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河南省安陽市安陽縣一中2024屆高三教學(xué)情況調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.132.已知拋物線的焦點(diǎn)為,若拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)恰好在射線上,則直線被截得的弦長為()A. B. C. D.3.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,其底面邊長為4,、、分別為側(cè)棱,,的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi),且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍,則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為()A. B. C. D.4.中,,為的中點(diǎn),,,則()A. B. C. D.25.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.6.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.7.在邊長為1的等邊三角形中,點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),則()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()A. B. C. D.9.已知,且,則的值為()A. B. C. D.10.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③11.已知的內(nèi)角的對邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的_______條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).14.已知復(fù)數(shù),且滿足(其中為虛數(shù)單位),則____.15.已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形,且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上,當(dāng)PA最長時,則______________;四棱錐P-ABCD的體積為______________.16.函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),),若函數(shù)恰有個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.(1)求的值;(2)若函數(shù),討論的單調(diào)性與極值;(3)證明:.18.(12分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)設(shè)是線段上的動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時,求三棱錐的體積.19.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求學(xué)生在語數(shù)外3門全國統(tǒng)考科目之外,在歷史和物理2門科目中必選且只選1門,再從化學(xué)、生物、地理、政治4門科目中任選2門,后三科的高考成績按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計入高考總分.相應(yīng)地,高校在招生時可對特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.雙超中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行選科情況調(diào)查,用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學(xué)、生物、地理、政治6科,得到如下的統(tǒng)計表:序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)雙超中學(xué)規(guī)定:每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班,每位老師執(zhí)教2個選修班(當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時,允許這門科目的1位老師只教1個班).已知雙超中學(xué)高一年級現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人,用樣本估計總體,則化學(xué)、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整?如果需要調(diào)整,各需增加或減少多少人?(2)請創(chuàng)建列聯(lián)表,運(yùn)用獨(dú)立性檢驗的知識進(jìn)行分析,探究是否有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其熱門人文專業(yè)的招生簡章中明確要求,僅允許選修了歷史科目,且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現(xiàn)從雙超中學(xué)高一新生中隨機(jī)抽取3人,設(shè)具備高校專業(yè)報名資格的人數(shù)為,用樣本的頻率估計概率,求的分布列與期望.20.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個有序集合組,其中.記集合中元素的個數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當(dāng)時,求的值;利用數(shù)學(xué)歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.21.(12分)已知函數(shù).(1)解關(guān)于的不等式;(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍22.(10分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、B【解題分析】
由焦點(diǎn)得拋物線方程,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱可求出點(diǎn)的坐標(biāo),寫出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點(diǎn),計算弦長即可.【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,則,即,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設(shè)直線與拋物線的另一個交點(diǎn)為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長為.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),點(diǎn)關(guān)于直線對稱,屬于中檔題.3、D【解題分析】
如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面,計算,由勾股定理解得,此外接球的體積為,三棱錐體積為,得到答案.【題目詳解】如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中,過作底面的垂線,垂足為,與平面交點(diǎn)記為,連接、.依題意,所以,設(shè)球的半徑為,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的體積為,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距離為,則,所以三棱錐體積為,所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球問題,三棱錐體積,球體積,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.4、D【解題分析】
在中,由正弦定理得;進(jìn)而得,在中,由余弦定理可得.【題目詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.5、B【解題分析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點(diǎn)睛:由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.6、C【解題分析】
可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá),利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡為三角函數(shù)最值.【題目詳解】由題意可得:,,,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).本題屬中檔題.7、C【解題分析】
根據(jù)平面向量基本定理,用來表示,然后利用數(shù)量積公式,簡單計算,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),所以又所以則故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為利用模長公式即得解.【題目詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,模長公式和幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】
