大學物理第21章-波動

第21章波動

Wave常見的種類有:

波動的一般定義：振動(或擾動)在空間的傳播,簡稱波。本章重點：機械波中的簡諧波波的疊加

波的傳播指的是振動相位、能量的傳播“常常是（水）波離開了它產(chǎn)生的地方，而那里的水并不離開；就像風吹過莊稼地形成波浪，在那里我們看到波動穿越田野而去，而莊稼仍在原地”。

——LeonardodaVinci機械波（產(chǎn)生條件：振源、彈性介質）電磁波（產(chǎn)生條件：振源）…§21-1行波

TravellingWave1.機械波的產(chǎn)生和傳播

機械波——機械振動的傳播。

機械波產(chǎn)生和傳播的條件：波源

彈性媒質波源——引起媒質振動，即產(chǎn)生形變和位移的振(擾)動系統(tǒng)。鑼鼓琴弦聲帶揚聲器紙膜抖繩的手

彈性媒質——質量連續(xù)分布、在內(nèi)部發(fā)生形變時能產(chǎn)生彈性力（保守力）的物質。

固體：鐵軌長繩彈簧；流體：水空氣

橫波——媒質質元的振動方向與振動的傳播方向垂直的波2.橫波與縱波縱波——媒質質元的振動方向與振動的傳播方向在一條直線上的波。

空氣中的聲波

橫向抖動繩端一般固體中既可有橫波也可有縱波；流體中只能有縱波。實際中還有橫波和縱波的疊加波。如氣液分界面上的波（水紋波）就是疊加波。橫波縱波123456789101112131415161718123456789101112131415161718橫波縱波振動曲線ty(1)

波動中各質點并不隨波前進；yx波動曲線(2)沿波的傳播方向，各個質點的相位依次落后,波動是相位的傳播；(4)

波動曲線與振動曲線不同。波形圖：某時刻各點振動的位移y

(廣義：任一物理量)與相應的平衡位置坐標x的關系曲線。特點(3)在傳播方向上有多個同相點——相位相差2

的整數(shù)倍，各質元的振動頻率相同；

行波的示意圖返回0481620

············12······

··

·

····································

····································································t=0t=T/4t=T/2t=3T/4t=T

起點的

振動函數(shù)0T/4T/23T/4T3.波面和波線——行波傳播行為的幾何描述波面在波傳播過程中，任一時刻媒質中振動相位相同的點聯(lián)結成的面。沿波的傳播方向作的有方向的線。波面波線波前在某一時刻，波傳播到的最前面的波面。波線平面波（平行平面波面）球面波（同心球形波面）波線1)

波線垂直波面；2)波線是波的能量傳播方向；3)平面波是最理想的波（一維問題能量不發(fā)散）?！?1-2簡諧波

1.簡諧波波速

波長

波速——振動狀態(tài)的傳播速度。相速波速的大小決定于媒質的特性。

波長——傳播方向上相鄰同相點之間的間距。一個周期時間里某相位傳播的距離就是波長因此有

簡諧波——各媒質質元作簡諧運動的波。振幅不隨傳播而衰減。A

=

常量平面簡諧波——波面為平面的簡諧波。位差2

，即即P點的相位為因此，P點的相位應是落后O點，2.

平面簡諧行波的波函數(shù)坐標為x處的質

元的振動狀態(tài)如何？設平面簡諧波的振幅為A，沿x軸正向傳播，傳播速度為u，考察t時刻P點質元振動的相位。P點相位是從“上游”以速度u傳播過來的，從“上游”的O點傳到P點需要時間為，于是，波函數(shù)為

P并設坐標原點O處的振動函數(shù)為yxxPO簡諧振動②從時間看,

P點的位相應是O點在的位相，

時刻的位移;

(波函數(shù))①從相位看，P點處質點振動相位較O點處質點相位落后因此，P點t時刻的位移是O點?當?shù)?個質點振動1個周期后，它的最初的振動相位傳到第13個質點，從相位來看，第1個質點領先第13點。同時看波線上各點，沿傳播方向各點相位依次落后；相距

x的任意兩點的相位差x

波線上各質點振動相位(振動狀態(tài))的關系第1點和第13點之間間距:振動時間差：相位差:說明因此x點的相位為，

設如果波沿x軸負向傳播，“上游”在右“下游”在左，t時刻x點的相位應超前O點，

波函數(shù)的其他表達式：（不妨設）其中，稱為波數(shù)。

此時的波函數(shù)應為例已知：波沿著x軸的正方向傳播波源a的振動形式為求：波的表達式解：任意一點P坐標為xP點相位落后波源a的振動相位所以就在a點振動表達式的基礎上改變相位因子就得到了P的振動表達式y(tǒng)3.

