概率論的基本概念

概率論與數(shù)理統(tǒng)計Probability

andStatistics

引言——概率統(tǒng)計的研究對象現(xiàn)象確定性現(xiàn)象(必然現(xiàn)象)隨機現(xiàn)象：

隨機現(xiàn)象是帶有隨機性(不確定性)、偶然性的現(xiàn)象.

在一定的條件下對它進行試驗或觀察時，結(jié)果是多個可能結(jié)果中的某一個；每一結(jié)果的出現(xiàn)帶有隨機性，事先無法確定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.如扔硬幣、擲骰子、玩撲克等過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象.問題：A.太陽從東方升起；B.明天的最高溫度；C.上拋物體一定下落；D.擲一顆骰子，觀察其向上點數(shù).下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？隨機現(xiàn)象大量性隨機現(xiàn)象:在完全相同的條件下可重復出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象個別隨機現(xiàn)象問題：隨機現(xiàn)象有規(guī)律可言嗎?有規(guī)律！

在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.例如:一門火炮在一定條件下進行射擊，個別炮彈的彈著點可能偏離目標而有隨機性的誤差，但大量炮彈的彈著點則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如：一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等.又如:測量一物體的長度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測量的結(jié)果可能是有差異的.但多次測量結(jié)果的平均值隨測量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù)，而且各測量值大多落在此常數(shù)的附近，越遠則越少，因而其分布狀況呈現(xiàn)“兩頭小，中間大，左右基本對稱”.再如:"天有不測風云"和"天氣可以預報"有矛盾嗎?沒有矛盾!“天有不測風云”體現(xiàn)了隨機現(xiàn)象的偶然性.“天氣可以預報”體現(xiàn)了隨機現(xiàn)象的規(guī)律性.從表面上看，隨機現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機的，但多次觀察某個隨機現(xiàn)象，就能發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律.這種必然性表現(xiàn)在:在一定條件下，對隨機現(xiàn)象進行大量重復觀察，可發(fā)現(xiàn)大量性隨機現(xiàn)象中各種結(jié)果的出現(xiàn)有其規(guī)律性，我們稱其為統(tǒng)計規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究內(nèi)容

隨機現(xiàn)象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表現(xiàn)在“對隨機現(xiàn)象做一次觀測時，觀測結(jié)果具有偶然性(不可預知)”；必然性一面表現(xiàn)在“對隨機現(xiàn)象進行大量重復觀測時，觀測結(jié)果有一定的規(guī)律性，即統(tǒng)計規(guī)律性”。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學分支。第一章概率論的基本概念

§1隨機試驗(randomexperiment)對隨機現(xiàn)象進行的觀察、試驗或?qū)嶒灲凶鲭S機試驗,

可用E表示.§2樣本空間、隨機事件(randomevent)試驗E的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱為試驗E的樣本空間，記為Ω.樣本空間中的元素,即試驗E的每個基本結(jié)果,叫樣本點(或基本事件),記作e或ω.注：樣本空間是描述隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型；樣本空間的構(gòu)造應根據(jù)需要來定.但很多隨機現(xiàn)象的可能結(jié)果的總數(shù)很大,將樣本空間完全寫出較困難，關(guān)鍵應明確以何為樣本點.例：E——擲一均勻硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況.則樣本點{正面朝上}，{反面朝上}；樣本空間若量化處理，則可：{正面朝上}記作{1}，{反面朝上}記作{0}，則樣本空間可表為S={1，0}.例：E——在一批燈泡中任取一只燈泡,測試其壽命.可認為任一大于0的數(shù)都是一個可能結(jié)果，故樣本空間為Ω

={t|t≥0}.即樣本點為[0,+∞)上的任一值t,**隨機事件：粗略地講,在一定條件下，試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件.一般以大寫字母A,B,C等表示事件.例：E——擲一均勻骰子，觀察幾點朝上.則樣本點{i點朝上}記作{i}，樣本空間為Ω

={1,2,3,4,5,6}.都為隨機事件,更多的隨機事件是由多個樣本點構(gòu)成的,如:{出現(xiàn)偶數(shù)點}={2,4,6},{出現(xiàn)1及5點}={1,5},等等;從集合角度看:它們都是樣本空間的子集,若該子集包含的某個樣本點在試驗中出現(xiàn),則相應的隨機事件就發(fā)生.這種事件是由單個樣本點構(gòu)成的,叫基本事件**;定義:試驗E的樣本空間Ω的子集叫做E的隨機事件,試驗中當且僅當這一子集中的某個樣本點出現(xiàn)時,這一事件就發(fā)生.兩個特殊事件必然事件Ω不可能事件例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數(shù)小于7”是必然事件;而“擲出點數(shù)8”則是不可能事件.例：

某兩人約定某一天8點至9點在某地會面,觀察兩人到達時間.若以x、y分別表示甲、乙到達時間,

則樣本空間為Ω={(x,y)|8≤x≤9,8≤y≤9}.

