第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)（知識(shí)梳理熱考題型）（解析版）

第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單元復(fù)習(xí)【知識(shí)梳理】一、n次方根與根式(1)a的n次方根的概念一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a，如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn＝a，則x稱為a的n次方根.(2)根式的概念當(dāng)eq\r(n,a)有意義的時(shí)候，eq\r(n,a)稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).(3)根式的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n＝a(n>1且n∈N*).②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|.二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪①規(guī)定正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝(eq\r(n,a))m＝eq\r(n,am)(eq\r(n,a)有意義).②規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,（\r(n,a)）m)＝eq\f(1,\r(n,am))(eq\r(n,a)有意義且a≠0).(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中s，t∈Q.三、實(shí)數(shù)指數(shù)冪(1)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則①asat＝as＋t；②(as)t＝ast；③(ab)s＝asbs.其中s，t∈R.(2)拓展：eq\f(as,at)＝as－t，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(s)＝eq\f(as,bs)，其中a>0，b>0，s，t∈R.四、指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.五、指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域?yàn)镽值域值域?yàn)?0，＋∞)，即對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有ax>0過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對(duì)稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱六、指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0，＋∞).七、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)y＝af(x)的性質(zhì)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系：由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律：“同增異減”.當(dāng)a＞1時(shí)，y＝af(x)的單調(diào)性與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，當(dāng)a＜1時(shí)，y＝af(x)的單調(diào)性與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相反.八、對(duì)數(shù)的概念在表達(dá)式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當(dāng)a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個(gè)式子，此時(shí)，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b＝logaN，其中a稱為對(duì)數(shù)的底數(shù)，N稱為對(duì)數(shù)的真數(shù).九、對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式(1)對(duì)數(shù)的有關(guān)結(jié)論①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；②1的對(duì)數(shù)為零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；③底數(shù)的對(duì)數(shù)為1，即logaa＝1(a>0且a≠1)；④對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；⑤對(duì)數(shù)恒等式：logaab＝b(a>0且a≠1).(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)①以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，即log10N是常用對(duì)數(shù)，為了簡便起見，把log10N簡寫為lgN.②以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，自然對(duì)數(shù)logeN通常簡寫為lnN.十、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMα＝αlogaM；(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.十一、換底公式對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)特別地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0，且b≠1).十二、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝logax稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.十三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域定義域?yàn)?0，＋∞)，圖像在y軸的右邊值域值域?yàn)镽過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0，當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0，當(dāng)x>1時(shí)，y<0單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)對(duì)稱性y＝logax與y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱十四、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像變換常見的函數(shù)圖像的變換技巧①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊的圖像),\s\do5(并作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像))y＝f(|x|).②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方的圖像),\s\do5(將x軸下方的圖像翻折上去))y＝|f(x)|.③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x).④y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)十五、對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝logaf(x)的性質(zhì)對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝logaf(x)性質(zhì)的研究(1)定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.(2)值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中先確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.(3)單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判定(或運(yùn)用單調(diào)性定義判定).(4)奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.十六、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)反函數(shù)的概念①定義：一般地，如果在函數(shù)y＝f(x)中，給定值域中任意一個(gè)y的值，只有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為y＝f(x)的反函數(shù).