人教課標實驗B版必修5數(shù)列 等差數(shù)列 等差數(shù)列“黃岡賽”一等獎

數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例教學目標：重點難點：靈活地運用各部分知識分析問題和解決問題.1.通過例題和練習，加強各部分知識的相互聯(lián)系，進一步鞏固數(shù)列的有關概念、公式和性質，以及其它的數(shù)學知識和方法.2.熟悉利用相互聯(lián)系的知識分析解決問題的方法，提高分析問題、解決問題的能力及綜合運用知識的能力.3.培養(yǎng)學生靈活運用各部分知識和所學的技能解決問題的意識和習慣.一、復習回顧

等差數(shù)列

等比數(shù)列

定義通項公式中項公式

前n項和公式

an+1-an=d(常數(shù)),n∈N*

an+1/an=q(常數(shù)),n∈N*

an=a1+(n-1)d

an=a1qn-1(a1,q≠0)

若a，A，b成等差數(shù)列，則A=(a+b)/2.

Sn=或

Sn=

1．等差、等比數(shù)列的有關概念和公式若a，G，b成等比數(shù)列，則G2=ab（a,b≠0）當q≠1時,Sn=或Sn=,當q=1時Sn=na1數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例

關于等差、等比數(shù)列的證明，可以有綜合法（據(jù)因導果）、分析法（執(zhí)果索因），較復雜的可以統(tǒng)一到a1,d(或a1,q)進行計算證明。2．證明恒等式的基本方法數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例二、學習新課

設直角三角形三邊長分別為：a,a+d,a+2d(a>0,d>0)，由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2,即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0，∴a=3d(a=-d舍去)，∴直角三角形三邊長分別為3d,4d,5d，∴它們的比為3:4:5.例1已知直角三角形三邊長成等差數(shù)列，試求其三邊之比.

解：數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例法1法2例2已知a、b、c成等差數(shù)列,且a+b,

b+c,c+a成等比數(shù)列，三整數(shù)a,b,c之和介于45和50之間(不含45和50),求a,b,c．由a,b,c成等差數(shù)列，設公差為d，則有a=b-d，c=b+d，由a+b,b+c,c+a成等比數(shù)列，得：又45＜a+b+c＜50，故d=0時，a=b=c=16；∴得45＜3b＜50，即15＜b＜50/3，由b是整數(shù)知：b=16.∴d(6b+d)=0,∴d=0或d=-6b.d=-6b=-96時，∴a+b+c=3b.a=112，b=16，c=-80.解：數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例法1法2即(2b+d)2＝2b(2b-d)，(b+c)2＝(a+b)(c+a)，

本題與不等式聯(lián)系，考查綜合運用等差、等比數(shù)列概念的能力.本題字母較多，關鍵是審清題意，減少字母.

說明：數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例例3已知：sinθ、sinα、cosθ成等差數(shù)列，sinθ、sinβ、cosθ成等比數(shù)列，求證：2cos2α=cos2β.證明：∵sinθ、sinα、cosθ成等差數(shù)列，∴有2sinα=sinθ+cosθ--①；又∵sinθ、sinβ、cosθ成等比數(shù)列，∴有sin2β=sinθcosθ--②；由①2-②×2得：4sin2α-2sin2β=1.利用三角降次公式得：2(1-cos2α)-(1-cos2β)=1，即2cos2α=cos2β.∴原式成立.數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例復習由已知可得2sinα=sinθ+cosθ，sin2β=sinθcosθ，∴1-4sin2α+2sin2β=1-(2sinα)2+2sin2β=1-(sinθ+cosθ)2+2sinθcosθ=0.只須證2(1-2sin2α)=1-2sin2β,只須證1-4sin2α+2sin2β=0.證法2(分析法)：欲證2cos2α=cos2β，∴原題得證.數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例

例4設f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)且滿足f(x+2)=f(x+1)-f(x).如果

f(1)=lg(3/2)，f(2)=lg15，求f(2002).

∴f(2002)=f(333×6+4)=f(4)=1-lg15.解：

∵f(1)=lg(3/2)=lg15-1，f(2)=lg15，∴f(3)=f(2)-f(1)=1，f(4)=f(3)-f(2)=1-lg15，f(5)=f(4)-f(3)=-lg15，f(6)=f(5)-f(4)=-1，f(7)=f(6)-f(5)=lg15-1，f(8)=f(7)-f(6)=lg15，f(9)=f(8)-f(7)=1，……由此可以想象,從f(7)開始又重復上述數(shù)值，即f(x+6)=f(x).數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例

說明：此題體現(xiàn)了函數(shù)與遞推數(shù)列的聯(lián)系，訓練我們的觀察分析能力．首先把已知看成是一遞推數(shù)列，然后求出前若干項，觀察知數(shù)列的項呈周期性變化，進而得解．數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例