事件A={兩人到達時間相差半小時}={(x,y)||x?y|=1/2,8≤x,y≤9}.**事件間的關(guān)系及事件的運算1°事A包含于事B事A發(fā)生必事B發(fā)生.具體含義數(shù)學符號2°A與B的并(和)事A與事B至少有一發(fā)生.A1,A2,…,An的并或A1,A2,…,An中至少有一發(fā)生.A1,A2,…的并或A1,A2,…中至少有一發(fā)生.3°A與B的交(積)或事A與事B同時發(fā)生.A1,A2,…,An的交或A1,A2,…,An同時發(fā)生.A1,A2,…的交或A1,A2,…同時發(fā)生.4°A與B的差事A發(fā)生但事B不發(fā)生.5°A的逆事件事A不發(fā)生.對此有6°如果則稱A與B互不相容(或互斥).即A與B不同時發(fā)生,要熟知一些常見的關(guān)系與運算,比如:且與互不相容,且等等.事件運算的規(guī)律:設(shè)A,B,C為事件,則(1)交換律:(2)結(jié)合律:(3)分配律:(4)對偶律:

例:從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.

記A={兩件產(chǎn)品都是合格品}，則{兩件產(chǎn)品不都是合格品}，通常敘述為：{兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品};若記Bi

={取出的第i件是合格品}，i=1,2,則

例：A,B,C為三事件,試表示以下事件:(1)“三事恰好有一發(fā)生”(2)“A、B至少有一發(fā)生,但C不發(fā)生”或或(3)“三事中不多于兩事發(fā)生”或或(4)表示何事?表示“A、B、C中至少有兩個發(fā)生”；也可表示成

§3頻率(frequency)與概率(probability)概率是度量事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)量指標.粗略地講,表示事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)值,叫做事件A的概率**,記為P(A).

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，有非常重要的意義:例如，了解發(fā)生意外事故的可能性大小,以便確定保險金額;又如，了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，可以合理配置服務人員;再如,了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，可以合理確定堤壩高度.

事件發(fā)生的可能性大小是否客觀存在?對此頻率的穩(wěn)定性給出了肯定回答;同時給出了在一般的隨機試驗中如何去估計事件概率的方法.

一.頻率事件A在n次重復試驗中發(fā)生的次數(shù)nA叫A發(fā)生的頻數(shù).

A在這n次試驗中發(fā)生的頻率：事件發(fā)生的頻率有一重要特性——穩(wěn)定性.為此考慮在相同條件下進行的多輪試驗：第二輪試驗試驗次數(shù)n2事件A出現(xiàn)m2次第k輪試驗試驗次數(shù)nk事件A出現(xiàn)mk次事件A在各輪試驗中的頻率分別為:…………,試驗次數(shù)n1事件A出現(xiàn)m1次第一輪試驗試驗表明：當試驗次數(shù)較少時，同一事件在不同輪次的試驗中的頻率有明顯差異;

當各輪試驗次數(shù)充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的頻率都穩(wěn)定在某一常數(shù)P(A)附近，且此數(shù)不依賴于試驗的次數(shù)及輪次.事件頻率隨試驗次數(shù)無限增大而趨于穩(wěn)定的性質(zhì)叫頻率穩(wěn)定性.顯然可用常數(shù)P(A)來度量事件A發(fā)生的可能性大小，此數(shù)為事件A發(fā)生的概率(統(tǒng)計概率).基于頻率穩(wěn)定性，在實際中:當概率不易求出時，人們常取試驗次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計值.

