安徽省淮北市樹人高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試卷

高二第一期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷

一.選擇題(共12小題)

1.設(shè)集合4={y|y=2。x￡R},B={x|y=Vl-x>x￡R},則AC8=()

A.{1}B.(0,+8)C.(0,1)D.(0,1]

2.f(x)=上在()

1-x

A.(-8,1)U(1,+8)上是增函數(shù)

B.(-8,1)U(1,+8)上是減函數(shù)

C.(-1),(1,+8)分別是增函數(shù)

D.(-8,1),(1,+OO)分別是減函數(shù)

3.已知向量之=(2,1),b=(1,X),若W+諂之垂直，則x的值為()

A.7B.-7C.1D.-1

22

4.若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移工個單位長度，則平移后圖

12

象的對稱軸為()

Ap=k兀兀Rp=k兀兀cp=k兀兀np=k打冗

Il??/!------U?-一+，，17?■/!”.‘一iy?"/!一,十

2626212212

5.函數(shù)/'(x)=/〃x+f-8的零點所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

6.在勿中，ZABC=2L,AB=近,BC=3,則sinN幽。=()

4

A.逗B.叵C.D.在

105105

x+y》-l

7.若變量X,y滿足約束條件<2x-y<b則z=3x-y的最小值是()

A.-7B.-9C.-1D.-5

8.如果執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入〃=6,〃=4,那么輸出的,等于

()

第8題圖第9題圖

A.720B.360C.240D.120

9.已知點〃是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則點〃到四個頂點的距離

均大于2的概率是（）

A.2LB.1-2Lc.1D,2L

4443

10.如圖是2016年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打

出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的

中位數(shù)和眾數(shù)依次為（）

A.84,84B.84,85C.86,84D.84,86

11.如圖的折線圖是某口罩制造廠2019年6月至2020年5月份的收

入與支出數(shù)據(jù)，若從2020年1月至5月這5個月中任意選2個月的

數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，則這2個月的利潤都不高于30萬的概率為

（）（利潤=收入-支出）…“—

A.1B.2C.3D.1

5555

12.在△/阿中，有cosBcos（兀式）+＜：0$砥-B）sinC=l+3cosA且&-2,其中

內(nèi)角4片C的對邊分別是a,b,c,則△/87周長的最大值為（）

A.2-4^-B.2+273C.2+2料D.2+372

二.填空題（共4小題）

13.從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，下

列事件中是互斥事件的序號為.

①至少有1個白球；都是白球②至少有1個白球；至少有1個紅球.

③恰有1個白球；恰有2個白球.④至少有1個白球；都是紅球.

14.已知某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）具有線性相

關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中收集了6組數(shù)據(jù)，由6組數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)的中

心點為（4.5,3.5）,y關(guān)于x的線性回歸方程為;=；x+0.35,據(jù)此

可估計x=7時，y=.

15.一組樣本數(shù)據(jù)x,4,5,6,y的平均數(shù)為5,標(biāo)準(zhǔn)差為4,則1+/

16.齊王與田忌賽馬，他們都有上、中、下等馬各一匹.田忌的上等

馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王

的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)

從雙方的馬匹中各隨機選一匹進(jìn)行一場比賽，則齊王的馬獲勝的概

率是.

三.解答題(共6小題)

17.體育測試成績分為四個等級，優(yōu)、良、中、不及格.某班50名學(xué)

生慘叫測試結(jié)果如下：

等級優(yōu)良中不及格

人數(shù)519233

(1)從該班任意抽取1名學(xué)生，求該名學(xué)生的測試成績?yōu)椤傲肌被?/p>

“中”的概率；

(2)測試成績?yōu)椤皟?yōu)”的3名男生記為a,a?,a,2名女生的成績

記為4,慶，現(xiàn)從這5人中任選2人參加學(xué)校的某項體育比賽：

①寫出所有可能的基本事件；

②求參賽學(xué)生中恰有一名女生的概率.

