北京市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校中考試卷分

中考試卷分類一函數(shù)與幾何圖形

1.如圖，在直角梯形ABCD中，DC〃AB,NA=90°,AB=28cm,DC=24cm,AD=4cm,點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，

以lcm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)B同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到

達(dá)端點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.則四邊形AMND的面積y（cm2）與兩動點(diǎn)運(yùn)動的時

間t（s）的函數(shù)圖象大致是（D)

2.如圖，已知正三角形ABC的

邊長為1,E、F、G分別是AB、BC、CA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG,設(shè)4EFG的面積為y,AE的長為x,

則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致是（C）

3.（濰坊）如圖，圓B切y軸于原點(diǎn)0,過定點(diǎn)4（-26,0）作圓B切線交圓于點(diǎn)P.已知tanZPAB=

拋物線C經(jīng)過A,P兩點(diǎn).（1）求圓B的半徑；（2）若拋物線C經(jīng)過點(diǎn)B,求其解析式；（3）投拋物

線。交y軸于點(diǎn)M,若三角形APM為直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

4.（威海）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=7,CD=1,AD=BC

=5.點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上運(yùn)動，并保持MN〃AB,MELAB,

NF±AB,垂足分別為E,F.（1）求梯形ABC。的面積；（2）求四

邊形MEFN面積的最大值.（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形，

若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理山.

解：（1）分別過。，C兩點(diǎn)作于點(diǎn)G,CHU8于點(diǎn)H.

*.?AB//CD,：.DG=CH,DG//CH.

：.四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1.

"：DG=CH,AD=BC,ZAGD=ZBHC=90°,

/\AGD^/\BHC(HL).

AB-GH

AG=8"=2分

2

在RtZ\AGD中，AG=3,AD=5,

._(l+7)x4_

：.DG=4.■*S梯形A8C，＞=2=16,

(2),/MN//AB,ME1AB,NF1AB,

：.ME=NF,ME//NF.：.四邊形/WEFN為矩形.

,?AB//CD,AD=BC,：.ZA=ZB.

"：ME=NF,NMEA=NNFB=90°,

/.AMEA公ANFB(AAS).Z.AE=BF.

設(shè)AE=x,則EF=7-2x.

NA=/A,/MEA=/DGA=90°,

AFMF4

:./\MEA^/\DGA.：.——=——.JME=-x.

AGDG3

?sk648f7^\49

??S矩形MEW"ME,ET7=丁1(7_2%)=一丁X-1+—?

當(dāng)x=2時，ME=Nv4,???四邊形MEF/V面積的最大值為絲.

436

(3)能.由(2)可知，設(shè)AE=x,則EF=7—2x,ME=-x.

3

21

若四邊形MEF/V為正方形，則ME=￡F.即—=7-2x.解，得X=-

310

2114

：?FF=7-2x=7-2x—=—<4.

105

???四邊形MEFN能為正方形，其面積為S正方形的神=(巴］=些.

5.(青島)已知：如圖①，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)

A勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；點(diǎn)Q11JA出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；連接PQ.若

設(shè)運(yùn)動的時間為t(s)(0(t<2),解答下列問題:(1)當(dāng)t為何值時，PQ〃BC?(2)設(shè)AAQP的面積

為yCcn?),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)

是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把RtA

ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出此

時t的值；若不存在，說明理由；(4)如圖②，

連接PC,并把APQC沿QC翻折，得到四邊形

PQP'C,那么是否存在某一時刻3使四邊形

PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊

長；若不存在，說明理由.

解：(1)在RtM8C中，AB=、BC2+心=5,由題意知：AP=5~t,AQ=2t,

若PQ〃BC,則△APQs/\ABC,：.—=

AC

(2)過點(diǎn)P作PH_LAC于H.

,//\APHS&BC,

.PH_AP.PH5-t

,?---=---,??---=----/.PH=3—*,y=yxxPH=；x2fx(3—=—［產(chǎn)+3f.

