系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析

第三章系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析3.1時(shí)間響應(yīng)及其組成3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)3.5高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)3.6系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算3.7δ函數(shù)在時(shí)間響應(yīng)中的作用3.1時(shí)間響應(yīng)及其組成一、概念時(shí)間響應(yīng)：在輸入作用下，系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）在時(shí)域的表現(xiàn)形式。在數(shù)學(xué)上，就是系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程在一定初始條件下的解。二、組成自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)的一般形式零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)若系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)是單位脈沖函數(shù)的積分，即則根據(jù)傳遞函數(shù)的定義和拉氏變換積分定理可得即得系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，等于對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)微分的響應(yīng)，等于對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的微分。按振動(dòng)形式，時(shí)域響應(yīng)可分為：自由響應(yīng)：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)所決定的輸出強(qiáng)迫響應(yīng)：由外加輸入所決定的輸出按輸入形式，時(shí)域響應(yīng)可分為：零輸入響應(yīng)：無(wú)輸入時(shí)系統(tǒng)初態(tài)引起的輸出零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)初態(tài)為零僅由輸入引起的輸出

按響應(yīng)形態(tài)，時(shí)域響應(yīng)可分為：瞬態(tài)響應(yīng):在輸入作用下系統(tǒng)輸出從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程.穩(wěn)態(tài)響應(yīng):在輸入作用下系統(tǒng)在時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)的輸出.3單位斜坡信號(hào)5正弦信號(hào)4單位拋物線信號(hào)6某些隨機(jī)信號(hào)3.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(只包含瞬態(tài)項(xiàng))1、單位脈沖響應(yīng)2、單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量

T

瞬態(tài)分量

瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間

極點(diǎn)距虛軸距離

；

T

瞬態(tài)分量

瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間

極點(diǎn)距虛軸距離

。1)階躍響應(yīng)的質(zhì)量取決于特征參數(shù)T2）響應(yīng)曲線的斜率反映了信號(hào)加入瞬間系統(tǒng)對(duì)輸入的反應(yīng)速度3）調(diào)整時(shí)間（信號(hào)加入到輸出穩(wěn)定所需時(shí)間）tst=Txo(t)=63.2%

實(shí)驗(yàn)法求Tt=3Txo

(t)=95%

允許誤差5%

調(diào)整時(shí)間

ts=3Tt=4Txo(t)=98.2%

允許誤差2%

調(diào)整時(shí)間

ts=4T3、單位斜坡響應(yīng)瞬態(tài)分量經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間(≥4T)，輸出增長(zhǎng)速率近似與輸入相同；輸出相對(duì)于輸入滯后時(shí)間T;穩(wěn)態(tài)誤差=T.

穩(wěn)態(tài)分量(對(duì)于一階系統(tǒng))輸入信號(hào)微分

系統(tǒng)響應(yīng)微分輸入信號(hào)積分

系統(tǒng)響應(yīng)積分積分時(shí)間常數(shù)由零初始條件確定。

線性定常系統(tǒng)的一個(gè)性質(zhì)不同時(shí)間常數(shù)下的響應(yīng)情況一階系統(tǒng)的性能指標(biāo)：調(diào)整時(shí)間：一階系統(tǒng)在階躍輸入作用下，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的（1-Δ）所需要的時(shí)間。調(diào)整時(shí)間反映系統(tǒng)響應(yīng)的快速性實(shí)驗(yàn)法求傳遞函數(shù)4、單位加速度響應(yīng)瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量傳遞函數(shù):微分方程：3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特征參數(shù)：特征方程：特征根：（1）欠阻尼情況：（2）零阻尼情況：（3）臨界阻尼情況：（4）過(guò)阻尼情況：1.單位脈沖響應(yīng)欠阻尼：0<<1過(guò)阻尼：

>1無(wú)阻尼：

=0臨界阻尼：

=1兩個(gè)一階系統(tǒng)的并聯(lián)特點(diǎn)：均無(wú)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)；t=0時(shí)的斜率均不為零；除無(wú)阻尼為等幅振蕩外，其余三種情況均可隨著時(shí)間增加而衰減至零，即穩(wěn)態(tài)誤差為零；臨界阻尼和過(guò)阻尼時(shí)，響應(yīng)幅值為單一符號(hào)（恒正）。2.單位階躍響應(yīng)（1）欠阻尼情況：特點(diǎn):無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；含有衰減的復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng),其振幅衰減的快慢由ξ和ωn決定,振蕩幅值隨ξ減小而加大;ωd和可由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)來(lái)確定.稱

n為衰減系數(shù)（2）零阻尼情況系統(tǒng)以無(wú)阻尼自然頻率作等幅振蕩（3）臨界阻尼情況系統(tǒng)達(dá)到衰減振蕩的極限而不再振蕩（4）過(guò)阻尼情況其中二階系統(tǒng)在不同阻尼比情況下對(duì)單位階躍信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)曲線（5）負(fù)阻尼(ξ<0)情況特征根實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定