例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進行觀察記錄.若他射擊n發(fā)，中靶m發(fā)，當n很大時，可用頻率m/n作為他中靶概率的估計.再如：A記圖示正方形區(qū)域為Ω，紅域為A.現(xiàn)向區(qū)域Ω內(nèi)隨機地投點n次，有m次落在A中.以A表示事件“隨機點落在A中”，由幾何方法算得：利用頻率和概率的關(guān)系，當n充分大時，于是：

二.概率的公理化定義及性質(zhì)定義:設(shè)Ω

為試驗E的樣本空間,若對E中每一事件A,有一實數(shù)P(A)與之對應,且滿足:1o非負性：對任一事件A有2o規(guī)范性：3o可列可加性：對兩兩互不相容事件A1

,A2,…,有則稱P(A)為事件A的概率.注：理解概率是一滿足某些公理(基本性質(zhì))的集合函數(shù);并著重掌握概率的性質(zhì).性質(zhì)一：*性質(zhì)二(有限可加性)：對兩兩互不相容事件A1

,A2,…,An,有性質(zhì)三：若

,則性質(zhì)四：對任一事件A

,

*性質(zhì)五(逆的概率)：*性質(zhì)六(加法公式)：例：設(shè)A發(fā)生的概率為1/5,A與B至少有一發(fā)生的概率為1/3,A發(fā)生但B不發(fā)生的概率為1/9;求(1)B發(fā)生的概率;(2)A與B同時發(fā)生的概率;(3)A與B都不發(fā)生的概率;(4)A與B至少有一不發(fā)生的概率.解：已知(1)(2)(3)(4)

§4.古典概型(等可能概型)一.古典概型與古典概率古典概型是一種計算概率的數(shù)學模型,是概率論最早的研究對象.古典概型隨機試驗

1o有限性：試驗中基本事件的總數(shù)有限;2o等可能性：試驗中每一基本事件發(fā)生的可能性相同.注：等可能性是種假設(shè),應根據(jù)實際情況來判斷,一般可由對稱性或某種均衡性來判斷.23479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.由于抽取時這些球是完全平等的,因而可認為10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.若將抽球過程看作試驗,則抽到某一球就是試驗的一個可能結(jié)果(或基本事件),故試驗中每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同.

再如:擲均勻硬幣,擲均勻骰子及產(chǎn)品的抽樣檢測等.

研究古典型隨機試驗的概率模型叫古典概型.古典概型中的概率叫古典概率.在古典概型中,

事件A的概率

A包含的基本事件數(shù)基本事件的總數(shù)這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題.排列組合是計算古典概率的重要工具.二.古典概率計算舉例在古典概型中,事件A的概率:

A包含的基本事件數(shù)基本事件的總數(shù)計算古典概率的一般步驟:(1)確定以什么為基本事件:明確其內(nèi)涵,注意保證等可能性.(2)算出基本事件的總數(shù)及A包含的基本事件數(shù);在計算時應避免重復計數(shù)或遺漏;在選用計數(shù)方法時應保持一致.(3)算出P(A).

例:向桌面擲2枚均勻硬幣,求落下后向上的面為一正一反的概率.解:注意到2硬幣是可識別的,因而共有4個等可能的基本事件:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反);記A={兩硬幣落下后向上的面為一正一反},則A包含2個基本事件,

例:某人有一串式樣相同的鑰匙8把,只有一把能將門打開,現(xiàn)從中任取3把去試開,求能將門打開的概率.解:8把鑰匙中任取3把的每一種取法為一基本事件,

若不計次序,則基本事件的總數(shù)為記

A={8

把鑰匙中任取3把,能將門打開},則

A包含的基本事件數(shù)為若考慮次序,則=————或.

例（球在盒中的分布問題）：有n個編了號的球，每個球都以相同的概率1/N(N≥n)被放入

N個盒子的每一盒中,求以下事件的概率：A={指定的n個盒中各有一球}，B={每個盒中至多有一球}，C={某指定的盒中恰有m個球}解:n個球放入

N個盒中的每一種放法為一基本事件,基本事件的總數(shù)為

A包含的基本事件數(shù)為

B包含的基本事件數(shù)為

C包含的基本事件數(shù)為許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型,如以下問題都可歸結(jié)為分球入盒問題:

1.有n個人，每個人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.2.有n個人，設(shè)每個人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個人的生日互不相同的概率.3.某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同.求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率.4.某城市的電話號碼由8個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由八個不同數(shù)字組成的概率.例:甲、乙兩人先后從52張牌中各抽取13張,請針對以下各情況,求甲或乙拿到4張A

的概率.1)甲抽后不放回，乙再抽;2)甲抽后將牌放回，乙再抽.