BCAB35

(3)若PQ把△ABC周長平分，貝lj4P+AQ=3P+8C+Ca.A(5-r)+2r=/+3+(4-2r),

解得：r=1.

若PQ把AA8c面積平分，MSMPQ=^SMBC,即一*2+3f=3.

???t=l代入上面方程不成立，

...不存在這?時刻3使線段PQ把RtZkACB的周長和面積同時平分.

(4)過點(diǎn)P作PM_LAC于〃，PNLBC于N,

若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC.

?.,PM_LAC于M,AQM^CM.

'：PNLBC^N,易知△PBA/sM8c.

.PNBP.PNt

?.=,??=—,

ACAB45

4r4/

???PN=—,???QM=CM=—,

55

44in

+2/=4,解得：t——.

.?.當(dāng)f=日時,四邊形PQP'C是菱形.

9

此時尸M=3--r=-,CM=-t=-

5359f

在Rt“MC中，正=行后+52=^^粵1,

菱形PQP'C邊長為弋二.

6.（溫州）如圖，在RtZXABC中，Z4=90°,AB=6,AC=8,D,E

分別是邊A8,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿DE方向運(yùn)動，過點(diǎn)

P作PQ1.8C于Q,過點(diǎn)Q作QR〃B4交47于R,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C

重合時，點(diǎn)P停止運(yùn)動.設(shè)BQ=x,QR=y.（1）求點(diǎn)D到BC的

距離DH的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量

的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)P,使△PQR為等腰三角形？若存

在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由.

解：(1)ZA=RtN,AB=6,AC=8,.,.8C=10.?.?點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，.,.8O=」A8=3.

2

?/ZDHB=ZA=90°,NB=NB...△BHDsABAC,

也=”.?=^AC」x8上

ACBCBC105

(2)-：QR//AB,NQRC=NA=90'.vZC=ZC,:.△RQCs^ABC,

RQQCy10-x"十

---=---->-=----->即any關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,r：y

ABBC610

(3)存在，分三種情況：

①當(dāng)PQ=PR時，過點(diǎn)尸作PM_LQR于"，則QM=RM.

Nl+N2=90°,NC+N2=90°,

Z1=ZC.

84._4

cosZl=cosC--=一

105

3,

—x+6

4

25x=—18.

1255

5

312

②當(dāng)PQ=RQ時，--x+6=y

..x=6.

③當(dāng)PR=QR時，則R為P。中垂線上的點(diǎn)，

于是點(diǎn)R為EC的中點(diǎn)，

：.CR=-CE^-AC^2.vtanC=—=—

24CRCA

3,

一產(chǎn)6_6

.-.x=y.綜上所述，當(dāng)X為葭或6或當(dāng)時，△PQR為等腰三角形.

28

7.（義烏）如圖1所示，直角梯形。ABC的頂點(diǎn)4c分別在y軸正半軸與X軸負(fù)半軸上.過點(diǎn)B、C作直

線/.將直線2平移，平移后的直線/與x軸交于點(diǎn)〃，與y軸交于點(diǎn)E.（1）將直線/向右平移，設(shè)平

移距離CD為t（拈0）,直角梯形OABC

被直線/掃過的面積（圖中陰影部份）

為s,關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示,

OM為線段，MN為拋物線的一部分，

NQ為射線，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4.①求梯

形上底AB的長及直角梯形OABC的面

積；②當(dāng)2ct〈4時，求S關(guān)于t的函數(shù)

解析式；（2）在第（1）題的條件下，

當(dāng)直線/向左或向右平移時（包括/與直線8c重合），在直繾純上是否存在點(diǎn)P,使APDE為等腰直角

三角形?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

解：

（1）?AB=2

8

OA=—=4,OC=4,STOOA8C=12

2

②當(dāng)2<f<4時，

直角梯形0ABe被直線41過的面積=直角梯形0ABe面積一直角三角開DOE面積

1,

S=12--(4-/)x2(4-/)=-r2+8r-4

(2)存在

Q

4（—12,4），2（-4,4）,〃（一5,4）,舄（4,4）,乙（8,4）一（每個點(diǎn)對各得1分）

對于第（2）題我們提供如下詳細(xì)解答（評分無此要求）.下面提供參考解法二：

①

（圖示陰影）

Q

綜上可得尸點(diǎn)的生標(biāo)共5個解，分別為戶（-12,4）、P（-4,4）、P4）、

3

P(8,4)、P(4,4).

