2024屆江蘇省如東縣高三最后一模數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆江蘇省如東縣高三最后一模數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．3．中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里，其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里，超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程（單位：萬(wàn)公里）的折線圖，以下結(jié)論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B(niǎo)．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C．2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列4．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．5．如圖，中，點(diǎn)D在BC上，，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得6．若非零實(shí)數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．7．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)派四位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家，則甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．8．命題：存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．9．設(shè)非零向量，，，滿足，，且與的夾角為，則“”是“”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．11．設(shè)，均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件12．已知向量，（其中為實(shí)數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_______.14．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的最小值是______.15．已知在等差數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和為，則________.16．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)值作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù),．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）設(shè)為實(shí)數(shù),若不等式對(duì)任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;（3）若函數(shù)（,）有兩個(gè)相異的零點(diǎn),求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.（1）求的值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性與極值；（3）證明：.19．（12分）設(shè)不等式的解集為M，.（1）證明：；（2）比較與的大小，并說(shuō)明理由.20．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，求四面體的體積.21．（12分）已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為，與軸正半軸交點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為、的兩條直線分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明：當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn).22．（10分）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4時(shí)，求直線的斜率；（2）已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，記直線的斜率分別為，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【題目詳解】，，則故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【題目詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B【題目點(diǎn)撥】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)3、D【解題分析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【題目詳解】選項(xiàng)，顯然正確；對(duì)于，，選項(xiàng)正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯(cuò).故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題4、B【解題分析】

計(jì)算求半徑為，再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.5、A【解題分析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【題目詳解】由題可得過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，則易得，．設(shè)，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．6、C【解題分析】

令，則，，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后，然后取絕對(duì)值作差比較可得．【題目詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．7、A【解題分析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率.【題目詳解】派四位專(zhuān)家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專(zhuān)家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：甲，乙兩位專(zhuān)家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于命題，由于，所以命題為真命題.對(duì)于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

利用數(shù)量積的定義可得，即可判斷出結(jié)論．【題目詳解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要條件．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑，進(jìn)而求得球的表面積.【題目詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2且與底面垂直，因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體外接球就是該三棱柱的外接球，長(zhǎng)方體對(duì)角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論．【題目詳解】因?yàn)?，均為非零的平面向量，存在?fù)數(shù)，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時(shí)，滿足，但此時(shí)，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【題目點(diǎn)撥】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．12、A【解題分析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【題目詳解】由，則，所以；而當(dāng)，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解題分析】

直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為：，取，則的系數(shù)為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14、【解題分析】

先分離出，應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，進(jìn)而求出最小值.【題目詳解】解：若取最小值，則異號(hào)，，根據(jù)題意得：，又由，即有，則，即的最小值為，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.15、39【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為,再利用基本量法列式求解公差與首項(xiàng),進(jìn)而求得即可.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為,根據(jù)題意可得,解得,所以.故答案為：39【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前n項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.16、-40【解題分析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【題目詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：-40.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）（3）【解題分析】

（1）據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;（2）分離參數(shù),可得對(duì)任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;（3）先求導(dǎo),再分類(lèi)討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),．所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）由,得,由于,所以對(duì)任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對(duì)任意的恒成立,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以．（3）由,得,其中．①若時(shí),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;②若時(shí),令,得．由第（2）小題,知：當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?存在,使得,即,①且當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,所以．②設(shè),,則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時(shí),．所以,②式中的,又由①式,得．由第（1）小題可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即．當(dāng)時(shí),（?。┯捎?所以得,又因?yàn)?且函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)的圖象在上不間斷,所以函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);（ⅱ）由于,令,設(shè),,由于時(shí),,,所以設(shè),即．由①式,得,當(dāng)時(shí),,且,同理可得函數(shù)在上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．綜上,．【題目點(diǎn)撥】本題考查含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立問(wèn)題,以及考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是綜合性較強(qiáng)的題.18、（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無(wú)極大值；（3）見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）切點(diǎn)既在切線上又在曲線上得一方程，再根據(jù)斜率等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)再列一方程，解方程組即可；（2）先對(duì)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷和求解即可.（3）把證明轉(zhuǎn)化為證明，然后證明極小值大于極大值即可.【題目詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)橛梢阎?，則，解得.（2）由題意得，則.當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無(wú)極大值.（3）要證成立，只需證成立.令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的極大值為，即由（2）知，時(shí)，，且的最小值點(diǎn)與的最大值點(diǎn)不同，所以，即.所以，.【題目點(diǎn)撥】知識(shí)方面，考查建立方程組求未知數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值以及不等式的證明；能力方面，考查推理論證能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力；試題難度大.19、(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解題分析】試題分析：(1)首先求得集合M，然后結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；(2)利用平方做差的方法可證得|1-4ab|＞2|a-b|.試題解析：（Ⅰ）證明：記f(x)=|x-1|-|x+2|，則f(x)=，所以解得-＜x＜，故M=(-,).所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以，|1-4ab|＞2|a-b|.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用全等三角形證得，由此證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，結(jié)合錐體體積公式，求得四面體的體積.【題目詳解】（1）證明:如圖，取中點(diǎn)，連接，由則，則，故故，平面.又平