18.廬江縣統(tǒng)計局統(tǒng)計了該縣2019年10戶家庭的年收入和年飲食支

出的統(tǒng)計資料如表：

年收入(萬元)24466677810

年飲食支出火萬元)1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3

(1)由散點圖可知y與x是線性相關(guān)的，求線性回歸方程；

(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；=

n__n____

Y.(Xi-X)(y--y)E(xiY--nxy)

-z-=’一~h，a=7-b￡(參考數(shù)據(jù)：

Z(Xj-x)2Xx^-nx

i=li=l

1010

=

Xxiy.115,Xx：=406?)

i=li=l

19.已知等差數(shù)列｛品｝的前〃項和為Sn,51=1,&=a+24.數(shù)列｛4｝

an+3

滿足^=3,?

(1)求數(shù)列｛a，與｛&｝的通項公式；

(2)求數(shù)列伯勒的前〃項和Tn.

20.已知?可至a=G/§sin3x,-cos3x),b=(cos)^x,cos^xA函數(shù),(x)

=；?？?3>0)的最小正周期是JI.

(1)求3的值及函數(shù)F(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)當(dāng)x€[0,時，求函數(shù)f(X)的值域.

21.疫情期間，在家中適當(dāng)鍛煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，

抵抗病毒.某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運動情況，從該小區(qū)隨

機抽取了100位居民，記錄了他們某天的鍛煉時間，其頻率分布直

方圖如下：

(1)求a的值；

(2)估計這100位居民鍛煉時間的平均值7；(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值代表)(3)求中位數(shù)的估計值.

0.035

0.015卜...........j-----

0.012??I-----

0.0051-----1

0.003L寸…1…十…1I.

0102030405060做炸鼾網(wǎng)/分件

22.某制造商為拓展業(yè)務(wù)，計劃引進(jìn)一設(shè)備生產(chǎn)一種新型體育器材.通

過市場分析，每月需投入固定成本3000元，生產(chǎn)％臺需另投入成本

10X2+400X,0<X<30

C(%)元，且C(%)=]1000，若每臺售價800

804xd^”-9000，x>30

x

元，且當(dāng)月生產(chǎn)的體育器材該月內(nèi)能全部售完.

(1)求制造商由該設(shè)備所獲的月利潤L(%)關(guān)于月產(chǎn)量％臺的函數(shù)

關(guān)系式；(利潤=銷售額-成本)

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少臺時，制造商由該設(shè)備所獲的月利潤最大？并

求出最大月利潤.

高二第一期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷參考答案

一.選擇題(共12小題)

1.設(shè)集合4={比，=2=xGR},B={x\y=yJ-^x，xeR},則ACB=()

A.{1}B.(0,+8)C.(0,1)D.(0,1]

【解答]解：A={y|y>0},B={XxWl}；

(0,1].

故選：D.

2.f(x)()

l-x

A.(-°°,1)U(1,+8)上是增函數(shù)

B.(-°°,1)U(1,+8)上是減函數(shù)

C.(-8,1),(1,+8)分別是增函數(shù)

D.(-8,1),(1,+8)分別是減函數(shù)

【解答】?：f(x)=工-=-上

l-xX-1

=-1-

X-1

由函數(shù)》=二上在x>o,xVO均為增函數(shù)，

X

則將>=二上的圖象向右平移1個單位，可得的圖象，

XX-1

再向下平移I個單位，即可得到/(無)的圖象，

則有f(x)在x>l,x<l上均為增函數(shù)，

則有函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-8,1),(1,+8).無減區(qū)間.

故選：C.

3.已知向量之=(2,1),b=(1，x)，若晶暹2垂直，則x的值為()

A.7B.-7C.-1D.-L

22

【解答】解：Z+F⑶x+1)；

痣之垂直；

(a+b)?a=6+x+l=0：

Ax=-7.

故選：B.

