2024高考復習A版數(shù)學考點考法練習：圓錐曲線的綜合問題

高考

數(shù)學平面解析幾何圓錐曲線的綜合問題基礎(chǔ)篇考法一求軌跡方程1.(2022山東聊城二模,4)已知點P在圓O:x2+y2=4上,點A(-3,0),B(0,4),則滿足

AP⊥BP的點P的個數(shù)為

(

)A.3

B.2

C.1

D.0答案

B

2.(2020課標Ⅲ文,6,5分)在平面內(nèi),A,B是兩個定點,C是動點.若

·

=1,則點C的軌跡為

(

)A.圓

B.橢圓

C.拋物線

D.直線答案

A

3.(2023屆貴州遵義新高考協(xié)作體入學質(zhì)量監(jiān)測,8)已知圓C的方程為(x-1)2

+y2=16,B(-1,0),A為圓C上任意一點,若點P為線段AB的垂直平分線與直線

AC的交點,則點P的軌跡方程為

(

)A.

+

=1

B.

-

=1C.

+

=1

D.

-

=1答案

C

4.(2017課標Ⅱ,文20,理20,12分)設(shè)O為坐標原點,動點M在橢圓C:

+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足

=

.(1)求點P的軌跡方程;(2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且

·

=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.解析

(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),

=(x-x0,y),

=(0,y0).由

=

得x0=x,y0=

y.因為M(x0,y0)在C上,所以

+

=1.因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明:由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則

=(-3,t),

=(-1-m,-n),

·

=3+3m-tn,

=(m,n),

=(-3-m,t-n).由

·

=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以

·

=0,即

⊥

.又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.5.(2023屆長沙市明德中學檢測,21)平面直角坐標系內(nèi)有一定點F(-1,0),定

直線l:x=-5,設(shè)動點P到定直線的距離為d,且滿足

=

.(1)求動點P的軌跡方程;(2)直線m:y=kx-3過定點Q,與動點P的軌跡交于不同的兩點M,N,動點P的

軌跡與y的負半軸交于A點,直線AM、AN分別交直線y=-3于點H、K,若|QH|+|QK|≤35,求k的取值范圍.解析

(1)設(shè)動點P的坐標為(x,y),因為

=

,所以

=

,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得

+

=1.所以動點P的軌跡方程為

+

=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得點A的坐標為(0,-2),故直線AM:y=

x-2,令y=-3,則xH=-

,同理xK=-

.由

消去y得(4+5k2)x2-30kx+25=0,由Δ=900k2-100(4+5k2)>0,解得k<-1或k>1.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=

,x1x2=

,x1x2>0,|QH|+|QK|=|xH+xK|=

=

=

=

=5|k|,因為|QH|+|QK|≤35,所以5|k|≤35,即|k|≤7.綜上,-7≤k<-1或1<k≤7.所以k的取值范圍是[-7,-1)∪(1,7].考法二定值與定點問題考向一定值問題1.(2023屆江蘇百校聯(lián)考,21)設(shè)F為橢圓C:

+y2=1的右焦點,過點F且與x軸不重合的直線l交橢圓C于A,B兩點.(1)當

=2

時,求|

|;(2)在x軸上是否存在異于F的定點Q,使

為定值(其中kQA,kQB分別為直線QA,QB的斜率)?若存在,求出Q的坐標;若不存在,請說明理由.解析由題意知F(1,0).設(shè)直線l的方程為x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立

消x得(m2+2)y2+2my-1=0,則y1+y2=-

,y1y2=

.(1)因為

=2

,所以(1-x2,-y2)=2(x1-1,y1),所以-y2=2y1,解得m2=

,則|y1|=

=

,所以|

|=

|y1|=

.(2)假設(shè)在x軸上存在異于點F的定點Q(t,0)(t≠1),使得

為定值.因為y1+y2=

,y1y2=

,所以y1+y2=2my1y2,所以

=

=

=

=

=

=

.要使

為定值,則有

=

,解得t=2或t=1(舍去),此時

=-1.故在x軸上存在異于F的定點Q(2,0),使得

為定值.2.(2023屆貴州遵義新高考協(xié)作體入學質(zhì)量監(jiān)測,20)已知點F1是橢圓C:

