2021年中考數(shù)學壓軸題真題精講精練+變式訓練 專題3.5浙江金華卷（壓軸8道+變式32道）（原卷版）

【沖刺2022】之2021年中考數(shù)學壓軸題真題精講精練+變式訓練專題3.5浙江省金華市卷（壓軸8道+變式訓練32道）說明：本專輯精選了2021年浙江省金華市卷失分較多和難度較大的題目8道，分別是第10題圓中的計算問題、第14題幾何變換中的計算問題、第15題坐標規(guī)律變化探究問題、三角函數(shù)相結(jié)合問題、第16題銳角三角函數(shù)的實際問題、第21題二次函數(shù)的實際問題、第22題圓計算與證明綜合問題、第23題函數(shù)圖象性質(zhì)綜合探究問題、第24題函數(shù)與幾何綜合問題，每道題精講精析，配有變式練習各4道，浙江省金華市變式訓練題共32道.【壓軸一】圓中的計算問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江金華市·中考第10題）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點都在同一個圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是（）A． B． C． D．【變式訓練】【變式1.1】（2021?金東區(qū)二模）如圖，扇形AOB的圓心角是60°，半徑是3，點C為弧AB的中點，過點C作CD∥OB交DA于點D，過點B作BE∥OA交DC延長線于點E，則圖中陰影部分面積為（）A．32 B．3?32 C．3?13 D．3+13【變式1.2】（2020秋?東陽市校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分別為邊AB、AC的中點，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到△A1BC1的位置，則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積為（）A．π B．2π C．32 D．3π【變式1.3】（2020?義烏市模擬）如圖，矩形HGML四個頂點在正六邊形ABCDEF的邊上，且GM∥EF．若圖中4塊陰影的面積相等，則該矩形的長與寬之比（）A．33：5 B．2：3 C．4：3 D．5：4【變式1.4】（2021?上城區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．把△ABC分別繞直線AB，BC和AC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積分別記作S1，S2，S3，則表面積最大的是（）A．S1 B．S2 C．S3 D．無法確定【壓軸二】幾何變換中的計算問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江金華市·中考第14題）如圖，菱形的邊長為，，將該菱形沿AC方向平移得到四邊形，交CD于點E，則點E到AC的距離為____________．【變式訓練】【變式2.1】（2020春?婺城區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為6，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH．若BE：EC＝2：1，則線段CH的長是（）A．3 B．4 C．38 D．83【變式2.2】（2019秋?婺城區(qū)期末）將一張正方形紙片按如圖步驟①②，沿虛線對折2次，然后沿圖③的虛線剪去一個角，展開鋪平后得到圖④，若圖③中OC＝BC，∠ODC＝30°，則四邊形EFGH與原正方形紙面積比為（）A．12 B．3?1 C．34 D．34【變式2.3】（2020春?武義縣期末）將矩形ABCD按如圖方式折疊，點B，點C恰好落在點G處，且A，G，F(xiàn)在同一條直線上．若AB＝4，BC＝6，則CF的長是（）A．94 B．52 C．114 D．3【變式2.4】（2019春?東陽市期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形內(nèi)部有一動點P滿足S△PAB=13S矩形ABCD，則點P到A，B兩點的距離之和PA+PB的最小值為（）A．5 B．213 C．22 D．42【壓軸三】坐標規(guī)律變化探究問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江金華市·中考第15題）如圖，在平面直角坐標系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上．若“貓”尾巴尖A的橫坐標是1，則“貓”爪尖F的坐標是___________．【變式訓練】【變式3.1】（2020春?吳興區(qū)期末）如圖，已知直線l1、l2經(jīng)過坐標原點O，且l1與x軸所夾銳角為15°，l2與y軸所夾銳角為30°．在直線l1和l2之間依次構(gòu)造正方形A1B1C1A2、正方形A2B2C2A3，正方形A3B3C3A4正方形A4B4C4A5…點A1、點A2、點A3、點A4、點A5…依次落在直線l1上，點B1、點B2、點B3、點B4…依次落在直線l2上，且A1B1＝1，則點B2020的坐標為（）A．