4.若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移3個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為（）

Ak兀冗Dk兀兀廠、.一兀兀

A.x=———B.x=———-L.A—k—--------

262+6212

【解答】解：將函數(shù)），=2sin2x的圖象向左平移碧個單位長度，

則平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為）=2sin（2/看），

令〃+工=E+工,求得x=?L+工，可得平移后函數(shù)的圖象的對稱軸為x=?L+工,

622626

k&L,

故選：B.

5.函數(shù)/（x）=/〃x+/-8的零點所在的區(qū)間為（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【解答】解：???函數(shù)/(x)=/〃x+J-8是連續(xù)增函數(shù)，

/(1)=0+1-8<0,

f(2)=/〃2+8-8>0,即/(I)?/1(2)<0,

函數(shù)=/"x+『-8的零點所在區(qū)間是(1,2),

故選：B.

6.在△A8C中，ZABC^—,4B=&,8c=3,則sin/BAC=()

4

A.叵B.逗C.組D,近

105105

【解答】解：：/A8C=2L,AB=M，BC=3,

4

，由余弦定理得：AC1=AB2+BC2-2AB?BC?cosNA8C=2+9-6=5,

3X亞

則由正弦定理一羋一=一斗一得:

sinNBAC=2=3^15

sinZABCsinZBAC10

故選：c.

x+y》-l

7.若變量x,y滿足約束條件，2x-y<l)則z=3x-y的最小值是()

yCl

A.-7B.-9C.-1D.-5

，x+y>T

【解答】解：由變量x,y滿足約束條件］2x-y《l，作出可行域如圖，

由圖可知，最優(yōu)解為A,

聯(lián)立［x3n-l,解得C(0,-1).

l2x-y=l

由卜W=-1解得斗(_2,1),

,y=l

由(2x-y=l,解得B(1,1)

,y=l

...z=3x-y的最小值為3X(-2)-1=-7.

故選:A.

-5-

8.如果執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入〃=6,772=4,那么輸出的p等于()

A.720B.360C.240D.120

【解答】解:執(zhí)行程序框圖，有

〃=6,m=4

k=l,p=l

第一次執(zhí)行循環(huán)體，p=3

滿足條件第2次執(zhí)行循環(huán)體，有％=2,p=12

滿足條件％<〃?，第3次執(zhí)行循環(huán)體，有k=3,p=60

滿足條件k<m,第4次執(zhí)行循環(huán)體，有k=4,p=360

不滿足條件k<m,輸出p的值為36（）.

故選:B.

9.已知點P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則點P到四個頂點的距離均大于2的概率是（）

A.—B.1--C.工D.—

4443

【解答】解：滿足條件的正方形ABCC如下圖所示：

其中正方形的面積SIE方形=4X4=16；

滿足到正方形的頂點A、8、C、。的距離均不小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示

則S陰影=16-4ir,

故該正方形內(nèi)的點到正方形的頂點A、B、C、。的距離均不小于1的概率是P=.$陰基_=

S正方形

16-4兀=i兀.

16

4

故選：B.

10.如圖是2016年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去

掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)依次為（)

79

844647

93

A.84,84B.84,85C.86,84D.84,86

【解答】解：由莖葉圖知，去掉一個最高分93和一個最低分79后，

所剩數(shù)據(jù)84,84,86,84,87的中位數(shù)為84：

眾數(shù)為：84；

故選：A.

11.如圖的折線圖是某口罩制造廠2019年6月至2020年5月份的收入與支出數(shù)據(jù)，若從2020

年1月至5月這5個月中任意選2個月的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，則這2個月的利潤都不高于30萬

的概率為（）（利潤=收入-支出）

mwoA

60人50so、

40差、..二..二力嗔

2。丁孫?安?獷媼30?落.

0-----------------------------------＞?