②記法：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)x＝f－1(y)，習(xí)慣上反函數(shù)的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)記作y＝f－1(x).(2)互為反函數(shù)的圖像與性質(zhì)①圖像間的關(guān)系y＝f(x)與y＝f－1(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.②互為反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(ⅰ)y＝f(x)的定義域與y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域與y＝f－1(x)的定義域相同.(ⅱ)如果y＝f(x)是單調(diào)函數(shù)，那么它的反函數(shù)y＝f－1(x)一定存在.此時(shí)，如果y＝f(x)是增函數(shù)，則y＝f－1(x)也是增函數(shù)；如果y＝f(x)是減函數(shù)，則y＝f－1(x)也是減函數(shù).十七、冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α是常數(shù).十八、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖像在同一平面直角坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1的圖像如圖.(2)五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上是增函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)公共點(diǎn)(1，1)(3)冪函數(shù)y＝xα隨著α的不同，定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性也不盡相同，要根據(jù)α的值判斷.十九、增長速度的比較函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1<x2時(shí))或[x2，x1](x1>x2時(shí))上的平均變化率為eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).它的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，也可理解為：自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值將增加eq\f(Δf,Δx)快慢.【熱考題型】【考點(diǎn)1】指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、單選題1．（2023上·北京大興·高一校考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式和指數(shù)冪的運(yùn)算求解,【詳解】解：，故選：A2．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再由及當(dāng)時(shí)函數(shù)值的特征判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榍?，故為偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)椋逝懦鼵、D；當(dāng)時(shí)，故排除A.故選：B3．（2023·湖北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，，，都是不等于1的正數(shù)，函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定，，，與的關(guān)系，再由時(shí)，函數(shù)值的大小判斷.【詳解】因?yàn)楫?dāng)?shù)讛?shù)大于時(shí)，指數(shù)函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于且小于時(shí)，指數(shù)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，所以，大于，，大于且小于，由圖知：，即，，即，所以.故選：B4．（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點(diǎn)．【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，無論取何值，，所以函數(shù)且的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)，故選：A.5．（2023上·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函數(shù)的定義域滿足，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足，解得且.故答案為：D6．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的函數(shù)的最大值為M，最小值為N，且，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷其奇偶性，利用所構(gòu)造函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，則，即為奇函數(shù)，由于函數(shù)有最大值為M，最小值為N，則函數(shù)有最大值，最小值，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，所以.故選：B二、多選題7．（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則（

）A．的最小值為9 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】CD【分析】A應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值，注意取值條件；B由，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值；C、D利用基本不等式及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求最值，注意取值條件.【詳解】A：因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，取得最小值，錯(cuò)；B：，二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)，時(shí)取得最小值，錯(cuò)；C：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，對(duì)；D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，對(duì).故選：CD8．（2023上·黑龍江大慶·高一大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若函數(shù)與的值域相同，但定義域不同，則稱與是“同象函數(shù)”，已知函數(shù)，，則下列函數(shù)中與是“同象函數(shù)”的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AD【分析】求出的值域，根據(jù)“同象函數(shù)”的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】函數(shù)的值域?yàn)?，?duì)于A，函數(shù)，，所以，與的值域一樣，所以與是“同象函數(shù)”，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)，，所以函數(shù)，與的值域不一樣，所以與不是“同象函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)，，所以，與的值域不一樣，所以與不是“同象函數(shù)”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)，，所以，與的值域一樣，所以與是“同象函數(shù)”，故D正確.故選：AD.三、填空題9．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ械诙袑W(xué)?？计谥校┗啠?【答案】【分析】根據(jù)根式的定義求解．【詳解】.故答案為：.10．（2023上·重慶·高一重慶一中校考期中）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若，使成立，則的最小值為．【答案】4【分析】設(shè)，根據(jù)單調(diào)性的定義法證明在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得出在上單調(diào)遞增.根據(jù)已知范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)得出，結(jié)合已知，將不等式轉(zhuǎn)化為.