+

=1的左焦點,Q是橢圓C上的任意一點,A

.(1)求|QF1|+|QA|的最大值;(2)過點F1的直線l與橢圓C相交于兩點M,N,與y軸相交于點P.若

=λ

,

=μ

,試問:λ+μ是不是定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.解析

(1)由橢圓方程知a=2,b=

,∴c=

=1,則F1(-1,0),設(shè)右焦點為F2,則F2(1,0).由橢圓定義知|QF1|=2a-|QF2|=4-|QF2|,∴|QF1|+|QA|=|QA|-|QF2|+4,∵|QA|-|QF2|≤|F2A|(當且僅當A,F2,Q三點共線,即與圖中T點重合時取等

號),又|F2A|=

=

,∴|QF1|+|QA|的最大值為4+

.

(2)由題意知直線l的斜率存在,設(shè)l:y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2),則P(0,k),由

消y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,∴x1+x2=-

,x1x2=

.∵

=λ

,即(x1,y1-k)=λ(-1-x1,-y1),則λ=-

,同理可得μ=-

,∴λ+μ=-

-

=-

=-

=-

=-

=-

,∴λ+μ是定值-

.3.(2020新高考Ⅰ,22,12分)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,且過點A(2,1).(1)求C的方程;(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點Q,使得|DQ|

為定值.解析

(1)由題設(shè)得

+

=1,

=

,解得a2=6,b2=3.所以C的方程為

+

=1.(2)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).若直線MN與x軸不垂直,設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,代入

+

=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-

,x1x2=

.①由AM⊥AN知

·

=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)·(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.將①代入上式可得(k2+1)

-(km-k-2)·

+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因為A(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.于是MN的方程為y=k

-

(k≠1).所以直線MN過點P

.若直線MN與x軸垂直,可得N(x1,-y1).由

·

=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又

+

=1,可得3

-8x1+4=0.解得x1=2(舍去)或x1=

.此時直線MN過點P

.令Q為AP的中點,即Q

.若D與P不重合,則由題設(shè)知AP是Rt△ADP的斜邊,故|DQ|=

|AP|=

.若D與P重合,則|DQ|=

|AP|.綜上,存在點Q

,使得|DQ|為定值.4.(2022山東泰安三模,21)已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)的離心率e=

,四個頂點組成的菱形的面積為8

,O為坐標原點.(1)求橢圓E的方程;(2)過☉O:x2+y2=

上任意點P作☉O的切線l與橢圓E交于點M,N,求證:

·

為定值.解析

(1)由題意得2ab=8

,e=

=

,a2=b2+c2,解得a=2

,b=2,所以橢圓E的方程為

+

=1.(2)證明:當切線l的斜率不存在時,其方程為x=±

,當x=

時,將x=

代入橢圓方程

+

=1,得y=±

,不妨令M

,N

,∵P

,∴

=

,

=

,∴

·

=-

;當x=-

時,同理可得

·

=-

.當切線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),因為l與☉O相切,所以

=

,所以3m2=8k2+8,由

得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,∴x1+x2=-

,x1x2=

,由Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,得8k2-m2+4>0.

·

=(

-

)·(

-

)=

-

·

-

·

+

·

=

-

-

+

·

=-

+

·

,∵

·

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)

+km

+m2=

=0,∴

·

=-

.綜上,

·

為定值-

.5.(2022河北衡水二調(diào),21)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的長軸長為4,P在C上運動,F1,F2為C的兩個焦點,且cos∠F1PF2的最小值為

.(1)求C的方程;(2)已知過點M(0,m)(-b<m<b)的動直線l交C于兩點A,B,線段AB的中點為N,

若

·

-

·

為定值,試求m的值.解析

(1)由題意得a=2,設(shè)|PF1|,|PF2|分別為p,q,則p+q=2a,cos∠F1PF2=

=

=

=

-1≥

-1=

-1(當且僅當p=q時取等號),從而

-1=

,得

=

,又a=2,∴b2=3,則C的方程為

+

=1.(2)若直線l的斜率不存在,易得

·

-

·

=-3;若直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m,聯(lián)立

消y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,易知Δ>0恒成立,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則N

,且x1+x2=

,x1x2=

.