（220182，220186） B．（220172，220176） C．（220182，220183） D．（22018，220183）【變式3.2】（2021?青田縣模擬）如圖，動點P從（0，3）出發(fā)沿所示方向運動，每當碰到長方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第2021次碰到長方形的邊時點P的坐標為．【變式3.3】（2020?浙江自主招生）平面直角坐標系中，已知點P0（1，0），將點P0繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到P1，延長OP1到P2，使OP2＝2OP1；再將P2繞點O逆按時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到P3，然后延長OP3到P4，使OP4＝2OP3；…如此下去，則點P2018的坐標為．【變式3.4】（2020春?椒江區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P′（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點．已知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得點A1，A2，A3…，An，…若點A1的坐標為（3，1），則點A2019的坐標為．【壓軸四】銳角三角函數(shù)的實際問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江金華市·中考第16題）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點為D，從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個光點E．已知，．（1）ED的長為____________．（2）將木條BC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到（如圖2），點P的對應點為，與MN的交點為D′，從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在MN上的光點為．若，則的長為____________．【變式訓練】【變式4.1】（2020?義烏市校級模擬）門環(huán)，在中國綿延了數(shù)千多年的，集實用、裝飾和門第等級為一體的一種古建筑構(gòu)件，也成為中國古建“門文化”中的一部分，現(xiàn)有一個門環(huán)的示意圖如圖所示．圖中以正六邊形ABCDEF的對角線AC的中點O為圓心，OB為半徑作⊙O，AQ切⊙O于點P，并交DE于點Q，若AQ＝123cm，則（1）sin∠CAB＝；（2）該圓的半徑為cm．【變式4.2】（2020?金華）如圖是小明畫的卡通圖形，每個正六邊形的邊長都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點A，B，C均為正六邊形的頂點，AB與地面BC所成的銳角為β．則tanβ的值是．【變式4.3】（2020?東陽市模擬）圖2、圖3是起重機平移物體示意圖．在固定機架BAM中，AB＝5m，tan∠BAM=43．吊桿BCE由伸縮桿BC與6m長的直桿CE組成，在機架BAM與直桿CE間有一根9m長的支撐桿AD，且CD＝2m．假設(shè)起重機吊起物體準備平移時，點E、C、B恰好在同一水平線上（圖2），在物體平移過程中始終保持EB∥AM（AM處在水平位置）．（1）如圖2，當準備平移物體時，伸縮桿BC＝m．（2）在物體沿EB方向平移過程中，當∠ADE＝60°時，物體被平移的距離為m．【變式4.4】（2019?金華模擬）小明家的門框上裝有一把防盜門鎖（如圖1）．其平面結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，鎖身可以看成由兩條等弧AD，弧BC和矩形ABCD組成，弧BC的圓心是倒鎖按鈕點M．已知弧AD的弓形高GH＝2cm，AD＝8cm，EP＝11cm．當鎖柄PN繞著點N旋轉(zhuǎn)至NQ位置時，門鎖打開，此時直線PQ與弧BC所在的圓相切，且PQ∥DN，tan∠NQP＝2．（1）弧BC所在圓的半徑為cm．（2）線段AB的長度約為cm．（5≈2.236，結(jié)果精確到0.1cm）【壓軸五】二次函數(shù)的實際問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江金華市·中考第21題）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達式為．（1）求雕塑高OA．（2）求落水點C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，，．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明．【變式訓練】【變式5.1】（2020?