專題15.2 解分式方程（壓軸題專項講練）（人教版）（解析版）

專題15.2解分式方程【典例1】已知，關(guān)于x的分式方程a2x+3（1）當a=2，b=1時，求分式方程的解；（2）當a=1時，求b為何值時分式方程a2x+3（3）若a=3b，且a、b為正整數(shù)，當分式方程a2x+3-b-x【思路點撥】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【解題過程】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：22x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x-5)，得：2(x-5)-(1-x)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，解得：x=-1檢驗：把x=-15代入∴原分式方程的解為：x=-1（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：12x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x-5)，得：(x-5)-(b-x)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，去括號，得：x-5+2x移項、合并同類項，得：(11-2b)x=3b-10，①當11-2b=0時，即b=11②當11-2b≠0時，得x=3b-10Ⅰ.x=-3即3b-1011-2b此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即3b-1011-2b此時b=5；綜上所述，b=112或（3）解：把a=3b代入分式方程a2x+3得：3b2x+3方程兩邊同時乘以(2x+3)(x-5)，得：3b(x-5)+(x-b)(2x+3)=(2x+3)(x-5)，整理得：(10+b)x=18b-15解得：x=18b-15∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)，對應(yīng)地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去，對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知關(guān)于x的方程xx-1-1=mx2-1的解為A．y=-3 B．y=-37 C．y=13【思路點撥】將x=2代入關(guān)于x的方程中，求出m=3，再將m=3，代入關(guān)于y的方程中，求出y=3，再進行檢驗即可得出答案．【解題過程】解：∵關(guān)于x的方程xx-1-1=m∴xx+12×3-4-1∴m=3，當m=3時，關(guān)于y的方程是：3y∴3+2y（∴3+2y∴y=3，經(jīng)檢驗：y=3是關(guān)于y的方程my故選：D．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）關(guān)于方程1x-3+m+1x+3=m+2xA．10個 B．11個 C．12個 D．13個【思路點撥】根據(jù)題意將分式方程解出來，再根據(jù)其解滿足-4<x<72，可得【解題過程】解：1x+3+x+3+m+2x=4m+2當m+2≠0即m≠-2時，x=4m+2∵-4<x<7∴-4<4m+2m+2<72，且x=當m>-2時，m+2>0，-4m+2解得-5此時，滿足條件的整數(shù)m共有-1、0、1、2、3、5、6、7、8、9，共10個；當m<-2時，m+2<0，72此等式無解，綜上所述，滿足條件的整數(shù)m有10個，故選A．3．（2023·全國·九年級專題練習）方程1y-2+【思路點撥】此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答.觀察此方程可以發(fā)現(xiàn)，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法來解.【解題過程】解：移項，得：1y-2方程兩邊通分，得：(y-4)-(y-2)(y-2)(y-4)即-2(y-2)(y-4)方程的兩邊同乘以(y-2)(y-4)(y-6)(y-8)，得：-2(y-6)(y-8)=-2(y-2)(y-4)，即y解得：y=5，經(jīng)檢驗，y=5是原方程的根.∴原方程的解為：y=5.4．（2023·山東菏澤·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程12x+3-a-xx-5=1【思路點撥】根據(jù)分式方程的解法步驟，結(jié)合分式方程無解的情況即可得到參數(shù)a的值．【解題過程】解：12x+3去分母得x-5-∴11-2ax=3a-10∵關(guān)于x的分式方程12x+3∴①當11-2a=0時，即a=112，此時②當11-2a≠0時，即a≠112，解11-2ax=3a-10此時分式方程無解，必須有x=-32或x=5，則x=3a-10i當x=3a-10ii當x=3a-1011-2a=5綜上所述，a的值為5或112故答案為：5或1125．（2022秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）解下列方程：（1）3-1（2）x+14【思路點撥】（1）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可；（2）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可．