·

-

·

=x1x2+y1y2-m·

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)-

(kx1+m+kx2+m)=(k2+1)x1x2+

(x1+x2)=(k2+1)

+

·

=

=

=-3+

,要使上式為常數(shù),必須且只需4m2-3=0,即m=±

∈(-

,

).此時

·

-

·

=-3為定值,符合題意.綜上,當m=±

時,能使得

·

-

·

=-3.6.(2023屆福建部分名校聯(lián)考,22)已知兩點M(0,-4),N(0,4),動點P在x軸的投

影為Q,且

·

=3

,記動點P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)過點F(2

,0)的直線與曲線C在y軸右側(cè)相交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點H,試問

是不是定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.解析

(1)設(shè)P(x,y),則Q(x,0),

=(-x,-4-y),

=(-x,4-y),

=(0,-y).因為

·

=3

,所以x2+y2-16=3y2,故C的方程為

-

=1.(2)由題可知直線AB的斜率一定存在,且不為0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2

),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立

消去y整理得(1-2k2)x2+8

k2x-48k2-16=0,則

整理得k2>

.

=-

,

=-

,則線段AB的垂直平分線的方程為y+

=-

,令y=0,得x=-

,則H

,|FH|=

=

.又|AB|=

·

=

·

=

·

=

,所以

=

=

.故

是定值,該定值為

.考向二定點問題1.(2022全國乙,理20,文21,12分)已知橢圓E的中心為坐標原點,對稱軸為x

軸、y軸,且過A(0,-2),B

兩點.(1)求E的方程;(2)設(shè)過點P(1,-2)的直線交E于M,N兩點,過M且平行于x軸的直線與線段

AB交于點T,點H滿足

=

.證明:直線HN過定點.解析

(1)解法一:設(shè)橢圓E的方程為

+

=1(a>0,b>0且a≠b),將A(0,-2),B

兩點的坐標代入,得

解得

故橢圓E的方程為

+

=1.解法二:設(shè)橢圓E的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).由題意可得

解得

故橢圓E的方程為

+

=1.(2)由A(0,-2),B

可得直線AB的方程為y=

x-2.①若過點P(1,-2)的直線的斜率不存在,則其方程為x=1,與方程

+

=1聯(lián)立,可得y=±

,結(jié)合題意可知N

,M

,由

得

則T

,由

=

,得

則H

,所以直線HN的方程為y=

x-2,易知直線HN過點(0,-2);②若過點P(1,-2)的直線的斜率存在,設(shè)其方程為y+2=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2).聯(lián)立

得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,則x1+x2=

,x1x2=

,y1+y2=

,y1y2=

,x1y2+x2y1=

.聯(lián)立

可得T

,由

=

,可得H(3y1+6-x1,y1),故此時直線HN的方程為y-y2=

(x-x2),將(0,-2)代入并整理得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0,即2×

-6×

+

-3×

-12=0恒成立,則直線HN過定點(0,-2).綜上,直線HN過定點(0,-2).2.(2019北京理,18,14分)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).(1)求拋物線C的方程及其準線方程;(2)設(shè)O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點

M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過

y軸上的兩個定點.解析

(1)由拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1),得p=2.所以拋物線C的方程為x2

=-4y,其準線方程為y=1.(2)證明:拋物線C的焦點為F(0,-1).設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0).由

得x2+4kx-4=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2=-4,直線OM的方程為y=

x.令y=-1,得點A的橫坐標xA=-

.同理得點B的橫坐標xB=-

.設(shè)點D(0,n),則

=

,

=

,

·

=

+(n+1)2=

+(n+1)2=

+(n+1)2=-4+(n+1)2.令

·

=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0,1)和(0,-3).3.(2022廣東韶關(guān)九校聯(lián)考,21)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的點P(1,y0)(y0>