平面簡諧波的波形曲線結論：波形曲線也是余弦函數(shù)曲線；

波形曲線以波速u向傳播方向平移。注：波形曲線平移反映了狀態(tài)的傳播，不代表質元“隨波逐流”。

[例1]設波源位于x軸的原點處，波源的振動曲線如圖所示，已知波速為u=5m/s

，波向x正向傳播。（1）畫出距波源15m處質元的振動曲線；（2）畫出t=3s時的波形曲線。于是，波函數(shù)為即解：由圖可知故O點的運動方程為（1）令x

=15

mx

=15

m處質元的振動曲線：（2）令t

=3

st

=3

s

時的波形曲線：BA

如圖，在下列情況下試求波函數(shù)：(3)若u沿x

軸負向，以上兩種情況又如何？[例2]

(1)以A為原點；(2)以B為原點；BA已知A點的振動方程為：在x軸上任取一點P，該點振動方程為:波函數(shù)為：解:P(2)

B點振動方程為：(3)以A為原點：以B為原點：波函數(shù)為P

BA

[例3]設某一時刻繩上橫波的波形曲線如下圖所示，水平箭頭表示波的傳播方向。試分別用小箭頭表示圖中A、B、C、D、E、F、G、H、I各質點在這一時刻的運動方向，并畫出T/4后的波形曲線。ABCDEFGHI§21-3物體的彈性形變

ElasticDeformationofaBody

楊氏模量E

體變模量K

彈性形變的分類：線變彈性勢能：彈性媒質(無論是固體還是流體)在受力時都會產(chǎn)生形變，在其彈性限度內(nèi)形變是可恢復的，稱這種形變?yōu)閺椥孕巫?。實驗表明：在彈性限度?nèi)，應力正比于線應變，Hook定律體變線

變即E——楊氏模量

決定于材料的特性，與形狀大小無關。

切變模量G

切變實驗表明：在彈性限度內(nèi)，切應力正比于切應變，即,G——切變模量

彈性勢能：（證明略）切變G和

K決定于材料的特性!實驗表明：在彈性限度內(nèi)，壓強增量

正比于體應變，K——體變模量

彈性勢能：（證明略）體變即有波動時媒質質元的形變

縱波

橫波12固

體流

體縱縱均勻細棒嚴格，

“無限大”介質內(nèi)近似任意液體和氣體內(nèi)理想

氣體中波的周期和頻率與媒質的性質無關；一般情況下，與波源振動的周期和頻率相同。波速實質上是相位傳播的速度，故稱為相速度;其大小主要決定于媒質的性質，與波的頻率無關。橫“無限大”介質內(nèi)細繩中§21-4彈性介質中的波速

WaveEquationandVelocityofWave波動方程——是上述波動方程的解之一。對求偏導：平面簡諧波(一維)是指波動物理量

所滿足的偏微分方程。1.波動方程

(2)不僅適用于機械波，也廣泛地適用于電磁波、熱傳導、化學中的擴散等過程；(1)上式是一切平面波所滿足的微分方程（正、反傳播）；(3)若物理量是在三維空間中以波的形式傳播，波動方程說明x處的線應變可表為2.均勻細棒中縱波波動方程的推導設細棒密度為