根據(jù)已知推得，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出不等式.換元根據(jù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】設(shè)，，且，則.因?yàn)?，，所以，，，所以，，，所以，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，根?jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，.又，所以.所以，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，，所以，，所以?由已知，可得，所以，.所以由可得，.又，所以，，所以，.因?yàn)?，所?又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，所以，.令，則，所以.設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)與在均為增函數(shù)，所以，在也是增函數(shù)，所以，.所以，，所以的最小值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解抽象函數(shù)不等式時(shí)，一般需要考慮函數(shù)的奇偶性（或?qū)ΨQ性）以及單調(diào)性.根據(jù)函數(shù)的奇偶性（或?qū)ΨQ性），將不等式轉(zhuǎn)化為的形式（或），即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出不等式.11．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）若時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性，即可得到關(guān)于的不等式，求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】由已知可得，且.又時(shí)，，即，所以有，即，解得或.故答案為：或.四、解答題12．（2023上·江蘇無錫·高一錫東高中?？计谥校?）計(jì)算:．（2）若，求下列式子的值：①②【答案】（1）1；（2）①，②.【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系化簡求值即可；（2）①：由求解；②：由，結(jié)合隱含的條件即可求解.【詳解】（1）原式=；（2）①：，所以；②：，由題意知，所以.13．（2023上·福建廈門·高一廈門市海滄中學(xué)?？计谥校?duì)于函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；(2)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？證明你的結(jié)論．【答案】(1)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，證明見解析(2)，證明見解析【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性的定義分析運(yùn)算即可得解得證.（2）利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的定義分析運(yùn)算即可得解得證.【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，證明：設(shè)，則，由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，，則，∴，即，∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.（2）解：當(dāng)時(shí)函數(shù)為奇函數(shù).∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴由奇偶性的定義知，，解得：.證明：當(dāng)時(shí)，，，∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù).14．（2023上·重慶榮昌·高一重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；(3)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析；(3)【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和恒等式的性質(zhì)，可得所求值；（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，由單調(diào)性的定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)可得證明；（3）由奇函數(shù)在上為增函數(shù)，可將原不等式的兩邊的“”去掉，從而利用基本不等式即可得解.【詳解】（1）由定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，可得，即有，即恒成立，所以；（2）由于，可得函數(shù)在上為增函數(shù)．證明：任取，，且，則，因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以函?shù)在上為增函數(shù)．（3）由（2）得，奇函數(shù)在上為增函數(shù)，則等價(jià)于，即，令，則在上有解，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小問解決的關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解的問題，從而得解.【考點(diǎn)2】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、單選題1．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以從而求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，所以，故C項(xiàng)正確.故選：C.2．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義，逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對(duì)數(shù)函數(shù)，AB不是；函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，C是；函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.故選：C3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．6【答案】C【分析】由題設(shè)求的解析式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)求即可.【詳解】由題設(shè)，可得且，又是偶函數(shù)，∴.故選：C.4．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)定義域得到不等式，解得答案.【詳解】定義域滿足，解得且.故選：D.5．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】的定義域是，令，其在定義域上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，.故選：A.6．（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如:，．已知函數(shù)，若，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分段討論的取值，計(jì)算的值域.【詳解】當(dāng)時(shí),，∴，當(dāng)時(shí),，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?故選:B.二、多選題7．（2023上·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝羞\(yùn)算中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．若，則 D．【答案】AD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD8．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．為奇函數(shù)C．