新教材適用2024版高考數(shù)學二輪總復習第1篇專題5解析幾何第2講圓錐曲線的方程和性質核心考點2圓錐曲線的幾何性質教師用書

核心考點2圓錐曲線的幾何性質核心知識·精歸納1.橢圓、雙曲線中a，b，c，e之間的關系(1)在橢圓中，a2＝b2＋c2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2)).(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).2.雙曲線的漸近線方程與焦點坐標(1)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，焦點坐標為F1(－c,0)和F2(c,0)．(2)雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，焦點坐標為F1(0，－c，)和F2(0，c)．3.拋物線的焦點坐標與準線方程(1)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準線方程x＝－eq\f(p,2).(2)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準線方程y＝－eq\f(p,2).多維題組·明技法角度1：離心率問題1.(2023·邵陽二模)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，半焦距為c.在橢圓上存在點P使得eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，則橢圓離心率的取值范圍是(B)A．[eq\r(2)－1,1) B．(eq\r(2)－1,1)C．(0，eq\r(2)－1) D．(0，eq\r(2)－1]【解析】∵eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，∴在△PF1F2中，由正弦定理知eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,|PF1|)，∵eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，∴eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,e)，即|PF1|＝e|PF2|①.又∵P在橢圓上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，將①代入得|PF2|＝eq\f(2a,e＋1)∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e＜eq\f(2,e＋1)＜1＋e，得eq\r(2)－1＜e＜1.故選B.2.(2023·金東區(qū)校級三模)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點，點P為雙曲線漸近線上一點，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(1,4)，則雙曲線的離心率為(B)A.eq\f(17,8) B．eq\f(17,15)C．eq\f(15,8) D．eq\f(8,5)【解析】PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(1,4)，則|PF1|＝4|PF2|，△PF1F2是直角三角形，O是F1F2的中點，又|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，且點P在漸近線y＝eq\f(a,b)x上，如圖，點P在第三象限，則點P坐標為(－b，－a)，∵|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|2＝16|PF2|2，∴b2＋(－a－c)2＝16b2＋16(－a＋c)2，又b2＝c2－a2，∴15c2－17ac＝0，則e＝eq\f(17,15).故選B.角度2：雙曲線漸近線問題3.(2023·河南三模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，M，N，P是雙曲線C上的點，其中線段MN的中點恰為坐標原點O，且點M在第一象限，若eq\o(NP,\s\up6(→))＝3eq\o(NF,\s\up6(→))，∠OFM＝∠OMF，則雙曲線C的漸近線方程為(B)A．y＝±eq\f(4,3)x B．y＝±eq\f(2\r(2),3)xC．y＝±eq\f(3\r(2),4)x D．y＝±eq\f(3,4)x【解析】設雙曲線C的右焦點為F′，連接PF′，MF′，NF′，∵∠OFM＝∠OMF，∴|OM|＝|OF|＝|OF′|，∴MF′⊥MF，又O為MN中點，∴四邊形MFNF′為矩形；設|NF|＝x，則|PF|＝2x，|PN|＝3x，∴|NF′|＝2a＋x，|PF′|＝2a＋2x，∵|PN|2＋|NF′|2＝|PF′|2，∴9x2＋(2a＋x)2＝(2a＋2x)2，解得：x＝eq\f(2,3)a，又|NF|2＋|NF′|2＝|FF′|2，∴eq\f(4,9)a2＋eq\f(64,9)a2＝4c2，即eq\f(68,9)a2＝4a2＋4b2，整理可得：eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(2),3)，∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(2\r(2),3)x.故選B.4.(2023·安慶二模)已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，(a＞0，b＞0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過x軸上方的焦點F1的直線與雙曲線上支交于M，N兩點，以NF2為直徑的圓經過點M，若|MF2|，|MN|，|NF2|成等差數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(6),3)x.【解析】如圖所示：由雙曲線的定義|MF2|＝2a＋|MF1|，|NF2|＝2a＋|NF1|，所以|MF2|＋|NF2|＝4a＋|MF1|＋|NF1|＝4a＋|MN|.因為|MF2|，|MN|，|NF2|成等差數(shù)列，所以|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.令|MF1|＝x，在△MNF2中，MF2⊥MF1，所以|MF2|2＋|MN|2＝|NF2|2，即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，解得x＝a，即|MF1|＝a，|MF2|＝3a，又在Rt△F1MF2中，a2＋(3a)2＝(2c)2,2c2＝5a2，又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(6),3)，y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(\r(6),3)x.