【解題過程】（1）解：左右兩邊都乘以x-2，得3x-2去括號，得3x-6+1=3-x，移項，得3x+x=6-1+3，合并同類項，得4x=8，系數(shù)化為1，得x=2，將x=2代入x-2中，x-2=2-2=0所以x=2是增根，原方程無解．（2）左右兩邊都乘以2x-12x+1，得x+1=3去括號，得x+1=6x-3-4x-2，移項，得x-6x+4x=-3-2-1，合并同類項，得-x=-6，系數(shù)化為1，得x=6，經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解，所以原方程的解是x=6．6．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考階段練習）解分式方程（1）3（2）5x-4【思路點撥】（1）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可；（2）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可．【解題過程】（1）解：方程兩邊同乘6x-2，得：33x-1去括號，得：9x-3-2=5，移項，合并，得：9x=10，系數(shù)化1，得：x=10檢驗，當x=109時，∴x=10（2）解：方程兩邊同乘3x-6，得：35x-4去括號，得：15x-12=4x+10-3x+6，移項，合并，得：14x=28，系數(shù)化1，得：x=2；檢驗，當x=2時，3x-6=0，∴x=2是原方程的增根，舍去；∴原方程無解．7．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）解分式方程：（1）1-xx-2（2）2xx【思路點撥】（1）先去分母，然后求解檢驗即可；（2）將分式方程去分母，然后求解檢驗即可．【解題過程】解：（1）方程兩邊同時乘x-2，得1-x-x-2化簡，得2x-5=0解得：x=5經(jīng)檢驗，x=5所以x=5（2）解：去分母得2xx+3整理得，2x移項、合并同類項得，24x=36，解得x=3檢驗：當x=32時，∴x=3所以x=38．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）解方程：x+5【思路點撥】先將原方程變形1+1x+4【解題過程】解：原方程可變形為，1+1化簡得，1x+4即2x+5(x+4)(x+1)∴2x+5=0，解得，x=-5檢驗，把x=-52代入(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)∴原方程的解為x=-59．（2023·全國·九年級專題練習）解方程：x+2005x+2004【思路點撥】原方程變形為1x+2004+【解題過程】解：原方程可化為1x+2004即1x+2006x+2007-1x+2006x+2006x+2007x26x=-12030，x=-2005.經(jīng)檢驗，x=-2005是原方程的根.∴原方程的解是x=-2005.10．（2023·全國·九年級專題練習）解方程（1）16x-134x-3+（2）1(x+1)(x+2)+【思路點撥】（1）此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答．通過化簡，觀察此方程分子有相同的部分，可采用特殊的方法來解．（2）此方程不能直接去分母，由1(x+1)(x+2)【解題過程】（1）解：方程化簡，得：4-14x-328x-92(8x-9+8x-7)(8x-9)(8x-7)4(8x-8)(8x-9)(8x-7)當x=1時，等式成立；當x≠1時，轉(zhuǎn)化為整式方程為：4（4x-3）（4x-5）=（8x-9）（8x-7），整理方程，得：64x2-128x+60=64x2-128x+63，等式不成立．經(jīng)檢驗，x=1是方程的解．（2）方程化簡，得：1x+1-1x+12001(x+1)(x+2002)（x+1）（x+2002）=3x+6006，x2+2003x+2002=3x+6006，解得：x=-2002或x=2，經(jīng)檢驗，x=-2002是增根，x=2是原方程的根．11．（2022秋·上海·七年級專題練習）當m為何值時，分式方程xx+3-【思路點撥】先給方程兩邊乘以最小公分母（x+3）（x-2）把原方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再解整式方程求得x的值，然后列出關(guān)于m的不等式，通過解不等式來求m的取值范圍．【解題過程】解：由原方程得：xx-2整理得：-7x=3-2m，解得：x=2m-3∵分式方程xx+3-x+1x-2=x-2mx∴2m-37解得：m≥5，且m≠1712．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的分式方程x-a（1）若分式方程的根是x=5，求a的值（2）若分式方程有增根，求a的值（3）若分式方程有無解，求a的值【思路點撥】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；（2）原方程整理得a+3x=10，由分式有增根，則xx-2=0，得到x=0（3）由（2）可知，a+3x=10，分a+3=0和a+3≠0兩種情況分別求解即可【解題過程】（1）解：把x=5代入x-ax-25-a5-2解得a=-1；（2）x-ax-2兩邊都乘以xx-2xx-a整理得，a+3x=10由分式有增根，則xx-2∴x=0或x=2，把x=0代入a+3x=10，a把x=2代入2a+3=10，解得綜上可知，a=2；（3）由（2）可知，a+3x=10當a+3=0時，方程無解，即a=-3，當a+3≠0時，要使方程無解，則分式方程有增根，由（2）知a=2，綜上可知，a=-3或a=2．