得最小值．由此得為使耗電量最小，則其速度應定為40.7．做一個無蓋的圓柱體水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_3__.[解析]設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，所以L＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圓柱表面積最小，因為S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋eq\f(54π,R)(R>0)，所以S′表(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S′表(R)＝0，得R＝3，所以當R＝3時，S表最?。?.酒杯的形狀為倒立的圓錐(如圖)，杯深8cm，上口寬6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，當水深為4cm時，水升高的瞬時變化率為eq\f(80,9π)cm/s.[解析]設(shè)水深為h時，水面半徑為r，則eq\f(h,8)＝eq\f(r,3)，所以r＝eq\f(3,8)h，經(jīng)過ts后，水的體積為20t，則20t＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)h))2·h，即h(t)＝eq\r(3,\f(20×64,3π)t)，又h＝4時，r＝eq\f(3,2)，V＝3π，所以t＝eq\f(3π,20)，h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,20)π))＝eq\f(80,9π).三、解答題9．某考生在參加數(shù)學考試時，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時間x(單位：分鐘)近似地滿足函數(shù)關(guān)系y＝f(x)＝2eq\r(x).(1)求x從0分鐘變化到36分鐘時，y關(guān)于x的平均變化率；(2)求f′(64)，f′(100)，并解釋它們的實際意義．[解析](1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關(guān)于x的平均變化率為eq\f(f36－f0,36－0)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答完eq\f(1,3)道題．(2)∵f′(x)＝eq\f(1,\r(x))，∴f′(64)＝eq\f(1,8)，f′(100)＝eq\f(1,10).它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時每分鐘可解答eq\f(1,8)道題和eq\f(1,10)道題．10.如圖所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側(cè)，乙廠位于離海岸40km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊A，D之間合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何處才能使水管費用最??？[解析]設(shè)C點距D點xkm，則AC＝50－x(km)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)(km)．又設(shè)總的水管費用為y元，依題意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)．y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402))，令y′＝0，解得x＝30，y′>0,30<x<50，函數(shù)單調(diào)遞增，y′<0,0<x<30，函數(shù)單調(diào)遞減，在(0,50)上，y只有一個極小值點，根據(jù)問題的實際意義，函數(shù)在x＝30km處取得最小值，此時AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之間距甲廠20km，可使水管費用最省．B組·能力提升一、選擇題1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是(C)A．8 B．eq\f(20,3)C．－1 D．－8[解析]瞬時變化率即為f′(x)＝x2－2x，為二次函數(shù)，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1時，f′(x)min＝－1.2．要制作一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為(D)A.eq\f(\r(3),3)cm B．eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cm[解析]設(shè)圓錐的高為x，則底面半徑為eq\r(202－x2)，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)，0<x<20，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3)，負值已舍去．當0<x<eq\f(20\r(3),3)時，V′>0，當eq\f(20\r(3),3)<x<20時，V′<0，所以當x＝eq\f(20\r(3),3)時，V取最大值．3．某個體戶計劃同時銷售A，B兩種小商品．當投資額為x(x≥0)千元時，銷售A，B兩種小商品所獲收益分別為f(x)千元與g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝5ln(2x＋1)，如果該個體戶準備共投入5千元銷售A，B兩種小商品，為使總收益最大，那么A商品需投入(B)A．4千元 B．3千元C．2千元 D．1千元[解析]設(shè)投入經(jīng)銷B商品x千元(0≤x≤5)，則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5－x)千元，獲得的收益為S(x)千元，則S(x)＝2(5－x)＋5ln(2x＋1)＝5ln(2x＋1)－2x＋10(0≤x≤5)，S′(x)＝eq\f(10,2x＋1)－2.當0≤x<2時，S′(x)>0，函數(shù)S(x)在[0,2)上單調(diào)遞增；當2<x≤5時，S′(x)<0，函數(shù)S(x)在(2,5]上單調(diào)遞減；所以當x＝2時，函數(shù)S(x)取得最大值S(2)＝6＋5ln5，所以當投入經(jīng)銷B商品的資金為2千元，投入經(jīng)銷A商品的資金為3千元時，總收益最大．二、填空題4．在半徑為r的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷系母邽閑q\f(3r,2)時它的面積最大．[解析]如圖，設(shè)∠OBC＝θ，則0<θ<eq\f(π,2)，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.∴S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθcosθ.令S′＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0，∴cos2θ＝sinθ，∴1－2sin2θ＝sinθ，解之得sinθ＝eq\f(1,2)，又0<θ<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,6).即當θ＝eq\f(π,6)時，△ABC的面積最大，即高為OA＋OD＝eq\f(3r,2)時面積最大．5．某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為1萬元，并且每生產(chǎn)1百臺產(chǎn)品需增加投入0.5萬元．已知銷售收入R(x)(萬元)滿足R(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,8)x2＋eq\f(1,2)x(其中x是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量，單位：百臺，0<x<8)，假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉，則當公司每月產(chǎn)量為_6__百臺時，公司所獲利潤最大．[解析]設(shè)銷售利潤為g(x)，由題意得，g(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,8)x2＋eq\f(1,2)x－1－eq\f(1,2)x＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,8)x2－1，x∈(0,8)，g′(x)＝－eq\f(3,8)x2＋eq\f(9,4)x＝－eq\f(3,8)x(x－6)，令g′(x)>0，∴0<x<6，令g′(x)<0，∴6<x<8，∴g(x)在(0,6)上遞增，在(6,8)上遞減，∴x＝6時，g(x)取最大值，∴當公司每月產(chǎn)量為6百臺時，公司所獲利潤最大．三、解答題6．某連鎖分店銷售某種商品，該商品每件的進價為6元，預計當每件商品售價為x(7≤x≤11)元時，一年的銷售量(單位：萬件)R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x7≤x≤9，,\f(48,x－5)9<x≤11，))該分店全年需向總店繳納宣傳費、保管費共計2x萬元．(1)求該連鎖分店一年的利潤與每件商品售價x的函數(shù)關(guān)系式f(x)；(2)求當每件商品售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤最大，并求其最大值．[解析](1)①當7≤x≤9時，f(x)＝(21－x)(x－6)－2x＝－x2＋25x－126.②當9<x≤11時，f(x)＝eq\f(48x－6,x－5)－2x，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋25x－126，7≤x≤9，,\f(48x－6,x－5)－2x，9<x≤11.))(2)①當7≤x≤9時，f(x)＝－x2＋25x－126，其圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(25,2)>9，所以當x＝9時，f(x)有最大值f(9)＝18.②當9<x≤11時，f(x)＝eq\f(48x－6,x－5)－2x，設(shè)x－5＝t(4<t≤6)，eq\f(48x－6,x－5)－2x＝38－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(24,t)))≤38－4eq\r(t·\f(24,t))＝38－8eq\r(6)，當且僅當t＝2eq\r(6)，即x＝5＋2eq\r(6)時取等號．因為38－8eq\r(6)>18，所以每件商品售價為(5＋2eq\r(6))元時，該連鎖分店一年的利潤最大，最大利潤為(38－8eq\r(6))萬