8.（大連）如圖24—1,拋物線y=x2的頂點(diǎn)為P,4、B是拋物線上兩點(diǎn),AB〃x軸，四邊形A8CD為矩形，

CD邊經(jīng)過點(diǎn)P,AB=2AD.⑴求矩形ABCD的面積；⑵如圖24—2,若將拋物線“y=x2”，改為拋物線

“V=x2+bx+c”，其他條件不變，

請猜想矩形ABCD的面枳；⑶若

將拋物線"y=x2+bx+c”改為拋

物線<<y=ax2+bx+c,\其他條件

不變,請猜想矩形ABCD的面積

（用a、b、c表示，并直接寫出

答案）.附加題：若將24題中

“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”,“A8

=2AD"條件不要，其他條件不

變，探索矩形ABCD面積為常數(shù)圖1

時，矩形ABCD需要滿足什么條

件？并說明理由.

9.（東莞）將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不

重合，已知AB=8,BC=AD=4,AC與BD相交于點(diǎn)E,連結(jié)CD.⑴填空：如圖9,AC=

BD=；四邊形ABCD

是梯形.（2）請寫出圖9

中所有的相似三角形（不含全

等三角形）.⑶如圖10,若以

AB所在直線為X軸，過點(diǎn)A

垂直于AB的直線為y軸建立

如圖10的平面直角坐標(biāo)系，

保持AABD不動，將AABC向X軸的正方向平移到AFGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點(diǎn)P,設(shè)AF=t,A

FBP面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫Hit的取值值范圍.

（1）4也，46,等腰;

（2）共有9對相似三角形.（寫對3—5對得1分，寫對6—8對得2分，寫對9對得3分）

①aDCE、Z\ABE與4ACD或4BDC兩兩相似，分別是：△DCEs/\ABE,ADCE-^AACD,ADCE^ABDC,

△ABE^AACD,AABE^ABDC；（有5對）

②△ABDS^EAD,AABD^AEBC；（有2對）

③△BACS/XEAD,ABAC^AEBC；（有2對）

所以，-共有9對相似三角形.

y

(3)由題意知,FP〃AE,

Z1=ZPFB,

又?:Zl=Z2=30",

E

P

12

:.ZPFB=Z2=30°,

???FP=BP............................................6分

過點(diǎn)P作PKLFB于點(diǎn)K,則FK=BK=LFB.〈AF=t,AB=8,

2

/.FB=8—38K=g(8-f).

iR

在RtZ^PK中，PK=BK?tan/2=—(8—/)tan30°=—(8-r).

26

△FBP的面積S==—f)?日(8-f),

/.S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：

s=—(z-8)2,或s=@/一3f+3石.

121233

t的取值范圍為：04/<8.

10.（大連）如圖，/XABC的高45為3,BC為4,直線EF〃BC,交線段A8

于E,交線段AC于廣，交4D于G,以EF為斜邊作等腰直角三角形PEF（點(diǎn)

P與點(diǎn)A在直線EF的異側(cè)），設(shè)EF為X,與四邊形BCEF重合部分

的面積為y.⑴求線段AG（用x表示）；⑵求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求

x的取值范圍.