13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)校考期中）觀察下列各式：12=11×2=1-12，16（1）請猜想出表示上面各式的特點的一般規(guī)律，用含n（n表示正整數(shù)）的等式表示出來___．（2）請利用上述規(guī)律計算：12+1（3）請利用上述規(guī)律，解方程：1x-2【思路點撥】（1）根據(jù)給出的式子，寫出用n表示的一般規(guī)律即可；（2）利用找出的一般規(guī)律進行計算即可；（3）根據(jù)找出的規(guī)律將方程變形為1x-2【解題過程】（1）解：∵1216112120130…，∴1n故答案為：1n（2）解：1=1-===n（3）解：分式方程整理得：1x-2即1x-2方程兩邊同時乘x-2x-1，得x+1=2解得：x=5，檢驗：把x=5代入x-2x-1得：x-2∴x=5是原分式方程的解，∴原方程的解為：x=5．14．（2023秋·廣東珠?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）李華在計算時，探究出了一個“裂項”的方法，如：11×2（1）求15×6（2）證明：11×2（3）解方程：13x【思路點撥】（1）根據(jù)“裂項”的方法，計算即可；（2）根據(jù)“裂項”的方法，計算證明即可；（3）首先根據(jù)“裂項”的方法化簡方程左邊，然后把分式方程化為整式方程，計算即可．【解題過程】（1）解：1===3（2）證明：1=1-=1-=n∵n<n+1，∴nn+1∴11×2（3）解：11x1x12x12x12x49x9x=4x+4，5x=4，x=4檢驗：x=4∴原方程的解為x=415．（2023春·八年級課時練習）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13的解為方程x+1x=4+14…（1）觀察上述方程的解，猜想關(guān)于x的方程x+1x=6+（2）根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+1x=a+（3）由（2）可知，在解方程y+y+2y+1=（4）利用（2）的結(jié)論解方程：2x-1x+2【思路點撥】（1）根據(jù)已知材料即可得出答案；（2）根據(jù)已知材料即可得出答案；（3）把方程轉(zhuǎn)化成y+1+1y+1=3+1（4）利用換元法，轉(zhuǎn)化為材料中的規(guī)律解答．【解題過程】（1）解：關(guān)于x的方程x+1x=6+16故答案為：x1=6，（2）關(guān)于x的方程x+1x=a+1a故答案為：x1=a，（3）y+y+2y+y+1+1y+1+即y+1=3，y+1=1解得：y1=2，（4）令2x-1x+2=m，則方程2x-1x+2由（2）規(guī)律可得，m1=4，即2x-1x+2=4或解得x1=-916．（2023春·八年級課時練習）閱讀下面材料，解答后面的問題：解方程：x-1解：設(shè)y=x-1x，則原方程化為：y-4y=0，方程兩邊同時乘以y得：都是方程y-4∴當y=2時，x-1x=2，解得x=-1；當y=-2時，x-1x經(jīng)檢驗：x=-1或x=1∴原分式方程的解為x=-1或x=1上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：（1）若在方程中x-1x+xx-1=52，設(shè)=y（2）模仿上述換元法解方程：x-1x+2【思路點撥】（1）根據(jù)換元法，可得答案；（2）根據(jù)分式的加減，可得x-1x+2【解題過程】（1）設(shè)x-1x=y，則原方程化為：方程兩邊同時乘以2y得：2y2-5y+2=0，解得：y=經(jīng)檢驗：y=12和2都是方程當y=12時，x-1x當y=2時，x-1x=2，解得：經(jīng)檢驗：x=2和x=-1是原分式方程的解，故答案為：x-1x，y+1y=5（2）原方程化為：x-1x+2設(shè)y=x-1x+2，則原方程化為：方程兩邊同時乘以y得：y2-1=0，解得：經(jīng)檢驗：y=±1都是方程y-1當y=1時，x-1x+2當y=-1時，x-1x+2=-1，解得：經(jīng)檢驗x=-1∴原分式方程的解為x=-117．（2022秋·湖北十堰·八年級十堰市實驗中學(xué)?？茧A段練習）對x,y定義一種新運算T，規(guī)定T(x,y)=ax2+by2x+y（其中a,b是非零常數(shù)，且x+y≠0（1）填空：T(4,-1)=（用含a,b的代數(shù)式表示）；（2）若T(-2,0)=-2，且T(5,-1)=6．①求a與b的值；②若T(3m-10,-3m)=T(-3m,3m-10)，求m的值．【思路點撥】（1）利用新運算的規(guī)定解答即可；（2）①利用新運算的規(guī)定得到關(guān)于a,b的方程，解方程即可求得結(jié)論；②利用新定義的規(guī)定列出關(guān)于m的等式，再將a,b的值代入求解即可．【解題過程】（1）解：T(4,-1)=a×故答案為：16a+b3（2）①∵T(-2