0)到焦點的距離為2.(1)求點P的坐標及拋物線C的方程;(2)若點M、N在拋物線C上,且kPM·kPN=-

,求證:直線MN過定點.解析

(1)設(shè)拋物線的焦點為F,則F

,準線方程為x=-

,由拋物線的定義得1+

=2,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,把(1,y0)代入得

=4,因為y0>0,所以y0=2,所以P(1,2).(2)證明:由題意知直線MN的斜率不為0,設(shè)直線MN的方程為x=my+n,M

,N

,聯(lián)立

得y2-4my-4n=0,Δ=16m2+4×4n>0,y1+y2=4m,y1y2=-4n,因為kPM=

=

,kPN=

=

,kPM·kPN=-

,所以

=-

,即y1y2+2(y1+y2)+36=0,所以-4n+8m+36=0,即n=2m+9,滿足Δ>0,所以直線MN的方程為x=my+2m+9=m(y+2)+9,所以直線MN過定點(9,-2).考法三最值與范圍問題考向一最值問題1.(2021全國乙文,11,5分)設(shè)B是橢圓C:

+y2=1的上頂點,點P在C上,則|PB|的最大值為

(

)A.

B.

C.

D.2答案

A

2.(多選)(2023屆河北“五個一”名校聯(lián)盟摸底,12)已知圓C:x2+

=1上兩點A、B滿足|AB|≥

,點M(x0,0)滿足|MA|=|MB|,則下列結(jié)論中正確的是

(

)A.當|AB|=

時,x0=

B.當x0=0時,過M點的圓C的最短弦長是2

C.線段AB的中點縱坐標的最小值是

D.過M點作圓C的切線且切點為A,B,則x0的取值范圍是

∪

答案

CD

3.(2023屆山東青島調(diào)研,21)在平面直角坐標系xOy中,動圓P與圓C1:x2+y2+

2x-

=0內(nèi)切,且與圓C2:x2+y2-2x+

=0外切,記動圓P的圓心的軌跡為E.(1)求E的方程;(2)不過圓心C2且與x軸垂直的直線交E于A,M兩個不同的點,連接AC2并延

長交E于點B.(i)若直線MB交x軸于點N,證明:N為一個定點;(ii)若過圓心C1的直線交E于D,G兩個不同的點,且AB⊥DG,求四邊形AD-

BG面積的最小值.解析

(1)設(shè)動圓P的半徑為R,圓心P的坐標為(x,y).由題意可知圓C1的圓

心為C1(-1,0),半徑為

;圓C2的圓心為C2(1,0),半徑為

.∵動圓P與圓C1內(nèi)切,且與圓C2外切,∴

?|PC1|+|PC2|=4>|C1C2|=2,∴動圓P的圓心的軌跡E是以C1,C2為焦點的橢圓.設(shè)其方程為

+

=1(a>b>0),其中2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,則b2=3.從而E的方程為

+

=1.(2)(i)證明:設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),則M(x1,-y1),由

可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,∴x1+x2=

,x1x2=

.直線BM的方程為y+y1=

(x-x1),令y=0,可得N點的橫坐標為xN=

y1+x1=

+x1=

=

=4,∴N為一個定點,其坐標為(4,0).(ii)根據(jù)(i)可求得|AB|=

|x2-x1|=

×

=

×

=

.∵AB⊥DG,∴kDG=-

,則|DG|=

.∵AB⊥DG,∴四邊形ADBG的面積S=

|AB|·|DG|=

×

×

=

,令k2+1=t,∵k≠0,∴t>1,則S=

=

=

,當

=

,即k=±1時,Smin=

.4.(2022濟南三模,21)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,且經(jīng)過點P(1,

).(1)求橢圓C的方程;(2)A、B為橢圓C上兩點,直線PA與PB的傾斜角互補,求△PAB面積的最大

值.解析

(1)由題意得

解得a=

,b=

,∴橢圓C的方程為

+

=1.(2)由題意可知直線AB的斜率一定存在.設(shè)直線AB的方程為y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),將y=kx+t代入