678910111212345月：份

....'出々入

A.AB.2c.3D.A

5555

【解答】解：2020年1月至5月這5個月中，月利潤分別為：

30,45,30,30,10；

從中任意選2個，基本事件是

(30,45),(30,30),(30,30),(30,10),(45,30),(45,30),

(45,10),(30,30),(30,10),(30,10)共10種不同取法;

則這2個數(shù)據(jù)都不高于30的基本事件為：

(30,30),(30,30),(30,10),(30,30),(30,10),(30,10)共6種不同取法;

故所求的概率為2=且=旦.

105

故選：C.

C的對邊分別是“，b,c.則aABC周長的最大值為()

A.2-^^~B.2+2A/3C.2+2A/2D.2+35/2

【解答】解：△ABC中，：有cosBcos(?！鯧?)+cos^~-B)sinC=l+3cosA，

即-cosBcosC+sinBsinC=l+3cosA,

即-cos(B+C)=1+3cosA,/.cosA=--/.；4=120°,8+C=60°.

2f

由正弦定理可得」一=——=fk,

sinBsinCsinA-3

則△ABC周長為a+b+c=2+W?inB+&inC=2+&(sinB+sinC)

V33V3

=2+-^4sinB+sin(600-B)]

V3

=2+g(1inB+?Z^cos8)=2+^sin(B+60°)W2+g=2+J^S,

V322V3V33

當(dāng)且僅當(dāng)B=30°=C時，取等號，

故AABC周長的最大值為2+包5■,

3

故選：A.

二.填空題(共4小題)

13.從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，下列事件中是互斥事件的

序號為③④.

①至少有1個白球；都是白球.

②至少有1個白球；至少有1個紅球.

③恰有1個白球；恰有2個白球.

④至少有1個白球；都是紅球.

【解答】解：從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，

在①中，至少有1個白球和都是白球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故①錯誤；

在②中，至少有1個白球與至少有1個紅球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故②錯誤.

在③中，恰有1個白球與恰有2個白球不能同時發(fā)生，是互斥事件，故③正確；

在④中，至少有1個白球與都是紅球不能同時發(fā)生，是互斥事件，故④正確.

故選：③④.

14.已知某種產(chǎn)品產(chǎn)量x(噸)與所需某種原材料?>(噸)具有線性相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中

收集了6組數(shù)據(jù)，由6組數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)的中心點為(4.5,3.5),>關(guān)于x的線性回歸方程為

y=^+0.35,據(jù)此可估計x=7時，y=5.25.

【解答】解：由題意中心點為(4.5,3.5),代入回歸方程為：丫=口+0.35,可得3.5=4.56+0.35,

解得b=0-7,

所以：y=0.7x+0.35,x=7時，y=0.7X7+0.35=5.25,

故答案為：5.25.

15.一組樣本數(shù)據(jù)x,4,5,6,y的平均數(shù)為5,標(biāo)準(zhǔn)差為4,則/+丫2=U8.

【解答】解：平均數(shù)為9(x+4+5+6+y)=5,即x+y=10,

方差為工X[(x-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(y-5)2]=16,所以(%-5)2+

5

(y-5)2=78,BPx2+y2-10(x+y)=28,

所以7+,=28+10(x+y)=28+10X10=128.

故答案為：128

16.齊王與田忌賽馬，他們都有上、中、下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，

劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬

劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機選一匹進(jìn)行-一場比賽，則齊王的馬獲勝的概

率是2.

一3一

【解答】解：現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機選一匹進(jìn)行一場比賽，

基本事件總數(shù)”=3X3=9,

齊王的馬獲勝包含的基本事件數(shù)，”=1X3+1X2+1X1=6,

則齊王的馬獲勝的概率是0=典心上.

n93

故答案為：1.

3

三.解答題(共6小題)

17.體育測試成績分為四個等級，優(yōu)、良、中、不及格.某班50名學(xué)生慘叫測試結(jié)果如下：

等級優(yōu)良中不及格

人數(shù)519233

(1)從該班任意抽取1名學(xué)生，求該名學(xué)生的測試成績?yōu)椤傲肌被颉爸小钡母怕?