11.（金華）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4）,點(diǎn)B在第一

象限，點(diǎn)P是X軸上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AP,并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊A。與A8

重合，得到△ABD.（1）求直線AB

的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)

（V3,0）時，求此時DP的長及

點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）是否存在點(diǎn)P,

使△OPD的面積等于—，若存在，

4

請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（1）如圖，過點(diǎn)B作BE，y軸于點(diǎn)E,作BFlx軸于點(diǎn)F.由已知得

BF=OE=2,OF=A/42-22=2>/3

（）

，點(diǎn)B的坐標(biāo)是2ji，2（1分）

4=6V3

解得《3

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,則有（2分）

2=2麻+6

b=4

???直線AB的解析式是y=--x+4（1分）

3

（2）如圖，:△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，

/.△ABD^AAOP,；.AP=AD,/DAB=/PAO,；.NDAP=NBAO=60°,

.??△ADP是等邊三角形，

DP=AP=卜+（揚(yáng)2=曬...（2分）

如圖，過點(diǎn)D作DHLx軸于點(diǎn)H,延長EB交DH于點(diǎn)G,

貝ljBG1DH.

方法（一）

在RtZXBDG中，ZBGD=90°,ZDBG=60°.

]A/3

/?BG=BD*cos60^=（^3X—=-----.

22

DG=BD*sin60°=6義2a.

22

5r-7

/.OH=EG=-V3/DH=-

22

...點(diǎn)D的坐標(biāo)為（一,—）

22

方法（二）

易得NAEB=/BGD=90°,ZABE=ZBDG,AAABE^ABDG,

.BG曝=喘而AENBD/百，BE=2百，AB=4,則有

?.--------------

AE

BG_DG_y/3,解得BG=@35r-7

-DG=-.'.OH=-V3,DH=-

-T2732222

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為（一一）（2分）

22

⑶假設(shè)存在點(diǎn)P,在它的運(yùn)動過程中，使aoPD的面積等于立

4

設(shè)點(diǎn)P為（t,0）,下面分三種情況討論:

①當(dāng)t>0時，如圖，BD=OP=t,DG=——t,

2

.?.DH=2+且t.「△OPD的面積等于正，

24

.1V3V3

??/（2+t）一,

224

解得乙=

印一26-Vn-2V3（舍去）.

33

...點(diǎn)P1的坐標(biāo)為嚴(yán)；.,0）

4^3BGn-正

②當(dāng)-----"〈tWO時，如圖，BD=OP=-t,

32

，石、V3

；.DH=GF=2—(――t)=2+—t.

22

???△OPD的面積等于走，

4

.1,,V3V3

??-----M24-------1)=----,

224

解得『=_y1,f=一百.

3

...點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-且,0)，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(—G,0).

3

4J3

③當(dāng)t<----------時，如圖，BD=OP=-t,DG=-

32

V3

/.DH=--1-2.

2

???△OPD的面積等于走,

4

.--r（2+T?）=T'

解得6=正號叵（舍去），與-收-2月

3

-721-273

.?.點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（,0)

3

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1（叵*,0）、P2（-正，0）、P3（—6,0）、

33

%再比’①

12.（衢州）已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。（0,

0）,A（10,0）,B（8,2V3）,C（0,2JJ）,點(diǎn)T在線段0A上（不與線段端點(diǎn)重合），將紙片折疊，使點(diǎn)

A落在射線AB上（記為點(diǎn)A'）,折痕經(jīng)過點(diǎn)T,折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t,折

疊后紙片重疊部分（圖中的陰影部分）的面積為S；⑴求/OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)A'在線段AB上時，

S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式：（2）當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；（3）S存在最大值嗎？

若存在，求出這個最大值，并求此時t的值；若不存在，請說明理由。

解：⑴：A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(10,0)和B(8,2A/3),

JT

tanNOAB-2----=V3，

10-8

NOAB=60。

當(dāng)點(diǎn)A'在線段AB上時，：NOAB=60°,TA=TA',

...△A'TA是等邊三角形，且TPJ.TA',

h11

ATP=(10-1)sin60°=(10-1),ArP=AP=-AT=-(10-1),

1八

2

???S=SAA.TP=-ATTP=^-(10-t),

Zo

2c

當(dāng)A'與B重合時，AT=AB=----------=4,

sin60°

所以此時6Wt<10。

⑵當(dāng)點(diǎn)A'在線段AB的延長線，且點(diǎn)P在線段AB(不與B重合)上時,

紙片重疊部分的圖形是四邊形(如圖(1),其中E是TA'與CB的交點(diǎn)),

當(dāng)點(diǎn)P與B重合時，AT=2AB=8,點(diǎn)T的坐標(biāo)是(2,0)