+

=1得(k2+3)x2+2ktx+t2-6=0,由Δ=4k2t2-4(k2+3)(t2-6)>0得6k2-3t2+18>0.x1+x2=

,x1x2=

.∵直線PA和直線PB的傾斜角互補,∴kPA=-kPB,即

=-

,化簡可得2

+x1y2+x2y1=(y1+y2)+

(x1+x2),∵y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=

,x1y2+x2y1=x1(kx2+t)+x2(kx1+t)=2kx1x2+t(x1+x2)=

,∴2

+

=

+

·

,化簡得(k-

)(k+t-

)=0,∵直線AB不過點P,∴k=

,∴x1+x2=

,x1x2=

,-2

<t<2

(由判別式求得),則|AB|=

=

,又點P到直線AB的距離為

=

,∴S△PAB=

·

·

=

≤

,當且僅當t=±

時等號成立,∴△PAB面積的最大值為

.5.(2020新高考Ⅱ,21,12分)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)過點M(2,3),點A為其左頂點,且AM的斜率為

.(1)求C的方程;(2)點N為橢圓上任意一點,求△AMN的面積的最大值.解析

(1)由題意可知直線AM的方程為y-3=

(x-2),即x-2y=-4,當y=0時,解得x=-4,所以a=4,由橢圓C:

+

=1(a>b>0)過點M(2,3),可得

+

=1,解得b2=12,所以C的方程為

+

=1.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為x-2y=m,當直線與橢圓相切時,與AM距

離比較遠的直線與橢圓的切點為N,此時△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立

消去x得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,與AM距離比較遠的直

線方程為x-2y=8,兩平行線(直線AM與直線x-2y=8)之間的距離為d=

=

,|AM|=

=3

.所以△AMN的面積的最大值為

×3

×

=18.考向二范圍問題1.(多選)(2023屆湖北“宜荊荊恩”起點考試,11)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左,右焦點分別為F1,F2,長軸長為4,點P(

,1)在橢圓C外,點Q在橢圓C上,則

(

)A.橢圓C的離心率的取值范圍是

B.當橢圓C的離心率為

時,|QF1|的取值范圍是[2-

,2+

]C.存在點Q,使得

·

=0D.

+

的最小值為1答案

BCD

2.(2022山東濱州二模,21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)在點M(1,y0)處的切線

斜率為

.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線C上存在不同的兩點關(guān)于直線l:y=2x+m對稱,求實數(shù)m的取值

范圍.解析

(1)由題意知點M

,則切線方程為y-

=

(x-1),由

消去y并整理得x2-px+p-1=0,依題意,有Δ=p2-4(p-1)=0,解得p=2,所以拋物線C的方程是x2=4y.(2)設(shè)拋物線C上關(guān)于直線l對稱的兩點為A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為

y=-

x+t,由

消去y并整理得x2+2x-4t=0,則Δ'=4+16t>0,解得t>-

.x1+x2=-2,y1+y2=-

(x1+x2)+2t=2t+1,顯然線段AB的中點

在直線l上,于是得t+

=-2+m,即有t=m-

,而t>-

,因此,m-

>-

,解得m>

,所以實數(shù)m的取值范圍是

.3.(2021北京,20,15分)已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)的一個頂點為A(0,-2),以橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為4

.(1)求橢圓E的方程;(2)過點P(0,-3)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC

分別與直線y=-3交于點M,N.當|PM|+|PN|≤15時,求k的取值范圍.解析

(1)將A(0,-2)代入橢圓E的方程得b=2,由橢圓E的四個頂點圍成的

四邊形面積為2ab=4

,解得a=

,所以橢圓E的方程為

+

=1.(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),由題意得直線l的方程為y+3=k(x-0),即y=kx-3,將y=kx-3代入橢圓E的方程并化簡得(4+5k2)x2-30kx+25=0,則x1+x2=

,x1x2=

,由Δ=(-30k)2-4×25(4+5k2)>0,解得k<-1或k>1.直線AB的方程為

=

,令y=-3,解得x=-

,得M

,同理可得N

,所以|PM|+|PN|=

+

=

=

=

=

=

=

=|5k|≤15,解得-3≤k≤3.故k的取值范圍為[-3,-1)∪(1,3].4.(2022長沙長郡中學月考一,20)設(shè)橢圓C:

