2024屆福建省莆田一中等三校第二次高考模擬高三數(shù)學試題試卷

2024屆福建省莆田一中等三校第二次高考模擬高三數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，則=（）A． B．C． D．2．將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，如果在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．3．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．4．函數(shù)與在上最多有n個交點，交點分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線與雙曲線有相同的焦點.設為拋物線與雙曲線的一個交點，且，則雙曲線的離心率為（）A．或 B．或 C．或 D．或6．如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則（）A． B．C． D．7．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點，以線段PQ為直徑的圓過右焦點F，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．8．設正項等差數(shù)列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．369．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果，則輸入的值為()A． B．C．3或 D．或10．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．11．如圖，拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若直線與以為圓心，線段（為坐標原點）長為半徑的圓交于，兩點，則關于值的說法正確的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不確定12．設分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側(cè)），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標系中，已知點和點，若點在的平分線上，且，則向量的坐標為___________.14．某次足球比賽中，，，，四支球隊進入了半決賽.半決賽中，對陣，對陣，獲勝的兩隊進入決賽爭奪冠軍，失利的兩隊爭奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.獲勝概率—0.40.30.8獲勝概率0.6—0.70.5獲勝概率0.70.3—0.3獲勝概率0.20.50.7—則隊獲得冠軍的概率為______.15．某大學、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)占本?？?cè)藬?shù)的比例依次為、、、，現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個專業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則專業(yè)應抽取_________人．16．在中，，．若，則_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，，求實數(shù)的值．（2）若，，求正實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知直線與拋物線交于兩點.（1）當點的橫坐標之和為4時，求直線的斜率；（2）已知點，直線過點，記直線的斜率分別為，當取最大值時，求直線的方程.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）設，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求實數(shù)的值.20．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：．21．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標不變），設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點為1；（2）若函數(shù)在有兩個零點，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

在上分別取點,使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【題目詳解】如下圖，，在上分別取點,使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【題目點撥】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學生邏輯推理能力，屬于基礎題．2、B【解題分析】

根據(jù)條件先求出的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【題目詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則，設，則當時，，，即，要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，則得，得，即實數(shù)的最大值為，故選：B.【題目點撥】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.3、D【解題分析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．4、C【解題分析】

根據(jù)直線過定點，采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點個數(shù)，然后利用對稱性，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：直線過定點且在是關于對稱如圖通過圖像可知：直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關于對稱所以故選：C【題目點撥】本題考查函數(shù)對稱性的應用，數(shù)形結(jié)合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎函數(shù)的性質(zhì)，屬難題.5、D【解題分析】

設，，根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出，，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關系，從而可得出離心率．【題目詳解】過分別向軸和拋物線的準線作垂線，垂足分別為、，不妨設，，則，為雙曲線上的點，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.【題目點撥】本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．6、C【解題分析】

畫出圖形，以為基底將向量進行分解后可得結(jié)果．【題目詳解】畫出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．【題目點撥】應用平面向量基本定理應注意的問題（1）只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時，合理選擇基底會給解題帶來方便．（2）利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算．7、B【解題分析】

求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點坐標的關系，根據(jù)列方程，化簡后求得離心率.【題目詳解】設，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡得，故，設焦點坐標為，由于以為直徑的圓經(jīng)過點，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【題目點撥】本小題主要考查直線和雙曲線的交點，考查圓的直徑有關的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.8、B【解題分析】

方法一：由題意得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得成等差數(shù)列，設，則，，則，當且僅當時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當且僅當，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．9、D【解題分析】

根據(jù)逆運算，倒推回求x的值，根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【題目詳解】因為,所以當，解得

，所以3是輸入的x的值；當時，解得，所以是輸入的x的值，所以輸入的x的值為

或3，故選：D.【題目點撥】本題考查了程序框圖的簡單應用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎題.10、B【解題分析】

根據(jù)菱形中的邊角關系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果．【題目詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應用問題，屬于基礎題.．11、A【解題分析】

利用的坐標為，設直線的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達定理求解即可【題目詳解】據(jù)題意，得點的坐標為.設直線的方程為，點，的坐標分別為，.討論：當時，；當時，據(jù)，得，所以，所以.【題目點撥】本題考查直線與拋物線的相交問題，解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程，屬于基礎題12、B【解題分析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【題目詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【題目點撥】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