-1<ξ<0振蕩發(fā)散ξ<-1單調(diào)發(fā)散（6）幾點(diǎn)結(jié)論3）二階系統(tǒng)的阻尼比ξ決定了其振蕩特性：ξ<0階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定ξ=0等幅振蕩0<ξ<1振蕩，ξ愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快ξ≥1無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)，過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)1）穩(wěn)態(tài)項(xiàng)為1，后面兩項(xiàng)或一項(xiàng)為瞬態(tài)項(xiàng)2）初始時(shí)刻的斜率均為零4）ξ一定時(shí)，ωn越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，

系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。5）通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4-0.8之間。3.單位斜坡響應(yīng)過(guò)阻尼：

>1欠阻尼：0<<1臨界阻尼：

=1無(wú)阻尼：

=03.4二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)一般對(duì)機(jī)械工程系統(tǒng)有三個(gè)方面的性能要求，即穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性。準(zhǔn)確性用誤差來(lái)衡量，而系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)則反應(yīng)了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)性能，表征了相對(duì)穩(wěn)定性和快速性。1.瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)通常，在下面兩個(gè)假設(shè)下定義系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)（1）系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)（工作狀況較惡劣）作用下的瞬態(tài)響應(yīng)；（2）初始條件為零，即在階躍信號(hào)作用前，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量及各階導(dǎo)數(shù)均為零。瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)：(1)延遲時(shí)間td：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值的50％所需時(shí)間；(2)上升時(shí)間tr：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)第一次從穩(wěn)態(tài)值的10％上升到90％（過(guò)阻尼情況），或從0上升到100％（欠阻尼情況）所需時(shí)間;(3)峰值時(shí)間tp：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個(gè)峰值所需時(shí)間；(4)超調(diào)量Mp：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)第一次超過(guò)穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到的峰值時(shí)，對(duì)穩(wěn)態(tài)值的偏差與穩(wěn)態(tài)值之比，即：Mp，