又由⑴中求得當(dāng)A'與B重合時，T的坐標(biāo)是(6,0)

所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時，2<t<6。

(3)S存在最大值

V3,

①當(dāng)6Wt<10時，S=-y(10-t)2,

在對稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小,

.?.當(dāng)t=6時,S的值最大是2月。

②當(dāng)2Wt<6時，由圖①，重疊部分的面積$=$人”—S^,EB

VAA'EB的高是A'Bsin60°,

.,.S=^y(10-t)2-1(10-t-4)2

=y^(-t2+4t+28)=—爭t-2)2+4上

當(dāng)t=2時，S的值最大是4JJ；

③當(dāng)0<t<2,即當(dāng)點(diǎn)A'和點(diǎn)P都在線段AB的延長線是(如圖②，其中E是TA'與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是

TP與CB的交點(diǎn))，

；NEFT=/FTP=NETF,四邊形ETAB是等腰形，，EF=ET=AB=4,

.,.S=-EF-OC=-X4X2V3=4A/3

綜上所述，S的最大值是4JJ,止匕時t的值是0<tW2。

13.(梅州)如圖11所示，在梯形ABCD中，已知A8〃CD,AD丁

±DB,AD^DC=CB,48=4.以A8所在直線為X軸，過。且tL

垂直于A8的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求/DAB|f

的度數(shù)及4D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求過4D、C三點(diǎn)的木U\

拋物線的解析式及其對稱軸L.(3)若P是拋物線的對稱軸/\

L上的點(diǎn)，那么使APD8為等腰三角形的點(diǎn)P有幾個？(不/\

必求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需說明理由)/||

解：(1)VDC//AB,AD=DC=CB,：.ZCDB^ZCBD=Z0|B

DBA,ZDAB=ZCBA,：.ZDAB^2ZDBA,ZDAB+Z

DBA=90",；.NDAB=60°,ND8A=30",：AB=4,:.DC=AD=2,RtAAOD,0A=1,。。=6，

：.A(-1,0),D(0,VJ),C(2,VJ).、y

L

(2)根據(jù)拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物J|c

線必過點(diǎn)A(-1,0),8(3,0),\

故可設(shè)所求為y=a(x+i)(x-3)將點(diǎn)。(o,

BX

的坐標(biāo)代入上式得，a=~—

所求拋物線的解析式為y=-F(x+l)(x-3).其對

稱軸L為直線x=l.

(3)APD8為等腰三角形，有以下三種情況：

①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個交點(diǎn)Pi，PiD=PiB,

△P1D8為等腰三角形；

②因?yàn)橐?。為圓心，。8為半徑的圓與直線L有兩個交點(diǎn)P2、P3,DB=DP2,DB=DP3,AP2DB,AP3DB

為等腰三角形；

③與②同理，L上也有兩個點(diǎn)PcPs，使得BD=BPA,BD=BPS.

由于以上各點(diǎn)互不重合，所以在直線L匕使APDB為等腰三角形的點(diǎn)P有5個.

14.(麗水)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4),

直線X=2與x軸相交于點(diǎn)B,連結(jié)OA,拋物線y=x2從點(diǎn)。沿OA

方向平移，與直線X=2交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時停止移動.(1)

|B

X=

求線段0A所在直線的函數(shù)解析式；（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的

坐標(biāo)；②當(dāng)m為何值時，線段PB最短；（3）當(dāng)線段PB最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使4

QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：（1）設(shè)。4所在直線的函數(shù)解析式為y=H,

,Z4(2,4),

2k=4,:.k=2,：.所在直線的函數(shù)解析式為y=2x.

（2）①?.?頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為加，且在線段。4上移動,/.y=2m(0<mW2).

二頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,2m）.二拋物線函數(shù)解析式為y=（x-m）1+2m.

.,.當(dāng)x=2時，y=(2-??z)2+2m-2m+4(0W//1W2).