+

=1的左,右頂點分別為A,B.(1)若P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點,直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2(k1

k2≠0),求|k1|+|k2|的最小值;(2)已知過點D(0,-3)的直線l交橢圓C于M、N兩個不同的點,直線AM,AN分

別交y軸于點S,T,記

=λ

,

=μ

(O為坐標原點),當直線l的傾斜角θ為銳角時,求λ+μ的取值范圍.解析

(1)由題意設(shè)點P(x0,y0),Q(x0,-y0),-3<x0<3,不妨令0<y0≤

,因為A(-3,0),B(3,0),所以k1=

,k2=

,則|k1|+|k2|=

+

=

,由

+

=1可得9-

=

,則|k1|+|k2|=

,因為0<y0≤

,所以|k1|+|k2|=

≥

,當y0=

時等號成立,即|k1|+|k2|的最小值為

.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l:y=kx-3(k>0),聯(lián)立

得(5+9k2)x2-54kx+36=0,由題意得Δ=(-54k)2-4×36×(5+9k2)>0,因為k>0,所以k>

.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=

,x1x2=

.易知直線AM的方程是y=

(x+3),令x=0,解得y=

,所以S

,同理可得T

.所以

=

,

=

,因為

=(0,3),

=λ

,

=μ

,所以

+3=3λ,

+3=3μ,所以λ+μ=

+

+2=

+

+2=

+2=

+2=-

+2,因為k>

,所以

<λ+μ<2.所以λ+μ的取值范圍是

.考法四存在性問題1.(2023屆重慶八中入學考,21)已知B(-1,0),C(1,0)為△ABC的兩個頂點,P

為△ABC的重心,邊AC,AB上的兩條中線長度之和為6.(1)求點P的軌跡T的方程;(2)已知點N(-3,0),E(-2,0),F(2,0),直線PN與T的另一個公共點為Q,直線EP

與FQ交于點M,試問:當點P變化時,點M是否恒在一條定直線上?若是,請

證明;若不是,請說明理由.解析

(1)因為P為△ABC的重心,且邊AC,AB上的兩條中線長度之和為6,所以|PB|+|PC|=

×6=4>|BC|,由橢圓的定義知,點P的軌跡T是以B(-1,0),C(1,0)為焦點的橢圓(不包括長軸的端點),且a=2,c=1,所以b=

,所以點P的軌跡T的方程為

+

=1(x≠±2).(2)設(shè)直線PQ的方程為x=my-3,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立

消x得(3m2+4)y2-18my+15=0,則y1+y2=

,y1y2=

,所以2my1y2=

(y1+y2),又直線PE的方程為y=

(x+2)=

(x+2),直線QF的方程為y=

(x-2)=

(x-2),聯(lián)立

解得x=

,把2my1y2=

(y1+y2)代入上式得x=

=

=-

,所以當點P運動時,點M恒在定直線x=-

上.2.(2022深圳實驗學校、長沙市一中聯(lián)考,20)設(shè)雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別是F1,F2,漸近線分別為l1,l2,過F2作漸近線的垂線,垂足為

P,且△OPF1的面積為

.(1)求雙曲線C的離心率;(2)動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),且△OAB

的面積恒為8,是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線C?若存

在,求出雙曲線C的方程;若不存在,說明理由.解析

(1)由題意易知,|PF2|=b,|OP|=a,由PF2⊥OP得

=

,又因為

=

=

,所以

=

,解得b=2a,則c=

a,所以雙曲線C的離心率e=

.(2)由(1)及題意得漸近線l1:y=2x,l2:y=-2x,設(shè)雙曲線的方程為

-

=1,依題意得直線l的斜率不為零,因此設(shè)直線l的方程為x=my+t,-

<m<

,t>0,設(shè)直線l交x軸于點D(t,0),A(x1,y1)(x1>0,y1>0),B(x2,y2)(x2>0,y2<0),聯(lián)立

得y1=

,同理得y2=

.則S△OAB=

|OD|·|y1-y2|=8,得

t

=8,即t2=4|1-4m2|=4(1-4m2)>0,①聯(lián)立

得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0,若直線l與雙曲線C只有一個公共點,則Δ=0,即Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,