在定義域上是減函數(shù)D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，奇函數(shù)的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，舉反例依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A，由，解得，即的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，，即為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，而在上單調(diào)遞減，在其定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上是減函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以的值域不可能為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若，則不等式的解集為【答案】AC【分析】函數(shù)的定義域?yàn)榈葍r(jià)于恒成立，由此即可列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可判斷A；若函數(shù)的值域?yàn)榈葍r(jià)于的值域有子集，即可求出實(shí)數(shù)的值，從而判斷B；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)且恒成立，由此即可列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，從而判斷C；若，，即可解出不等式；即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以恒成立，?dāng)時(shí)，顯然不恒成立，故，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以函?shù)的值域有子集，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，符合題意；當(dāng)時(shí)，解得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上可得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由，即，可得，解得，即不等式的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．（2023下·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且.則下列結(jié)論恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象找出實(shí)數(shù)a，b，c的范圍，求出，對(duì)不成立的結(jié)論可舉反例,對(duì)恒成立的結(jié)論結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行論證.【詳解】畫出函數(shù)圖象，如圖，因?yàn)?，且?所以.且即.對(duì)A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則，故B正確；

對(duì)C，因?yàn)?，所以，又，則，令解得，即時(shí)，,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，有，故C不正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，則.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題11．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）不等式的解集為；【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求出解集.【詳解】即，解得：故答案為：12．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)（其中m，，且）的圖象恒過定點(diǎn)，則．【答案】【分析】根據(jù)所過定點(diǎn)求得正確答案.【詳解】由題意，函數(shù)恒過定點(diǎn)，可得，解得，，所以．故答案為：13．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考期中）若函數(shù)，則.【答案】8【分析】直接代入即可得到答案.【詳解】.故答案為：8.四、解答題14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求值；（2）已知為正實(shí)數(shù)，，求的值.【答案】（1）；（2）1【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可直接計(jì)算出答案.（2）根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化及換底公式得出x,y,z，然后代入已知條件即可求出答案.【詳解】（1）.（2）為正實(shí)數(shù)，，.故的值為1.15．（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且.(1)若的值域?yàn)?，求的取值范?(2)試判斷是否存在，使得在上單調(diào)遞增，且在上的最大值為1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）首先設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，可得，討論的取值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）分，和三個(gè)大類討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，判斷是否存在實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，符合題意.當(dāng)時(shí)，由，解得.綜上，的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，，不符合題意.下面只討論的情況.若，則在上單調(diào)遞增，由，解得，此時(shí)，得，即當(dāng)時(shí)，存在，符合題意，當(dāng)時(shí)，不存在符合題意的.若，則在上單調(diào)遞減，由，解得，此時(shí)，得，則當(dāng)，即時(shí)，存在，符合題意.綜上，當(dāng)或時(shí)，存在，符合題意；當(dāng)時(shí)，不存在符合題意的.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，單調(diào)性，最值的綜合應(yīng)用問題，結(jié)合對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性的討論，可由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.16．（2023上·廣東佛山·高一石門中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)且．(1)解關(guān)于的不等式；(2)若恒成立，則是否存在實(shí)數(shù)，令時(shí)，恒有？若存在，求實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合定義域?qū)懗霾坏仁浇M，由此求解出解集；（2）根據(jù)已知條件分析函數(shù)單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解出結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，解得；所以不等式解集為；?）設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，又恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闀r(shí)，恒有，所以時(shí)，恒有，即恒成立，所以，令，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，所以，所以，綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足條件.【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系一、單選題1．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以從而求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，所以，故C項(xiàng)正確.故選：C.2．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義，逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對(duì)數(shù)函數(shù)，AB不是；函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，C是；函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.故選：C3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．6【答案】C【分析】由題設(shè)求的解析式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)求即可.【詳解】由題設(shè)，可得且，又是偶函數(shù)，∴.故選：C.4．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)定義域得到不等式，解得答案.