二點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,加2-+4）.

②VPB=m2-2m+4=(w—I)2+3,又?.'0W?nW2,

當(dāng)m=1時,PB最短.

（3）當(dāng)線段P8最短時，此時拋物線的解析式為y=（x-iy+2.

假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)。，使S2MA=S.

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x,f—2x+3）.

①當(dāng)點(diǎn)。落在直線04的下方時，過P作直線PC〃4。，交y軸于點(diǎn)C,

,;PB=3,AB=4,

，AP=1,；.OC=1,點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-1).

?.?點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,3）,.?.直線PC的函數(shù)解析式為y

SQMA=SPMA,：.點(diǎn)Q落在直線y=2x-1上.

x~一2x+3-2x—1.

解得占=2,%2=2,即點(diǎn)。（2,3）.

...點(diǎn)。與點(diǎn)P重合.

Z.此時拋物線上不存在點(diǎn)Q，使△QMA與XAPM的面積

相等.（2分）

②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線。4的上方時,

作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)4的對稱稱點(diǎn)。，過。作直線。E〃A。，交y軸于點(diǎn)E,

?：AP=1,：.EO=DA=\,：,E,。的坐標(biāo)分別是(0,1),(2,5),

二直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1.

???SGM=S.的，.?.點(diǎn)。落在直線y=2x+l上.

**.x?—2x+3=2x+1.

解得：=2+5/2,x2=2—V2.

代入y=2x+\,得y=5+2啦,y2=5-2^2.

,此時拋物線上存在點(diǎn)2,(2+/5+2吟,2(2—V2,5-2V2)

使△QMA與△2蛇的面積相等...........................(2分)

綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)儲(2+/5+20),C2(2-72,5-272)

使aQMA與^PMA的面積相等.

15.(紹興)將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，0(0,0),A(6,0),C(0,3).動點(diǎn)Q從點(diǎn)

。出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動三2秒時，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度

3

沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動.當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為f(秒).(1)

用含t的代數(shù)式表示OP,OQ；(2)

當(dāng)t=l時，如圖1,將AOPQ沿PQ

翻折，點(diǎn)。恰好落在CB邊上的點(diǎn)D

處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)連結(jié)AC,

將△OPQ沿PQ翻折，得到4EPQ,

如圖2.問：PQ與AC能否平行？

PE與AC能否垂直？若能，求出相

應(yīng)的，值；若不能，說明理由.

54

(2)當(dāng)f=l忖，過。點(diǎn)作交。4于。1,如圖1,則￡＞。=。。=1，。。=§，

CD=1,0(1,3).

（3）①PQ能與4c平行.若PQ〃AC,如圖2,則絲="，即絲＞=9,.”=4，而OW/WL

。。。。―2393

IH-----

3

14

t=---.

9

②PE不能與AC垂直.若PEJ_AC,延長QE交。4于尸，如圖3,

2

嘮嘿翁？心+|j.AEF=QF-QE=QF-OQ

(>/5+(V5-1).

PF6-t_3

又RtA￡P(guān)F②RtAOCA,—

EFOA

7

..八3.45,而OWfWJ.”不存在.

3

16.（臺州）如圖，在矩形ABCD中，AB=9,=點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合）,

過點(diǎn)P作直線PQ〃BD,交CD邊于Q點(diǎn)，再把APQC沿著動直線PQ對折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)，設(shè)

CP的長度為x,4PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y.（1）求/CQP的度數(shù)；（2）當(dāng)x取何值時,

點(diǎn)R落在矩形ABCD的

AB邊上？（3）①求y

與x之間的函數(shù)關(guān)系

式；②當(dāng)x取何值時，

重疊部分的面積等于

矩形面積的,7？

27

解：（1）如圖，?.?四邊形ABCD是矩形，.,.AB=CD,AD=BC.

又A8=9,AD=36,ZC=90",

:.CD=9,BC=3也.

tanZCDB=——=—,ZCDB=30°.

CD3

PQ//BD,：.ZCQP=ZCDB=30°.