化簡得t2+a2(4m2-1)=0,將①式代入可得a2=4,所以雙曲線的方程為

-

=1,因此,存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線C,雙曲線C的方程為

-

=1.3.(2022重慶八中摸底,21)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,長軸端點和短軸端點的距離為

.(1)求橢圓C的方程;(2)若P為橢圓C上異于橢圓C頂點的任意一點,過點Q(0,-2)且平行于OP的

直線l與橢圓C相交于A,B兩點(點O為坐標原點),是否存在實數(shù)λ,使得

·

=λ

成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.解析

(1)依題意得

解得

∴橢圓C的方程為

+y2=1.(2)存在.因為P是橢圓C上異于橢圓C頂點的任意一點,且l∥OP,所以直線l

的斜率存在且不為0.設(shè)過點Q(0,-2)的直線l的方程為y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).由

消去y得(1+4k2)x2-16kx+12=0,則Δ=(-16k)2-4×12×(1+4k2)>0?4k2>3,x1+x2=

,x1x2=

,|QA|·|QB|=

|x1-xQ|·

|x2-xQ|=(1+k2)·|x1x2|.由

得

=

,所以|OP|2=(1+k2)

=(1+k2)

,又因為

·

=λ

,所以|QA|·|QB|=λ|OP|2,所以|x1x2|=λ

,即

=

,解得λ=3.故存在實數(shù)λ,使得

·

=λ

成立,且λ=3.4.(2022湖北部分學校質(zhì)量檢測,21)已知F1(-c,0),F2(c,0)分別為橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左,右焦點,P

是橢圓C上一點,且

·

=

.(1)求橢圓C的方程;(2)過點F2的直線與橢圓C交于A,B兩點,試問:是否存在定點G(x0,0),使得

·

為定值?若存在,求出x0的值;若不存在,請說明理由.解析

(1)因為

·

=

·

=

c2=

,又c>0,所以c=1,P

,又點P在橢圓上,所以

解得

所以橢圓C的方程為

+

=1.(2)存在.若直線AB的斜率不存在,即直線AB的方程為x=1,令A

,B

,則

·

=(x0-1)2-

.若直線AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由

得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,則Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)>0,x1+x2=

,x1x2=

.所以

=(x1-x0,y1),

=(x2-x0,y2),則

·

=x1x2-(x1+x2)x0+

+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-(x0+k2)·(x1+x2)+k2+

=

,因為

·

為定值,所以

=

,解得x0=

,定值為-

,而x0=

時,(x0-1)2-

=-

,故存在定點G,使得

·

為定值,此時x0=

.一、單項選擇題專題綜合檢測1.(2022福建莆田一模,3)若直線l:(a+1)x-y+3=0與直線m:x-(a+1)y-3=0互相

平行,則a=

(

)A.-1

B.-2

C.-2或0

D.0答案

D

2.(2022重慶云陽江口中學期末,2)已知直線l過點M(3,0),則“直線l的斜率

小于或等于0”是“直線l與圓C:x2+y2-6y=0有公共點”的

(

)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

A

3.(2022江蘇鹽城四校期初聯(lián)測,5)若橢圓

+

=1(m>n>0)和雙曲線

-

=1(s,t>0)有相同的焦點F1和F2,而P是這兩曲線的一個交點,則|PF1|·|PF2|的值是

(

)A.m-s

B.

(m-s)C.m2-s2

D.

-

答案

A

4.(2020課標Ⅰ理,11,5分)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上

的動點.過點P作☉M的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|·|AB|最小時,直線AB

的方程為

(

)A.2x-y-1=0

B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0

D.2x+y+1=0答案

D

5.(2022湖北部分重點中學聯(lián)考,7)已知雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的左,右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交雙曲線右支于A,B兩點,若

·

=0,且cos∠F1AF2=

,則雙曲線的離心率為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D

6.(2022江蘇南通如皋調(diào)研一,6)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線

交拋物線C于A,B,以AF為直徑的圓過點(0,2),則直線AB的斜率為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

A

7.(2022山東棗莊三模,8)已知點F1、F2分別為橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦點,點P為直線x=

上一個動點.若tan∠F1PF2的最大值為

,則橢圓C的離心率為

(

)A.

B.

C.

D.