【詳解】定義域滿足，解得且.故選：D.5．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】的定義域是，令，其在定義域上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，.故選：A.6．（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如:，．已知函數(shù)，若，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分段討論的取值，計(jì)算的值域.【詳解】當(dāng)時(shí),，∴，當(dāng)時(shí),，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?故選:B.二、多選題7．（2023上·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝羞\(yùn)算中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．若，則 D．【答案】AD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：AD8．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．為奇函數(shù)C．在定義域上是減函數(shù)D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，奇函數(shù)的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，舉反例依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于A，由，解得，即的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，，即為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，而在上單調(diào)遞減，在其定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上是減函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以的值域不可能為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若，則不等式的解集為【答案】AC【分析】函數(shù)的定義域?yàn)榈葍r(jià)于恒成立，由此即可列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可判斷A；若函數(shù)的值域?yàn)榈葍r(jià)于的值域有子集，即可求出實(shí)數(shù)的值，從而判斷B；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)且恒成立，由此即可列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，從而判斷C；若，，即可解出不等式；即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以恒成立，?dāng)時(shí)，顯然不恒成立，故，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以函?shù)的值域有子集，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋项}意；當(dāng)時(shí)，解得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上可得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由，即，可得，解得，即不等式的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．（2023下·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且.則下列結(jié)論恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象找出實(shí)數(shù)a，b，c的范圍，求出，對(duì)不成立的結(jié)論可舉反例,對(duì)恒成立的結(jié)論結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行論證.【詳解】畫出函數(shù)圖象，如圖，因?yàn)?，且?所以.且即.對(duì)A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則，故B正確；

對(duì)C，因?yàn)?，所以，又，則，令解得，即時(shí)，,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，有，故C不正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，則.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題11．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）不等式的解集為；【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求出解集.【詳解】即，解得：故答案為：12．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)（其中m，，且）的圖象恒過定點(diǎn)，則．【答案】【分析】根據(jù)所過定點(diǎn)求得正確答案.【詳解】由題意，函數(shù)恒過定點(diǎn)，可得，解得，，所以．故答案為：13．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考期中）若函數(shù)，則.【答案】8【分析】直接代入即可得到答案.【詳解】.故答案為：8.四、解答題14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求值；（2）已知為正實(shí)數(shù)，，求的值.【答案】（1）；（2）1【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可直接計(jì)算出答案.（2）根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化及換底公式得出x,y,z，然后代入已知條件即可求出答案.【詳解】（1）.（2）為正實(shí)數(shù)，，.故的值為1.15．（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且.(1)若的值域?yàn)?，求的取值范?(2)試判斷是否存在，使得在上單調(diào)遞增，且在上的最大值為1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）首先設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，可得，討論的取值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）分，和三個(gè)大類討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，判斷是否存在實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋项}意.當(dāng)時(shí)，由，解得.綜上，的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，，不符合題意.下面只討論的情況.若，則在上單調(diào)遞增，由，解得，此時(shí)，得，即當(dāng)時(shí)，存在，符合題意，當(dāng)時(shí)，不存在符合題意的.若，則在上單調(diào)遞減，由，解得，此時(shí)，得，則當(dāng)，即時(shí)，存在，符合題意.綜上，當(dāng)或時(shí)，存在，符合題意；當(dāng)時(shí)，不存在符合題意的.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，單調(diào)性，最值的綜合應(yīng)用問題，結(jié)合對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性的討論，可由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.16．（2023上·廣東佛山·高一石門中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)且．(1)解關(guān)于的不等式；(2)若恒成立，則是否存在實(shí)數(shù)，令時(shí)，恒有？若存在，求實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合定義域?qū)懗霾坏仁浇M，由此求解出解集；（2）根據(jù)已知條件分析函數(shù)單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解出結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，解得；所以不等式解集為；?）