點在的平分線可知與向量共線，利用線性運算求解即可.【題目詳解】因為點在的平線上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量的線性運算，利用向量的坐標求向量的模，屬于中檔題.14、0.18【解題分析】

根據(jù)表中信息，可得勝C的概率；分類討論B或D進入決賽，再計算A勝B或A勝C的概率即可求解.【題目詳解】由表中信息可知，勝C的概率為；若B進入決賽，B勝D的概率為，則A勝B的概率為；若D進入決賽，D勝B的概率為，則A勝D的概率為；由相應的概率公式知，則A獲得冠軍的概率為.故答案為：0.18【題目點撥】本題考查了獨立事件的概率應用，互斥事件的概率求法，屬于基礎題.15、【解題分析】

求出專業(yè)人數(shù)在、、、四個專業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得．【題目詳解】由題意、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)的比例為，故專業(yè)應抽取的人數(shù)為．故答案為：1．【題目點撥】本題考查分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的．16、【解題分析】分析：首先設出相應的直角邊長，利用余弦勾股定理得到相應的斜邊長，之后應用余弦定理得到直角邊長之間的關系，從而應用正切函數(shù)的定義，對邊比臨邊，求得對應角的正切值，即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，設，則，根據(jù)，得，由勾股定理可得，根據(jù)余弦定理可得，化簡整理得，即，解得，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關解三角形的問題，在解題的過程中，注意分析要求對應角的正切值，需要求誰，而題中所給的條件與對應的結(jié)果之間有什么樣的連線，設出直角邊長，利用所給的角的余弦值，利用余弦定理得到相應的等量關系，求得最后的結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1（2）【解題分析】

（1）求得和，由，，得，令，令導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用導數(shù)求得的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，令（），利用導數(shù)得到的單調(diào)性，分類討論，即可求解．解法二：可利用導數(shù)，先證明不等式，，，，令（），利用導數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【題目詳解】（1）由題意，得，，由，…①，得，令，則，因為，所以在單調(diào)遞增，又，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，當且僅當時等號成立．故方程①有且僅有唯一解，實數(shù)的值為1．（2）解法一：令（），則，所以當時，，單調(diào)遞增;當時，，單調(diào)遞減;故．令（），則．（i）若時，，在單調(diào)遞增，所以，滿足題意．（ii）若時，，滿足題意．（iii）若時，，在單調(diào)遞減，所以．不滿足題意．綜上述：．解法二：先證明不等式，，，…（*）．令，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，即．變形得，，所以時，，所以當時，.又由上式得，當時，，，.因此不等式（*）均成立．令（），則，（i）若時，當時，，單調(diào)遞增;當時，，單調(diào)遞減;故．（ii）若時，，在單調(diào)遞增，所以．因此，①當時，此時，，，則需由（*）知，，（當且僅當時等號成立），所以．②當時，此時，，則當時，（由（*）知）；當時，（由（*）知）．故對于任意，．綜上述：．【題目點撥】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、（1）（2）【解題分析】

（1）設，根據(jù)直線的斜率公式即可求解；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理得，，結(jié)合直線的斜率公式得到，換元后討論的符號，求最值可求解.【題目詳解】（1）設，因為，即直線的斜率為1.（2）顯然直線的斜率存在，設直線的方程為.聯(lián)立方程組，可得則，令，則則當時，；當且僅當，即時，解得時，取“=”號，當時，；當時，綜上所述，當時，取得最大值，此時直線的方程是.【題目點撥】本題主要考查了直線的斜率公式，直線與拋物線的位置關系，換元法，均值不等式，考查了運算能力，屬于難題.19、(1)(2)【解題分析】

（1）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結(jié)論．（2）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)，畫出f（x）的圖像，找出利用條件求得a的值．【題目詳解】（1）時，.當時，即為，解得.當時，，解得.當時，，解得.綜上，的解集為.（2）.，由的圖象知，，.【題目點撥】本題主要考查含絕對值不等式的解法及含絕對值的函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題20、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1），①當時，，②兩式相減即得數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求和證明.【題目詳解】（1）解：，①當時，．當時，，②由①-②，得，因為符合上式，所以．（2）證明：因為，所以．【題目點撥】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查數(shù)列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.21、（1），；（2）.【解