角度3：拋物線的焦點弦問題5.(2023·貴州模擬)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若A(1,2eq\r(2))，則|AB|＝(A)A．9 B．7C．6 D．5【解析】由題意直線l的斜率必存在，拋物線C：y2＝8x的焦點為F(2,0)，設直線l：y＝k(x－2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x，))得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(4k2＋8,k2)，x1x2＝4，又A(1，2eq\r(2))，則x1＝1，x2＝4，k2＝8，|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝3×3＝9.故選A.6.(2023·茂南區(qū)校級三模)已知O為坐標原點，直線l過拋物線D：y2＝2px(p＞0)的焦點F，與拋物線D及其準線依次交于A，B，C三點(其中點B在A，C之間)，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|.則△OAB的面積是eq\f(4\r(3),3).【解析】過點B作BM垂直于準線，垂足為M，過點A作AN垂直于準線，垂足為N，設準線與x軸相交于點P，如圖，則|BM|＝|BF|，|AN|＝|AF|＝4，在△MBC中，|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|，所以∠MCB＝30°，故在△ANC中，|AC|＝2|AN|＝8，所以|AC|＝|AF|＋|CF|＝8，則|CF|＝8－|AF|＝4.又CN⊥x軸，∠MCB＝30°，所以|PF|＝eq\f(1,2)|CF|＝2，又拋物線D：y2＝2px，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以|PF|＝eq\f(p,2)＋eq\f(p,2)＝p＝2，所以拋物線D：y2＝4x，點F(1,0)．因為∠MCB＝30°，所以直線AB的斜率k＝－eq\r(3)，則直線AB：y＝－eq\r(3)(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,y2＝4x，))消y并化簡得3x2－10x＋3＝0，易得Δ＞0，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3)，則|AB|＝|BF|＋|AF|＝|BM|＋|AN|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3)，又直線AB：y＝－eq\r(3)(x－1)，可化為eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0，則點O到直線AB的距離d＝eq\f(|－\r(3)|,\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3).方法技巧·精提煉1.圓錐曲線中有關的取值范圍問題的解題思路(1)若條件中存在不等關系，則借助此關系直接轉化求解．(2)若條件中沒有不等關系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關系或借助曲線中的不等關系來解決．2.涉及雙曲線漸近線的常用結論(1)求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.(2)已知漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．提醒：兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關于x軸、y軸對稱．3.拋物線焦點弦的4個性質設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則性質1：x1·x2＝eq\f(p2,4).性質2：y1·y2＝－p2.性質3：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．性質4：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點)．加固訓練·促提高1.(2023·船營區(qū)校級模擬)如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，A1，A2，B1，B2橢圓頂點，F(xiàn)2為右焦點，延長B1F2與A2B2交于點P，若∠B1PA2為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－2,2)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－2,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))【解析】如圖所示，∠B1PA2是eq\o(B2A2,\s\up6(→))與eq\o(F2B1,\s\up6(→))的夾角；設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，則eq\o(B2A2,\s\up6(→))＝(a，－b)，eq\o(F2B1,\s\up6(→))＝(－c，－b)；∵向量的夾角為鈍角時，eq\o(B2A2,\s\up6(→))·eq\o(F2B1,\s\up6(→))<0，∴－ac＋b2＜0，又b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＜0；兩邊除以a2得1－e－e2＜0，即e2＋e－1＞0；解得e＜eq\f(－1－\r(5),2)，或e＞eq\f(－1＋\r(5),2)；又∵0＜e＜1，∴eq\f(－1＋\r(5),2)＜e＜1；∴橢圓離心率e的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)，1)).故選D.2.設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為(D)A.eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(9\r(3),8)C．eq\f(63,32) D．eq\f(9,4)【解析】由2p＝3，及|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(3,sin230°)＝12.又原點到直線AB的距離d＝|OF|·sin30°＝eq\f(3,8)，故S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×12×eq\f(3,8)＝eq\