例5如果a,b,c成等差數(shù)列,x,y,z成等比數(shù)列,且x,y,z都是正數(shù).求證:

(b-c)logdx+(c-a)logdy+(a-b)logdz=0.(d>0,d≠1)

∴原式成立.證明：∵左邊=logdx(b-c)+logdy(c-a)+logdz(a-b)=logd[x(b-c)y(c-a)z(a-b)]，∴只須證x(b-c)y(c-a)z(a-b）=1即可.∵a,b,c成等差數(shù)列,∴b-c=a-b,且c-a=-2(a-b)又x,y,z成等比數(shù)列，∴y2=xz.∴x(b-c)y(c-a)z(a-b）=x(a-b)y-2(a-b)z(a-b）=(x.y-2.z)(a-b）=(y2.y-2)(a-b)=1(a-b)=1,∴左邊=logd[x(b-c)y(c-a)z(a-b）]=logd1=0.數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例

說明：①此題證法很多，同學們下去可以試一試；

②由三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，可以推出許多種關系（即等差數(shù)列定義的變形），如：a-b=b-c,a=b-d,c=b+d,c-a=-2(a-b)=-2(b-c)等等；

同樣x,y,z成等比數(shù)列也有多種變形形式，如：x=y/q,z=yq,y2=xz,x/y=y/z,

z/x=(y/x)2等.

一般關于數(shù)列問題的證明，用a1,d或a1,q來統(tǒng)一式中各數(shù)使其成為以上的變形形式，比較容易化簡.

數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例練習：已知sin2θ、tanθ、cos2θ成等差數(shù)列,求證：tanθ、cotθ、10cos2θ成等比數(shù)列.∴tanθ、cotθ、10cos2θ成等比數(shù)列.證明：由已知得：2tanθ=sin2θ+cos2θ=1，∴tanθ=1/2，于是有cotθ=2，10cos2θ=10/sec2θ=10/(1+tan2θ)=10/[1+(1/2)2]=8.∴有22=(1/2)×8，即cot2θ=tanθ?10cos2θ數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例三、歸納小結

由上面的例題和練習，我們看到了數(shù)列與其它知識的一些聯(lián)系，將來我們學習了更多的知識以后，我們會看到數(shù)列與其它知識的聯(lián)系更廣泛，事實上，我們所學過的和將要學習的各部分知識本來就有著緊密的聯(lián)系，因此，在學習中必須學好各部分的基礎知識，注意知識之間的聯(lián)系和綜合應用，才能鞏固已有的知識，培養(yǎng)、提高自己分析問題和解決問題的能力.數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例四、布置作業(yè)

1．項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列｛an｝中奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求該數(shù)列的中間項．2．設等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,已知a3=12，S１２＞0，S13＜0．求公差d的取值范圍．3.解方程：lgx+lgx3+lgx5+…+lgx(2n-1)=2n2.4．在等差數(shù)列{an}中，a1=12，S3=S10,求Sn的最大值.5．一山高(山頂相對于山腳的垂直高度)1600m，已知此地每升高(垂直高度)100m，氣溫降低0.70C，某時刻山腳下的氣溫為260C，求此時山頂?shù)臍鉁兀當?shù)列與其它知識的綜合應用舉例

課題：數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例

一、復習二、例與練三、小結

1．等差等比數(shù)列例1例4

的有關概念

2．證明恒等式的例2例5四、作業(yè)

基本方法

例3練習：

數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例五、板書設計例3

cos2θ=cos2θ-sin2θ=1-2sin2θ=2cos2θ-1

sin2θ=(1-cos2θ)/2,

cos2θ=(1+cos2θ)/2.由題意可設三邊為：a,b,c,且a<b<c，則

a2+b2=c2--①,2b=a+c--②.由①、②消去a得：5b2-4bc=0，即b(5b-4c)=0,∴b=0(舍去)或b=4c/5,∴a=3c/5.∴a:b:c=3:4:5.例1數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例法1：設三邊分別為：a-d,a,a+d(a>0,d>0),由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2，即a2-4ad=0,∴a=0(舍去)或a=4d.∴三邊為：3d,4d,5d.∴a:b:c=3:4:5.法2：例1a=7b時，a=112，b=16，c=-80.由a,b,c成等差數(shù)列，得：2b=a+c--①法1：由a+b,b+c,c+a成等比數(shù)列,得:(b+c)2=(a+b)(c+a)--②由①、②消去c得：(3b-a)2=(a+b)(2b)，即a2-8ab+7b2=0，∴a=b或a=7b.又45＜a+b+c＜50，由①知：45＜3b＜50，即15＜b＜50/3，由b是整數(shù)知：b=16.故a=b時，a=b=c=16；例2數(shù)列與其它知識的綜合應用舉例由a,b,c成等差數(shù)列，設公差為d，則b=a+d，c=a+2d.法2：由a+b,b+