答案

D

8.(2023屆山東青島調(diào)研,8)拋物線有一條重要性質(zhì):從焦點發(fā)出的光線,經(jīng)

過拋物線上的一點反射后,反射光線平行于拋物線的對稱軸.如圖所示,從

拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F向x軸上方發(fā)出的兩條光線a,b分別經(jīng)拋物

線上的A,B兩點反射,已知兩條入射光線與x軸所成角均為

,且|FB|+|FA|=8,則兩條反射光線a',b'之間的距離為

(

)

A.

B.4

C.2

D.2

答案

D

9.(2019北京,8,5分)數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:x2+y2

=1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過

;③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中,所有正確結(jié)論的序號是

(

)A.①

B.②

C.①②

D.①②③答案

C

10.(2022海南中部六市縣模擬,11)在平面直角坐標系中,三點A(-1,0),B(1,

0),C(0,7),動點P滿足|PA|=

|PB|,則以下結(jié)論正確的是

(

)A.點P的軌跡方程為(x-3)2+y2=8B.△PAB面積最大時,|PA|=2

C.∠PAB最大時,|PA|=2

D.P到直線AC的距離的最小值為

答案

ACD

二、多項選擇題11.(2022廣東汕頭澄海中學月考,9)已知F1,F2是雙曲線E:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1作傾斜角為30°的直線分別交y軸與雙曲線右支于點

M,P,|PM|=|MF1|,下列判斷正確的是

(

)A.∠PF2F1=

B.|MF2|=

|PF1|C.E的離心率等于

D.E的漸近線方程為y=±

x答案

BCD

12.(2022河北部分重點中學期中,10)已知直線l過拋物線C:x2=-4y的焦點F,

且直線l與拋物線C交于A,B兩點,過A,B兩點分別作拋物線C的切線,兩切

線交于點G,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),G(xG,yG),則下列選項正確的是

(

)A.yA·yB=4B.以線段AB為直徑的圓與直線y=

相離C.當

=2

時,|AB|=

D.△GAB面積的取值范圍為[4,+∞)答案

BCD

13.(2022上海交通大學附中期中,9)已知直線l:y=2x-10與雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行,且經(jīng)過雙曲線的一個焦點,則雙曲線的標準

方程為

.答案

-

=1三、填空題14.(2022重慶云陽江口中學期末,14)已知橢圓C1:

+

=1,雙曲線C2:

-

=1(a>0,b>0)的離心率互為倒數(shù),F1,F2為雙曲線C2的左,右焦點,設(shè)點M為C2的漸近線上的一點,若

·

=0(O為坐標原點),△MF1F2的面積為16,則C2的方程為

.答案

-

=115.(2022全國甲文,15,5分)記雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點”的e的一個值

.答案

2(答案不唯一,在(1,

]范圍內(nèi)取值均可)16.(2019北京文,19,14分)已知橢圓C:

+

=1的右焦點為(1,0),且經(jīng)過點A(0,1).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為原點,直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線AP

與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N.若|OM|·|ON|=2,求證:直線l經(jīng)過定

點.四、解答題解析

(1)由題意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.所以橢圓C的方程為

+y2=1.(2)證明:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則直線AP的方程為y=

x+1.令y=0,得點M的橫坐標xM=-

.又y1=kx1+t,從而|OM|=|xM|=

.同理,|ON|=

.由

得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.則x1+x2=-

,x1x2=

.所以|OM|·|ON|=

·

=

=

=2

.又|OM|·|ON|=2,所以2

=2.解得t=0,所以直線l經(jīng)過定點(0,0).17.(2022重慶涪陵實驗中學期中,21)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)過點A(0,1),且離心率為

.(1)求橢圓C的方程;(2)過A作斜率分別為k1,k2的兩條直線,分別交橢圓于點M,N,且k1+k2=2,證

明:直線MN過定點.

解析

(1)∵橢圓C:

+

=1(a>b>0)過點A(0,1),即

=1,∴b=1.∵e=

=

,又a2-b2=c2,∴a=2,∴橢圓C的方程為

+y2=1.(2)當直線MN的斜率不存在時,設(shè)直線方程為x=t,M(t,s),N(t,-s),