，截面積為S，沿細棒取x坐標，設波沿x正向傳播。由Hook定律同理考察媒質中x

x+x段質元：由牛頓定律波速為固

體流

體縱縱均勻細棒嚴格，

“無限大”介質內(nèi)近似任意液體和氣體內(nèi)理想

氣體中橫“無限大”介質內(nèi)細繩中3.波速波速由彈性媒質特性決定。§21-5波的能量

EnergyofWave本節(jié)先以細棒中的平面簡諧縱波為例，討論波的能量問題，由此得出的結論具一定的普遍意義。1.波的能量能量密度取媒質中小體積元，討論總機械能：總機械能能量密度動能勢能

簡諧波的能量密度具普遍意義。平均能量密度

區(qū)別于孤立的振動系統(tǒng)，單個質元的機械能不守恒。

因單個質元是開放的系統(tǒng)，且簡諧運動只是一個運動學概念能量密度

簡諧波中任一質元的動能和勢能總是相等。等幅同相說明比較波動過程、振動過程能量變化規(guī)律的異同

波動過程振動過程波動過程，某質元具有的能量w是時間t的周期函數(shù)振動過程，質元總能量不變傳播能量不傳播能量和同相變化最大時、為0最大時、為02.能流、波的強度

波的能流——單位時間內(nèi)流過某一面積的能量。

波的能流密度——單位時間內(nèi)流過單位垂直截面的能量。平均能流密度△x＝u△t平均能流——波的強度3.平面波和球面波的振幅常量

對平面波

對球面波又即證明：即證明：又——（不吸收能量）§21-6Huygens原理

波的反射與折射

HuygensPrinciple

ReflectionandRefractionofaWave水波通過窄縫

Huygens原理

C.Huygens（荷）1690這一原理的意義在于：

提出了子波的概念

給出了波傳播方向的規(guī)律——提出一種描繪波面幾何方法，即Huygens作圖法。原理：媒質中任一波面上的各點，都可以看成發(fā)射子波的次波源，其后任一時刻這些子波的包跡就是新的波面。S2R1R2S1O平面波球面波

Huygens原理的應用

平面波和球面波的傳播

波的反射與折射

波的衍射

平面波和球面波的傳播---偏離原來直線傳播的方向平面波經(jīng)小孔衍射成球面波衍射是否明顯？視衍射物（包括孔、縫）的線度與波長相比較：對一定波長的波，線度小衍射現(xiàn)象明顯，線度大衍射現(xiàn)象不明顯。

波的衍射用惠更斯作圖法導出折射定律：u2

t媒質1、折射率n1媒質2、折射率n2i法線B入射波A··E·Cu1u1

t··FDu2折射波傳播方向r——折射定律光波得到

波的反射與折射波密媒質

波疏媒質時，折射角r>入射角

i。全反射的一個重要應用是光導纖維（光纖）。irn1(大)n2(小)i=iC

r=90

n1(大)n2(小)當入射i>臨界角iC

時，將無折射光—

全反射。

iC

—臨界角全反射光導纖維半波損失界面入射波反射波透射波o如果波從波疏媒質向波密媒質入射，則會存在如果從波密媒質向波疏媒質入射，則不存在半波損失。實驗表明：波在兩種媒質分界面上反射時，反射波在反射點相對于入射波相位有一個

的躍變。半波損失——在界面處,透射波在任何情況下相位都不變(與入射波同)。較小者稱波疏介質較大者稱波密介質§21-7波的疊加SuperpositionofWaves

StandingWave一、波的疊加

波的獨立傳播原理：各振源在介質中獨立地激起與自己頻率相同的波，每列波傳播的情況與其他波不存在時一樣。兩列或幾列波在傳播過程中相遇，相遇后仍保持各自傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不變。波的疊加原理：幾列波在空間相遇時，相遇區(qū)域中的任一點的振動位移（或波矢量）等于各波單獨存在時在該點產(chǎn)生的位移的矢量和。

適用條件是：波的強度（或振幅）較小，此時各列波的相互作用可忽略——線性波。說明：

獨立性和疊加原理既適用于機械波，也適用于電磁波（振動位移改為波矢量

）。二、波的干涉

——如果兩列波滿足一定條件，使得兩波相遇各空間點的合振動保持恒定振幅（某些點處振動始終加強，而在另外一些點處振動始終減弱）。相干條件——兩列波具有的

相同頻率、相同的振動方向、相位差恒定。滿足相干條件的波叫相干波，波源叫相干波源，疊加叫相干疊加。振源S1振源S2振動振動兩振源在場點P產(chǎn)生的振動分別為場點P是兩個同方向的同頻率的簡諧振動的合成。合成的振幅兩簡諧振動的相差兩波波程差——合振幅由于在波場中確定點有確定的相位差，所以每一點都有確定的A。從而在波場中形成了穩(wěn)定的強度分布。