嘉祥縣一模）如圖1，皮皮小朋友燃放一種手持煙花，這種煙花每隔2秒發(fā)射一發(fā)花彈，每一發(fā)花彈的飛行路徑、爆炸時的高度均相同．皮皮發(fā)射出的第一發(fā)花彈的飛行高度h（米）與飛行時間t（秒）之間的函數(shù)圖象如圖2所示．（1）求皮皮發(fā)射出的第一發(fā)花彈的飛行高度h（米）隨飛行時間t（秒）的函數(shù)表達式．（2）第一發(fā)花彈發(fā)射3秒后，第二發(fā)花彈達到的高度為多少米？（3）為了安全，要求花彈爆炸時的高度不低于16米．皮皮發(fā)現(xiàn)在第一發(fā)花彈爆炸的同時，第二發(fā)花彈與它處于同一高度，請通過計算說明花彈的爆炸高度是否符合安全要求？【變式5.2】（2019?婺城區(qū)一模）如圖是集體跳繩的示意圖，繩子在最高處和最低處時可以近似看作兩條對稱的拋物線，分別記為C1和C2，繩子在最低點處時觸地部分線段CD＝2米，兩位甩繩同學的距離AB＝8米，甩繩的手最低點離地面高度AE＝BN=1516米，最高點離地AF＝BM=2316米，以地面AB、拋物線對稱軸GH所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系．（1）求拋物線C1和C2的解析式；（2）若小明離甩繩同學點A距離1米起跳，至少要跳多少米以上才能使腳不被繩子絆住？（3）若集體跳繩每相鄰兩人（看成兩個點）之間最小距離為0.8米，騰空后的人的最高點頭頂與最低點腳底之距為1.5米，請通過計算說明，同時進行跳繩的人數(shù)最多可以容納幾人？（溫馨提醒：所有同學起跳處均在直線CD上，不考慮錯時跳起問題，即身體部分均在C1和C2之間才算通過），（參考數(shù)據(jù)：2=1.414，3≈1.732）【變式5.3】（2019?義烏市模擬）兒童游樂場有一項射擊游戲，從O處發(fā)射小球，將球投入正方形籃筐DABC．正方形籃筐三個頂點為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．小球按照拋物線y＝﹣x2+bx+c飛行．小球落地點P坐標（n，0）．（1）點C坐標為．（2）求c，b并寫出小球飛行中最高點N的坐標（用含有n的代數(shù)式表示）；（3）若小球發(fā)射之后能夠直接入籃，球沒有接觸籃筐，請直接寫出n的取值范圍．【變式5.4】（2020春?金東區(qū)校級月考）如圖，拋物線y=?12x2+2x+6交x軸于A，B兩點（點A在點B的右側(cè)），交y軸于點C，頂點為D，對稱軸分別交x軸、AC于點E，F(xiàn)，點P是射線DE上一動點，過點P作AC的平行線MN交x軸于點H，交拋物線于點M，N（點M位于對稱軸的左側(cè)），設(shè)點P的縱坐標為t．（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；（2）當點P位于EF的中點時，求點M的坐標；（3）①點P在線段DE上運動時，當????????=2，求t的值；②點Q是拋物線上一點，點P在整個運動過程中，滿足以點C，P，M，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，則此時t的值是（請直接寫出答案）．【壓軸六】圓計算與證明綜合問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江金華市·中考第22題）在扇形中，半徑，點P在OA上，連結(jié)PB，將沿PB折疊得到．（1）如圖1，若，且與所在的圓相切于點B．①求的度數(shù)．②求AP的長．（2）如圖2，與相交于點D，若點D為的中點，且，求的長．【變式訓練】【變式6.1】（2020秋?東陽市期末）如圖，BC是⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點E，連接AB，CD，點G在BC的延長線上，使∠DAG＝2∠D．（1）求證：AG與⊙O相切．（2）若????????=23，CE＝4，請求出CG的長．【變式6.2】（2019秋?義烏市期末）如圖，已知AB為半圓O的直徑，AC，AD為弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度數(shù)；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的長．【變式6.3】（2020?大連一模）如圖1，AB是⊙O的直徑，PB，PC是⊙O的兩條切線，切點分別為B，C．（1）求證：∠CPB＝2∠ABC；（2）延長BA、PC相交于點D（如圖2），設(shè)⊙O的半徑為2，sin∠PDB=23，求PC的長．【變式6.4】（2020?永康市一模）如圖，已知⊙C過菱形ABCD的三個頂點B，A，D，連接BD，過點A作AE∥BD交射線CB于點E．（1）求證：AE是⊙C的切線．（2）若半徑為2，求圖中線段AE、線段BE和????圍成的部分的面積．（3）在（2）的條件下，在⊙C上取點F，連接AF，使∠DAF＝15°，求點F到直線AD的距離．【壓軸七】函數(shù)圖象性質(zhì)綜合探究問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江金華市·中考第23題）背景：點A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點B，軸于點C，分別在射線上取點，使得四邊形為正方形．