由及得到、,進(jìn)一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【題目詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】
根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識,判斷出正確的結(jié)論.【題目詳解】因為,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個單位長度,得,所以③錯誤.所以①②正確,③錯誤.故選:B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】
由,化簡得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【題目詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因為為三角形的最大角,所以,又由余弦定理,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了代數(shù)式的化簡,余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.12、D【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、必要不充分【解題分析】
先求解直線l1與直線l2平行的等價條件,然后進(jìn)行判斷.【題目詳解】“直線l1:與直線l2:平行”等價于a=±2,故“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的必要不充分條件.故答案為:必要不充分.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分必要條件的判定,把已知條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是求解這類問題的關(guān)鍵,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).14、【解題分析】
計算出,兩個復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等,列方程組求解.【題目詳解】,所以,所以.故答案為:-8【題目點(diǎn)撥】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析,需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.15、90°【解題分析】
易得平面PAD,P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動,顯然,PA是圓的直徑時,PA最長;將四棱錐補(bǔ)形為長方體,易得為球的直徑即可得到PD,從而求得四棱錐的體積.【題目詳解】如圖,由及,得平面PAD,即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動,易知,當(dāng)P、、A三點(diǎn)共線時,PA達(dá)到最長,此時,PA是圓的直徑,則;又,所以平面ABCD,此時可將四棱錐補(bǔ)形為長方體,其體對角線為,底面邊長為2的正方形,易求出,高,故四棱錐體積.故答案為:(1)90°;(2).【題目點(diǎn)撥】本題四棱錐外接球有關(guān)的問題,考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力,是一道有難度的壓軸填空題.16、【解題分析】
令,則,恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性,求出最小值,列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【題目詳解】解:令,則,恰有四個解.有兩個解,由,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,可得.設(shè)的負(fù)根為,由題意知,,,,則,.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值;(3)見解析.【解題分析】
(1)切點(diǎn)既在切線上又在曲線上得一方程,再根據(jù)斜率等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)再列一方程,解方程組即可;(2)先對求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷和求解即可.(3)把證明轉(zhuǎn)化為證明,然后證明極小值大于極大值即可.【題目詳解】解:(1)函數(shù)的定義域為由已知得,則,解得.(2)由題意得,則.當(dāng)時,,所以單調(diào)遞減,當(dāng)時,,所以單調(diào)遞增,所以,單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值.(3)要證成立,只需證成立.令,則,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,所以的極大值為,即由(2)知,時,,且的最小值點(diǎn)與的最大值點(diǎn)不同,所以,即.所以,.【題目點(diǎn)撥】知識方面,考查建立方程組求未知數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值以及不等式的證明;能力方面,考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力;試題難度大.18、(1)見解析(2)【解題分析】
(1)連接與交于,連接,證明即可得證線面平行;(2)首先證明平面(只要取中點(diǎn),可證平面,從而得,同理得),因此點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離,由平面幾何知識易得最大值,然后可計算體積.【題目詳解】(1)證明:連接與交于,連接,因為是菱形,所以為的中點(diǎn),又因為為的中點(diǎn),所以,因為平面平面,所以平面.(2)解:取中點(diǎn),連接,因為四邊形是菱形,,且,所以,又,所以平面,又平面,所以.同理可證:,又,所以平面,所以平面平面,又平面平面,所以點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離,過作直線的垂線段,在所有垂線段中長度最大為,因為為的中點(diǎn),故點(diǎn)到平面的最大距離為1,此時,為的中點(diǎn),即,所以,所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查證明線面平行,考查求棱錐的體積,掌握面面垂直與線面垂直的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.19、(1)不需調(diào)整(2)列聯(lián)表見解析;有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)(3)詳見解析【解題分析】
(1)可估計高一年級選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為120,2,推理得對應(yīng)開設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.推理知生物科目需要減少4名教師,化學(xué)科目不需要調(diào)整.(2)根據(jù)列聯(lián)表計算觀測值,根據(jù)臨界值表可得結(jié)論.(3)經(jīng)統(tǒng)計,樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12,頻率為.用頻率估計概率,則,根據(jù)二項分布概率公式可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】(1)經(jīng)統(tǒng)計可知,樣本40人中,選修化學(xué)、生物的人數(shù)分別為24,11,則可估計高一年級選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為120,2.根據(jù)每個選修班最多編排50人,且盡量滿額編班,得對應(yīng)開設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人,根據(jù)每位教師執(zhí)教2個選修班,當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時,允許這門科目的一位教師執(zhí)教一個班的條件,知生物科目需要減少4名教師,化學(xué)科目不需要調(diào)整.(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計后,制作列聯(lián)表如下:選物理不選物理合計選化學(xué)19524不選化學(xué)61016合計251540則,有的把握判斷學(xué)生”選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).(3)經(jīng)統(tǒng)計,樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12,頻率為.用頻率估計概率,則,分布列如下:01230.3430.4410.1890.021
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