設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，又恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闀r(shí)，恒有，所以時(shí)，恒有，即恒成立，所以，令，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，所以，所以，綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足條件.【考點(diǎn)4】冪函數(shù)一、單選題1．（2023下·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由冪函數(shù)的定義可判斷各選項(xiàng).【詳解】由冪函數(shù)的定義,形如，叫冪函數(shù)，對(duì)A，，故A正確；B，C，D均不符合.故選：A．2．（2023上·重慶·高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先代入求出的值，即可得到函數(shù)解析式，再代入求值即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，解得，所以，則.故選：A3．（2023上·重慶·高一重慶八中?？茧A段練習(xí)）若，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C．或3 D．【答案】C【分析】由冪函數(shù)定義結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性知識(shí)可得答案.【詳解】由為冪函數(shù)有，即或，又由在上單調(diào)遞減得，經(jīng)驗(yàn)證或均成立.故選：.4．（2023上·廣東廣州·高一廣州市第二中學(xué)?？计谥校﹥绾瘮?shù)圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出冪函數(shù)，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)定義域，得到，解得答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，則，故，，則的定義域?yàn)?，故滿足，解得.故選：A5．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.【詳解】由已知值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；時(shí)，等號(hào)成立，所以的值域是，B錯(cuò)誤；因?yàn)槎x域?yàn)椋?，函?shù)值域?yàn)椋蔆正確；，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則的值為（

）A．2或 B．2或 C．或 D．1或【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，討論的范圍，明確方程，解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，得，所以的值是2或．故選：二、多選題7．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．所有冪函數(shù)的圖象均過點(diǎn)B．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則解析式為C．冪函數(shù)一定具有奇偶性D．任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限【答案】BD【分析】根據(jù)冪函數(shù)特例可對(duì)A項(xiàng)判斷；根據(jù)冪函數(shù)過點(diǎn)，可求出解析式對(duì)B項(xiàng)判斷；根據(jù)冪函數(shù)的特例可對(duì)C項(xiàng)判斷；根據(jù)冪函數(shù)的特性可知圖像不過第四象限，從而對(duì)D項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：比如，圖象不過點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：設(shè)冪函數(shù)為，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為，解得，整理得，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)：對(duì)于，無奇偶性，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限，故D正確；故選：BD.8．（2023下·山東煙臺(tái)·高二萊州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．的值域?yàn)?D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A；去絕對(duì)值分離常數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)單調(diào)性與奇偶性可判斷C、D.【詳解】由題意,為偶函數(shù)，選項(xiàng)A正確．當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，選項(xiàng)B正確．當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)D正確，C不正確．故選：ABD．三、填空題9．（2023上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）實(shí)數(shù)x，y滿足，則.【答案】2【分析】將方程組中的方程，形式化成相同，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可求得結(jié)論．【詳解】方程組可化為設(shè)，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),故答案為：210．（2023上·四川成都·高一?？计谥校┯兴膫€(gè)冪函數(shù)：①，②；③；④．某同學(xué)研究了這幾個(gè)函數(shù)，并給出函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：（1）偶函數(shù)；（2）值域是；（3）在上是增函數(shù)．如果給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，則滿足條件的函數(shù)是（填序號(hào)）．【答案】④【分析】分別討論這四個(gè)冪函數(shù)的奇偶性、值域和單調(diào)性，對(duì)照性質(zhì)判斷結(jié)論.【詳解】冪函數(shù)，是奇函數(shù)，值域?yàn)?，在上是減函數(shù)，三個(gè)性質(zhì)都錯(cuò)誤，不符合條件；冪函數(shù)，是偶函數(shù)，值域?yàn)?，在上是減函數(shù)，三個(gè)性質(zhì)有一個(gè)正確，兩個(gè)錯(cuò)誤，不符合條件；冪函數(shù)，沒有奇偶性，值域?yàn)椋谏鲜窃龊瘮?shù)，三個(gè)性質(zhì)有一個(gè)正確，兩個(gè)錯(cuò)誤，不符合條件；冪函數(shù)，是奇函數(shù)，值域?yàn)?，在上是增函?shù)，三個(gè)性質(zhì)有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，符合條件.故答案為：④11．（2021上·山東濟(jì)南·高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在上有最小值5，則在上的最大值是．【答案】1【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)性質(zhì)求解出對(duì)應(yīng)最大值.【詳解】設(shè)，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，記為在上的最小值，為在上的最大值，又在上的最小值為，在上的最大值為，所以，所以，故答案為：.四、解答題12．（2023上·河北石家莊·高一石家莊一中?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)，且在上是增函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列方程求解即可；（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性去掉，結(jié)合函數(shù)定義域列不等式求解即可.【詳解】（1）由已知得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是減函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是增函數(shù)，滿足題意；所以；（2）易知的定義域?yàn)?，且在上為增函?shù)，所以由，得，解得，所以的取值范圍為.13．