如圖1，點A在第一象限內(nèi)，當時，小李測得．探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點D，A的橫坐標之間存在函數(shù)關(guān)系．請幫助小李解決下列問題．（1）求k的值．（2）設(shè)點的橫坐標分別為，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”．如圖2，小李畫出了時“Z函數(shù)”的圖象．①求這個“Z函數(shù)”的表達式．②補畫時“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）．③過點作一直線，與這個“Z函數(shù)”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標．【變式訓練】【變式7.1】（2020?東陽市模擬）如圖，直線y=?34x+6與反比例函數(shù)y=????（x＞0）分別交于點B、C（AB＜AC），經(jīng)探索研究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論AB＝CD始終成立．另一直線y＝mx（m＞0）交線段BC于點E，交反比例函數(shù)y=????（x＞0）圖象于點F．（1）當BC＝5時：①求反比例函數(shù)的解析式．②若BE＝3CE，求點F的坐標．（2）當BE：CD＝1：2時，請直接寫出k與m的數(shù)量關(guān)系．【變式7.2】（2020?婺城區(qū)模擬）對于平面直角坐標系xOy中的任意點P（x，y），如果滿足x+y＝a（x≥0，a為常數(shù)），那么我們稱這樣的點叫做“特征點”．（1）當2≤a≤3時，①在點A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，滿足此條件的特征點為；②⊙W的圓心為W（m，0），半徑為1，如果⊙W上始終存在滿足條件的特征點，請畫出示意圖，并直接寫出m的取值范圍；（2）已知函數(shù)Z=1??+x（x＞0），請利用特征點求出該函數(shù)的最小值．【變式7.3】（2020?蘭溪市模擬）已知一次函數(shù)y＝ax+b的圖象交x軸于點P，交反比例函數(shù)y=????（k≠0）的圖象于A、B兩點，且A點坐標為（1，4）．（1）求反比例函數(shù)y=????（k≠0）的解析式；（2）若PA：PB＝3：1，求P點坐標；（3）在（2）的條件下，是否存在既相切于直線AP，又相切于x軸，且圓心C在反比例函數(shù)圖象上的圓？若存在，求出C點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【變式7.4】（2019?義烏市一模）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ為某個等腰三角形的腰，且該等腰三角形的底邊與x軸平行，則稱該等腰三角形為點P，Q的“相關(guān)等腰三角形”．下圖為點P，Q的“相關(guān)等腰三角形”的示意圖．（1）已知點A的坐標為（0，1），點B的坐標為(?3，0)，則點A，B的“相關(guān)等腰三角形”的頂角為°；（2）若點C的坐標為(0，3)，點D在直線y＝43上，且C，D的“相關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，求直線CD的表達式；（3）⊙O的半徑為2，點N在雙曲線y=?3??上．若在⊙O上存在一點M，使得點M、N的“相關(guān)等腰三角形”為直角三角形，直接寫出點N的橫坐標xN的取值范圍．【壓軸八】函數(shù)與幾何綜合問題【真題再現(xiàn)】（2021·浙江金華市·中考第24題）在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B在直線上，過點B作AB的垂線，過原點O作直線l的垂線，兩垂線相交于點C．（1）如圖，點B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點D．①若，求證：．②若，求四邊形的面積．（2）是否存在點B，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求OB的長；若不存在，請說明理由．【變式訓練】【變式8.1】（2020?婺城區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，點O為坐標原點，點B的坐標為（2，1），點A．C在坐標軸上，點P在BC邊上，直線l1：y＝2x+1，直線l2：y＝2x﹣1．（1）分別求直線l1與x軸交點坐標，直線l2與AB的交點坐標；（2）已知點M在第一象限，且是直線l2上的點，若△APM是等腰直角三角形，求點M的坐標；（3）已知矩形ANPQ的頂點N在直線l2上，Q是坐標平面內(nèi)的點，且N點的橫坐標為x，請求出x的取值范圍．【變式8.2】（2019秋?義烏市期末）如圖1，在三角形ABC中，把A