(2)測試成績?yōu)椤皟?yōu)”的3名男生記為念，。3,2名女生的成績記為何，b2,現(xiàn)從這

5人中任選2人參加學(xué)校的某項體育比賽：

①寫出所有可能的基本事件；

②求參賽學(xué)生中恰有一名女生的概率.

【解答】解：(1)根據(jù)頻率分布表，得；

在這次考試中成績?yōu)椤傲肌被颉爸小笔?9+23=42；

故隨機抽取一名學(xué)生，該名學(xué)生的測試成績?yōu)椤傲肌被颉爸小钡母怕蕿榻z=2L；

5025

(2)測試成績?yōu)椤皟?yōu)”的3名男生記為勾,。2,的，2名女生的成績記為歷，b2,

①現(xiàn)從這5人中任選2人所有的基本事件為：

〃］他，61也1，〃仍2,

。2a3，。2歷，a2b2,

的歷，a3b2,

b也2,共10種;

②滿足參賽學(xué)生中恰有一名女生的事件為:a\b\,內(nèi)歷,。2仇，a2b2,的加，a3b2,共6種

故參賽學(xué)生中恰有一名女生的概率為p=&=3.

105

18.廬江縣統(tǒng)計局統(tǒng)計了該縣2019年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如表：

年收入(萬元)24466677810

年飲食支出y(萬元)1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3

(1)由散點圖可知y與x是線性相關(guān)的，求線性回歸方程;

(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出.

n__

X（x「x）。-了）

i=l

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

b-n_0

工（x「x）

i=l

A_1010

a=y-fcx.（參考數(shù)據(jù)：￡叼了工口15,￡x“406?）

i=li=l

【解答】解：(1)(2+4+4+6+6+6+7+7+8+10)=6,

10

(1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3)=1.8.

丫10

10_

-Xxiyi-10xy

________115-10X6X1.8-7

D

10c-------------n2―—后

Ex12Tol2406-10X646

i=l

一：一一7—102

a=y-bx=l.X6=;匚.

46115

.R關(guān)于x的線性回歸方程為102；

,y46115

(2)在為1°2中，取x=9,得

.y46115

y」_x9」22比2.26.

y46115

若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出為2.26萬元.

aj3

19.已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為8,為=1,55=。6+24.數(shù)列｛%｝滿足b=3一1

(1)求數(shù)列｛斯｝與｛與｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛斯與｝的前n項和Tn.

訪=1

【解答】解：(1)由題意知：，解得d=4.

5a]+5X2d=1+5d+24

所以斯=1+(〃-1)?4=4/1-3,

an+3

4n

bn=3=3-

(2)由(1)知@^:(3-3)3以

所以Tn=lX3+5X32+9X33+—+(4n-7)X3n-1+(4n-3)X3n,①

234nn+1

3Tn=lX3+5X3+9X3+-+(4n-7)X3+(4n-3)X3*②

①-②得，-2Tn=3+4X32+4X33+-+4X3n-(4n-3)X3nH，

==3+4[^^-^-]-(4n-3)X3n+1=-15+(5-4n)3nbl-

1-0

所以Tn吟第％叫

20.已知向量a=x,-cos3x),b=(cosWx,cos^x》函數(shù)/(幻=@，1)V

(a)>0)的最小正周期是TI.

(1)求3的值及函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)當(dāng)x€[0,1-]時，求函數(shù)f(X)的值域.

【解答】解：(1)向量a=(?sin3x,-cos3x),b=(cos3x,cos3x>

函數(shù)/(x)

即f(x)=V§sin3xcosx-cos23x+^-=^-sin2x^~(l+cos2^x)卷=

如1,兀、

sin23x-2~COS23x=sin(23x-^-)

???/(x)的最小正周期為n=22L,

23

??€0=1.

TT

.?〃X)的解析式為f(x)=sin⑵兀)?

兀

又：2k兀kez.

2

得：k兀,

,k￡Z，

的單調(diào)減區(qū)間［?！鲐?，冗+|■兀］,

函數(shù)f(x)kKk