（2023上·安徽阜陽·高一安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)的定義域以及單調(diào)性分析求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，即，解得或1，又因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，則為偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則為奇函數(shù)，不滿足題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的值為.（2）函數(shù)，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，由可得:，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．（2023上·重慶·高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知冪函數(shù)在定義域上不單調(diào).(1)求m的值．(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可得或，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性排除增根；（2）先判斷為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡不等式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性通過討論化簡不等式求其解.【詳解】（1）由題意，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但，所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)，符合題意，所以.（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，因?yàn)椋傻?，即，而在上遞減且恒負(fù)，在上遞減且恒正，所以或或，解得或．【考點(diǎn)5】函數(shù)的應(yīng)用與增長速度一、單選題1．（2023上·上?！じ呷？计谥校┝私饽承┘?xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防該細(xì)菌、病毒引起的疾病傳播有重要的意義．科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量某種菌落進(jìn)行研究，設(shè)經(jīng)過時(shí)間x（單位：min），菌落的覆蓋面積為y（單位：）．團(tuán)隊(duì)提出如下假設(shè)：①當(dāng)時(shí)，；②y隨x的增加而增加，且增加的速度越來越快．則下列選項(xiàng)中，符合團(tuán)隊(duì)假設(shè)的模型是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過分析不同函數(shù)的增減性快慢，即可進(jìn)行得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于①，，即函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?，A、B、C、D均符合；對(duì)于②隨的增加而增加，且增加的速度越來越快，即函數(shù)為增函數(shù)，且增加的速度越來越快，A符合，B、C、D均不符合.故選：A.2．（2023上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，時(shí)常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過多年研究，已經(jīng)對(duì)地震有了越來越清晰的認(rèn)識(shí)與了解．例如：地震時(shí)釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，年月日，我州會(huì)理市發(fā)生里氏級(jí)地震，它所釋放出來的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級(jí)地震所釋放能量的約多少倍（

）A．倍 C．倍 【答案】A【分析】設(shè)里氏級(jí)、級(jí)地震所釋放的能量分別為、，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可求得的值.【詳解】設(shè)里氏級(jí)、級(jí)地震所釋放的能量分別為、，則，上述兩個(gè)等式作差可得，則，故.故選：A.3．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，則，解出后驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，則有，解得，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合條件，故選：B.4．（2023上·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）給出下列命題：對(duì)于定義在上的函數(shù)，下述結(jié)論正確的是（

）①若，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③若函數(shù)滿足，則；④若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與周期性即可判斷①；根據(jù)奇函數(shù)的圖象即可判斷②；根據(jù)分析即可判斷③；關(guān)于的方程有解，即函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，若，則，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，無法得出其對(duì)稱軸，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若是奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的，是以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，若函數(shù)滿足，令，則，所以，即，故③正確；對(duì)于④，關(guān)于的方程有解，即函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，，故④錯(cuò)誤.故選：D.5．（2010·浙江·高考真題）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像，利用圖像判斷即可【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，則當(dāng)時(shí)，在下方，即；當(dāng)時(shí)，在上方，即，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想6．（2023上·北京西城·高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對(duì)應(yīng)值表x1234y以下說法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)可能無零點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)判斷AB；利用零點(diǎn)存在性定理判斷CD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)在區(qū)間的零點(diǎn)，正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，錯(cuò)誤，故選：D.二、多選題7．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，，，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．在上，隨著的逐漸增大，的增長速度越來越快于B．在上，隨著的逐漸增大，的增長速度越來越快于C．當(dāng)時(shí)，的增長速度一直快于D．當(dāng)時(shí)，的增長速度有時(shí)快于【答案】BD【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖像，觀察即可判斷.【詳解】解：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，的圖象，如圖所示．對(duì)于、B，在上，隨著的逐漸增大，的增長速度越來越快于，故A錯(cuò)誤，B正確對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，的增長速度不是一直快于的，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，的增長速度有時(shí)快于，故D正確．故選:BD．8．（2023上·河南鄭州·高一統(tǒng)考期中）若二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)恰落在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【分析】變換，計(jì)算二次函數(shù)值域得到答案.【詳解】，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，BC滿足.故選：BC三、填空題