——干涉的特點:強度分布穩(wěn)定波的強度干涉是能量的重新分布！(1)當振動加強(3)如，即波源S1、S2為同相，則波程差{(2)當說明振動減弱{加強減弱[例1]

已知相干波源求：c點的干涉結果。解

A、B為兩相干波源，距離為30m

，振幅相同，

相同，初相差為

（B超前）

,u=400m/s,f=100Hz

。[例2]求A、B連線上因干涉而靜止的各點位置。

P在A左側(干涉相長，不會出現(xiàn)靜止點)

P在B右側在A、B之間的情況干涉相消(在A，B之間距離A點為r1=1,3,5,…,29m處出現(xiàn)靜止點)且三、駐波——振幅相同、在同一直線上沿相反方向傳播的兩列相干波，它們疊加所形成的合成波。設兩列波的表達式為疊加后得駐波表達式振幅最大的點駐波具有簡諧運動的特征。所有點的振動圓頻率都為

，但各點的振幅不全相同，即為。振幅

因子諧振因子振幅為零的點——

波腹——波節(jié)拉緊的繩中的駐波演示駐波的特點：

相鄰波節(jié)或相鄰波腹之間的距離為波長的一半。

一個駐波上所有點的振動同相；兩個相鄰駐波上點的振動反相。

任意時刻駐波的波形為余弦形式，但不沿傳播方向運動。

駐波不再傳遞能量。振幅：通常將相鄰兩個波節(jié)的一段稱為一個駐波。（與行波波形相同)（與行波波形不同）形成駐波的兩列傳播方向相反的行波，往往就是媒質分界面一側的入射波和反射波。反射波與入射波形成駐波界面入射波反射波透射波o顯然，反射波與入射波的頻率、振動方向和波速均相同；如果分界面對入射波完全反射，反射波與入射波的振幅也相同?；蛉绻◤牟ㄊ杳劫|向波密媒質入射，則會存在半波損失

——反射波在反射點相對于入射波相位有一個

的躍變。[例1]有一波在距一反射面為L處的A點的振動方程：波速u求：反射波方程。(考慮完全反射)入射波方程波疏波密yxoBALx注意：波從波疏介質入射到波密介質時，有半波損失。此時反射波的波方程為反射點B處是節(jié)、腹？若從疏到密(

1u1

2u2),反射點處有半波損失，則B點是節(jié)；若從密到疏(

1u1

2u2),反射點處無半波損失，則B點是腹。

[例2]如圖所示，一波長為

的平面簡諧波沿

x軸正向傳播，在與原點O相距L的A點處有一波密媒質的反射面，該反射面對波的吸收可以忽略。入射波在與O點相距l(xiāng)的Q點處振動函數(shù)為。求：（1）入射波和反射波的波函數(shù)；（2）合成的駐波的波節(jié)位置。解：（1）考慮坐標為x的任意點處的振動，它比Q點的相位落后

，于是入射波的波函數(shù)為反射點A處的振動函數(shù)為反射波在坐標為x的任意點處的振動相位比點落后

，(考慮到反射點有半波損失)則反射波的波函數(shù)為（2）疊加波為駐波：令振幅為零：§21-8聲波

SoundWave

聲壓——聲波傳播時，媒質內(nèi)部的壓強與無聲波時的壓強的差額?？梢宰C明：簡諧波的聲壓為聲壓的幅值為聲波

是最常見的機械波，也是縱波?？陕劼暡?/p>

是指人可以聽見的聲波，其頻率在20

~20,000

Hz范圍。低于20Hz的為次聲波；高于20,000

Hz的為超聲波。

聲強簡諧波的強度為——聲波的強度，即平均能流密度?？陕劼暡ǖ膹?/p>