ts表征了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性；

td，

tr，tp表征了系統(tǒng)的快速性。(5)調(diào)整時(shí)間ts：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)值之差進(jìn)入允許的誤差范圍所需的時(shí)間。允許誤差通常取5％或2％。2.二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)（1）上升時(shí)間tr當(dāng)t＝tr時(shí),（2）峰值時(shí)間tp輸出達(dá)到峰值時(shí)，階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為零，即（3）超調(diào)量Mp由超調(diào)量的定義：（4）調(diào)整時(shí)間ts調(diào)整時(shí)間ts的表達(dá)式難以確切求出，用近似的方法.對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)：瞬態(tài)響應(yīng)為衰減振蕩，曲線是該瞬態(tài)響應(yīng)的包絡(luò)線。設(shè)允許誤差范圍為由調(diào)整時(shí)間的定義：(5)振蕩次數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響當(dāng)時(shí)，，都比較小，故稱為最佳阻尼比。分析設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，通常先根據(jù)要求的超調(diào)量確定，然后通過(guò)調(diào)整使其達(dá)到快速性要求。例3.3設(shè)系統(tǒng)如圖所示，其中當(dāng)有一單位階躍輸入時(shí)，求最大超調(diào)量Mp，上升時(shí)間tr，峰值時(shí)間tp和調(diào)整時(shí)間ts解：誤差范圍取5％時(shí)，誤差范圍取2％時(shí)，例3.4如圖所示系統(tǒng)，在質(zhì)量塊m上施加F＝3N的階躍力后，時(shí)間響應(yīng)x（t）如圖所示。根據(jù)響應(yīng)曲線，確定質(zhì)量m，粘性阻尼系數(shù)B和彈簧剛度系數(shù)k。解：（1）列寫傳遞函數(shù)（2）求k（3）求m和B例3.5有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其方塊圖如下所示，當(dāng)輸入單位階躍時(shí)，要求（1）校核該系統(tǒng)的各參數(shù)是否滿足要求；（2）在原系統(tǒng)中增加一微分負(fù)反饋，求滿足要求的負(fù)反饋時(shí)間系數(shù)。解：（1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：該系統(tǒng)不滿足設(shè)計(jì)要求。加入了微分負(fù)反饋后相當(dāng)于增大了阻尼比，改善了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，減小了超調(diào)量，而沒有改變系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然頻率（2）加上負(fù)反饋后含零點(diǎn)的欠阻尼二階系統(tǒng)：在典型二階系統(tǒng)上增加了一個(gè)零點(diǎn)單位階躍響應(yīng)：為典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。系統(tǒng)的響應(yīng)不僅與而且與的變化率有關(guān)。3.零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響當(dāng)?shù)湫投A系統(tǒng)含有零點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)不僅與極點(diǎn)分布有關(guān)，還與零點(diǎn)和極點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)。例3.6一位置伺服系統(tǒng)，為了提高系統(tǒng)阻尼分別在前向通道和反饋通道采用比例微分控制器，試分別求：各系統(tǒng)的阻尼比、無(wú)阻尼固有頻率、單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量、峰值時(shí)間和調(diào)整時(shí)間。解：(1)由圖（a）可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)則：(2)由圖（b）可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)則：(3)由圖（c）可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)單位階躍輸入令得G2(s)G1(s)G3(s)例3.7已知二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試分別用Matlab求其階躍響應(yīng)，并分析零點(diǎn)的影響。零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響：（1）超調(diào)量增大，上升時(shí)間和峰值時(shí)間減??；（2）附加零點(diǎn)越靠近虛軸對(duì)系統(tǒng)影響越大；（3）附加零點(diǎn)離虛軸很大時(shí)，其影響可以忽略。3.5高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)高階系統(tǒng)：三階及三階以上的系統(tǒng)。用高階微分方程描述。不易得到時(shí)間響應(yīng)的表達(dá)式→定性分析極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響特征根：設(shè)有n1個(gè)實(shí)數(shù)根，n2對(duì)共軛復(fù)根，則n=n1+2n2單位階躍響應(yīng)：高階系統(tǒng)的響應(yīng)可看成多個(gè)一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié)響應(yīng)的疊加。3）若離虛軸最近的極點(diǎn)，實(shí)部小于其它極點(diǎn)實(shí)部的1/5，且附近不存在零點(diǎn)，則該極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。系統(tǒng)的響應(yīng)特性主要由主導(dǎo)極點(diǎn)決定。共軛：高階→二階1）系統(tǒng)的極點(diǎn)均位于s平面的左半平面時(shí)，第二、三項(xiàng)衰減。衰減的快慢取決于極點(diǎn)離虛軸的距離。2）幅值與極點(diǎn)、零點(diǎn)均有關(guān)。極點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，幅值越小，對(duì)過(guò)渡過(guò)程影響越??；當(dāng)零點(diǎn)和極點(diǎn)很近時(shí)，幅值也很小，這一對(duì)零極點(diǎn)對(duì)過(guò)渡過(guò)程影響將很小。討論：例：利用matlab分析下面三個(gè)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)基本相同響應(yīng)近似為一階系統(tǒng)響應(yīng)近似為二階系統(tǒng)3.6系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下，時(shí)間響應(yīng)的瞬態(tài)分量反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而穩(wěn)態(tài)分量的值反映了系統(tǒng)的準(zhǔn)確性?？刂葡到y(tǒng)希望的輸出值與實(shí)際的輸出值之間的偏差，稱為誤差。瞬態(tài)誤差：調(diào)整時(shí)間之間的誤差；穩(wěn)態(tài)誤差：調(diào)整時(shí)間之后的誤差。內(nèi)因：系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)；外因：輸入量及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)變化。1、誤差與偏差誤差：以輸出端為基準(zhǔn)來(lái)定義偏差：以輸入端為基準(zhǔn)來(lái)定義偏差與誤差的關(guān)系：?jiǎn)挝环答仯?、穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差穩(wěn)態(tài)偏差：3、與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差（1）單位階躍輸入位置無(wú)偏系數(shù)（2）單位斜坡輸入速度無(wú)偏系數(shù)（3）單位加速度輸入加速度無(wú)偏系數(shù)無(wú)偏系數(shù)：用一個(gè)系數(shù)來(lái)表示輸入某種信號(hào)而引起的穩(wěn)態(tài)偏差。無(wú)偏系數(shù)越大，精度越高，穩(wěn)態(tài)偏差越小。無(wú)偏系數(shù)為零，則穩(wěn)態(tài)偏差為∞，不能跟蹤輸出；無(wú)偏系數(shù)為∞，則穩(wěn)態(tài)偏差為零。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)——開環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)偏差的影響無(wú)差度：表征系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征（能夠跟蹤的信號(hào)的階數(shù)）0、I、II、III型系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式！開環(huán)增益：（1）單位階躍輸入0型：I、II型：（2）單位斜坡輸入0型：I型：II型：（3）單位加速度輸入0型、I型：II型：不同類型系統(tǒng)在不同輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)偏差主對(duì)角線上：對(duì)角線以上：對(duì)角線以下：（1）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信號(hào)、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征及開環(huán)增益有關(guān)。（2）當(dāng)系統(tǒng)存在幾個(gè)輸入作用時(shí)，可按疊加原理進(jìn)行計(jì)算；系統(tǒng)存在干擾作用時(shí)，總的偏差等于給定輸入和干擾分別作用引起的偏差之和。（3）對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)偏差等于穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，利用二者之間的關(guān)系把穩(wěn)態(tài)偏差換算為穩(wěn)態(tài)誤差，而不能把系統(tǒng)化為單位反饋系統(tǒng)，再由計(jì)算偏差得到誤差。求振蕩系統(tǒng)在單位階躍、單位恒速、單位恒加速輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差