解:設(shè)

A={甲拿到4張A

},

B={乙拿到4張A

},欲求概率(1)

A、B

互不相容:(2)

A、B

相容:例:設(shè)元件盒中裝有50個電阻，20個電感，30個電容，從盒中任取30個元件，求所取元件中至少有一個電阻同時至少有一個電感的概率.解:設(shè)

A={所取元件中至少有一電阻},

B={所取元件中至少有一電感},欲求概率P(AB),容易求出:

§5.條件概率、全概率公式及貝葉斯公式一.條件概率（1）在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為條件概率，記作P(B|A).一般P(B|A)≠P(B),（2）計算公式:（3）概率具有的性質(zhì)也適用于條件概率,但要注意條件不能變、不能丟棄.

（4）乘法公式：或進一步：若則………利用乘法公式可計算多個事件同時發(fā)生的概率.例:擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?

解:設(shè)

A={擲出點數(shù)之和不小于10

},

B={第一顆擲出6點},欲求概率解法1(縮減樣本空間法):B發(fā)生后的縮減樣本空間所含基本事件的總數(shù)在縮減樣本空間中A所含基本事件數(shù)解法2(公式法):例:n個人排成一列,已知甲總排在乙前,求乙緊跟甲后的概率?

解:設(shè)

A={甲在乙前

},

B={乙緊跟甲后},欲求概率解法1(縮減樣本空間法):解法2(公式法):例:設(shè)某種透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2;若第一次落下未打破,則第二次落下時打破的概率為7/10;若前兩次落下未打破,則第三次落下時打破的概率為9/10;求透鏡落下三次而未打破的概率.解:設(shè)

B={透鏡落下三次而未打破},

Ai

={透鏡第i次落下時打破},i=1,2,3,已知

欲求概率P(B);而

二.全概率公式及貝葉斯公式全概率公式主要用于計算比較復雜事件的概率,是加法公式和乘法公式的綜合運用.例(抓鬮問題):一組n人抓n個鬮(其中m個標“有”),求第二人抓到“有”的概率.解:設(shè)

A={第二人抓到“有”},

B={第一人抓到“有”},則

且

設(shè)S為試驗的樣本空間，事件B1,B2,…,Bn兩兩互不相容，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),全概率公式:將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.(B1,B2,…,Bn叫S的一劃分或完備事件組),則對任一事件A，有全概率公式的來由:“全”部概率P(A)被分解成了許多部分概率之和.說明:(2)由于因此A總是伴隨著

B1,B2,…,Bn中的某個Bi的出現(xiàn)而出現(xiàn),可以說:每一Bi都可能導致A發(fā)生;B1,B2,…,Bn

是導致A發(fā)生的所有原因，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和.由此可形象地把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果”.(3)應用時,先分析在哪些情況(事件)下A會發(fā)生,列出A與這些事件的關(guān)系,再作計算.例:有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解:設(shè)

A={取得紅球},

Bi

={取到第i號箱},i=1,2,3,則

且

B1A,B2A,B3A

兩兩互不相容，

設(shè)事件B1,B2,…,Bn是樣本空間S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),貝葉斯公式:則對任一事件A(P(A)>0)，有(i=1,2,…,n).該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導致A發(fā)生的每個原因的概率.貝葉斯公式在實際中有很多應用，它可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因.

例:

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.05，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?解:設(shè)

A={試驗反映是陽性},

C={抽查的人患有癌癥},則

且

已知

求P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義:如果不做試驗,抽查一人,他是患者的概率P(C)=0.005;患者陽性反應的概率是0.95,若試驗后得陽性反應,則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為P(C|A)=0.0872;

說明試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.從0.005增加到0.0872,增加了17倍多.1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？2.檢出陽性是否一定患有癌癥?

試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.0872,

即使你檢出陽性，也不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有8.72%(平均來說，1000個人中大約只有87人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認.

例:

一袋裝有5只白球7只黑球,不小心丟了一球,不知何種顏色;為猜測失球顏色:從袋中隨取2只球,結(jié)果為白球,問此時失去的是白球的概率有多大?解:設(shè)

A={取出的2只都為白球},

B={失去的是白球},則

且

欲求P(B|A).

=

§6.事件的獨立性對條件概率，一般P(B|A)≠P(B),表明事件A的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率;但有時P(B|A)=P(B),此時意味著事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率,也叫B對A是獨立的.若B對A獨立,則意味著A對B也是獨立的.表明獨立是相互的.

定義:對事件A與B,若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨立.注：事件的獨立是概率意義下的獨立,與互不相容有區(qū)別;獨立性是事件的概率屬性,

而互不相容是事件本身間的關(guān)系.例:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K

},B={抽到的牌是黑色的},由于P(A)=4/52=1/13,問事件A、B是否獨立？解：P