（2）如圖1,由軸對稱的性質(zhì)可知，△RPQ之△CPQ,

(圖1)

ZRPQ=ZCPQ,RP=CP.

由(1)知NCQP=30°,ZRPQ=ZCPQ=60°,

NRPB=60°,RP=2BP.

CP=x,PR=x,PB=3^3—x.

在△RP8中，根據(jù)題意得：2(3G—X)=X,

解這個方程得：x=26.

(3)①當(dāng)點(diǎn)R在矩形A8CO的內(nèi)部或A8邊上時，

2

0<工<2百，S^CPQ=ixCPxC2=1xy/3x=^x,

?：/\RPQ^/\CPQ,二當(dāng)0<xW26時，y^—-X1

當(dāng)R在矩形ABC。的外部時(如圖2),26<x<30，(圖2)

在Rt^PEB中，?.?NRP8=60°,

:.PF=2BP=2*6-x),

又,：RP=CP=x,:.RF=RP-PF=3x-6百,

在RtZXERR中，

?;NEFR=NPFB=30°,：.ER=y/3x-6.

iary

S&ERF=—ERxFR————x?-18無+185/3?

,**y=s?RPQ—sAERF

...當(dāng)2百<x<3百時.，y=-V3x2+18x-18V3.

—X2(0<X^2V3)

綜上所述，y與1之間的函數(shù)解析式是:y=j2

-V3X2+18X-1873(273<x<36)

②矩形面積=9x36=270，當(dāng)0<xW2有時,函數(shù)y=隨自變量的增大而增大，所以y的最

大值是68，而矩形面積的工的值=工、27a=7百，

2727

而70>6百，所以，當(dāng)0<*<26時一，y的值不可能是矩形面積的工;

-27

當(dāng)26<x<3行時，根據(jù)題意，得：

-V3x2+18x-18V3=773,解這個方程，得x=3也±6,因?yàn)?6+及＞36,

所以x=36+&不合題意，舍去.

所以尤=3百-夜.

綜上所述，當(dāng)％=3百-夜時，△PQR與矩形A6C。重疊部分的面積等于矩形面積的工.

17.我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋

圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點(diǎn)，那么這條直

線叫做“蛋圓”的切線.如圖12,點(diǎn)A、B、C、。分別是“蛋

圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-3),A8為半

圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1,0),半圓半徑為2.(1)

請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取

值范圍；(2)你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？

試試看；⑶開動腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過點(diǎn)。的“蛋

圓”切線的解析式.

解：(1)解法1：根據(jù)題意可得:A(T,0),8(3,0)；

則設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-3)(aWO)

又點(diǎn)D(0,-3)在拋物線上，，。(0+1乂0-3)=-3,解之

得：a=l.,.y=x2-2x-3自變量范圍：TWxW3

(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C“蛋圓”的切線CE交.X軸于點(diǎn)E,連結(jié)CM,

在RtAMOC中，VOM=1,CM=2,.,.ZCMO=60°,OC=^

在Rt^MCE中，'：OC=2,ZC/WO=60°,：.ME=4

a

...點(diǎn)C、E的坐標(biāo)分別為(0,73),(-3,0).?.切線CE的解析式為y=^x+J§

⑶設(shè)過點(diǎn)D(0,-3),“蛋圓”切線的解析式為：片版-3化彳0)

y-—3

由題意可知方程組，只有一組解

y=xl-2x-3

即履-3=--2x-3有兩個相等實(shí)根，，右-2

過點(diǎn)。“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=-2x-3

18.(嘉興)如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)。(0,0),A(2,

0),點(diǎn)B在第一象限且AOAB為正三角形，AOAB的外接

圓交y軸的正半軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C的圓的切線交X軸于點(diǎn)

D.(1)求B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線CD的函數(shù)解析

式；(3)設(shè)E,F別是線段AB,AD上的兩個動點(diǎn)，且EF

平分四邊形ABCD的周長.試探究：AAEF的最大面積？

(1)vA(2,0),:.OA=2.0/\/