廣東省深圳市2023－2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期北師大版期末考試數(shù)學(xué)模擬卷（含答案）

廣東省深圳市2023年九年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬卷（滿分100分，范圍：九上-九下第1章）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．如圖是一個(gè)空心圓柱體，其主視圖是（）A． B． C． D．2．在一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同．通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有（）A．6個(gè) B．15個(gè) C．12個(gè) D．13個(gè)3．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，求tanB為（）A． B． C． D．4．如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC分別與直線l1，l2，l3，交于A、B、C三點(diǎn)，直線DF分別與直線l1，l2，l3交于D、E、F三點(diǎn)，AC與DF交于點(diǎn)O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．則OF的長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠06．已知反比例函數(shù)，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在其圖象上，下列說(shuō)法不正確的是（）A．圖象分布在第二、四象限 B．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大 C．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣1） D．若x1＜x2，則y1＜y27．要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要比賽一場(chǎng)（單循環(huán)比賽）．根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，則比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)（）個(gè)隊(duì)參賽．A．6 B．7 C．8 D．98．如圖，△ABC和△A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，若C1為OC的中點(diǎn)，S＝3，則△ABC的面積為（）A．15 B．12 C．9 D．69．如圖，把一根4.5米長(zhǎng)的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)1米時(shí)它離地面的高度是0.6米，又量得竿頂與壩腳的距離BC＝2.8米，∠CBF記作α，下列式子正確的是（）A．sinα＝ B．cosα＝ C．sinα＝ D．tanα＝10．如圖，正方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，連接AE，DF⊥AE于點(diǎn)F，連接CF，F(xiàn)G⊥CF交AD于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①CF＝CD；②G為AD中點(diǎn)；③△DCF∽△AGF；④＝，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．若，則＝．12．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的一個(gè)根是x＝3，則m的值為．13．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝8，BD＝6，則菱形的面積是．14．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠AOC的正弦值是．15．如圖，直線y＝mx﹣1交y軸于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，以BC為邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)A（﹣1，a）在雙曲線y＝﹣（x＜0）上，D點(diǎn)在雙曲線y＝（x＞0）上，則k的值為．三．解答題（共7小題，滿分55分）16．（5分）解方程：x（x+2）＝3x+6．17．（7分）某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．（1）隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中的概率是；（2）若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率．18．（8分）如圖，從樓層底部B處測(cè)得旗桿CD的頂端D處的仰角是53°，從樓層頂部A處測(cè)得旗桿CD的頂端D處的仰角是45°，已知樓層AB的樓高為3米．求旗桿CD的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）19．（8分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD交BE于點(diǎn)G，連接CG．（1）求證：四邊形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四邊形CEFG的面積．20．（8分）由于新冠疫情的影響，口罩需求量急劇上升，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次價(jià)格的上調(diào)，口罩的價(jià)格由每包10元漲到了每包14.4元．（1）求出這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長(zhǎng)率；（2）在有關(guān)部門(mén)調(diào)控下，口罩價(jià)格還是降到了每包10元，而且調(diào)查發(fā)現(xiàn)，定價(jià)為每包10元時(shí)，一天可以賣(mài)出30包，每降價(jià)1元，可以多賣(mài)出5包，當(dāng)銷售額為315元時(shí)，且讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應(yīng)該降價(jià)多少元？21．（9分）【模型發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE．【深入探究】如圖2，等邊△ABC中，AB＝3，D是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將BD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接CE，當(dāng)點(diǎn)D從A運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．【應(yīng)用拓展】如圖3，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一點(diǎn)，連接BE，將BE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EF，EF交BC于點(diǎn)G，連接CF，若，則的值為．22．（10分）如圖1，直線l與坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，CE與DF交于點(diǎn)G（4，3）．（1）當(dāng)點(diǎn)D恰好是FG中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；（2）如圖2，連接EF，求證：CD∥EF；（3）如圖3，將△CGD沿CD折疊，點(diǎn)G恰好落在邊OB上的點(diǎn)H處，求此時(shí)反比例函數(shù)的解析式．答案解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．如圖是一個(gè)空心圓柱體，其主視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從前面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【解答】解：從前面觀察物體可以發(fā)現(xiàn)：它的主視圖應(yīng)為矩形，又因?yàn)樵搸缀误w為空心圓柱體，故中間的兩條棱在主視圖中應(yīng)為虛線，故選：D．2．在一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同．通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近，則口袋中白球可能有（）A．6個(gè) B．15個(gè) C．12個(gè) D．13個(gè)【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近得出口袋中得到紅色球的概率，進(jìn)而求出白球個(gè)數(shù)即可．【解答】解：設(shè)白球個(gè)數(shù)為x個(gè)，∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在25%左右，∴口袋中得到紅色球的概率為25%，∴＝，解得：x＝12，經(jīng)檢驗(yàn)x＝12是原方程的根，故白球的個(gè)數(shù)為12個(gè)．故選：C．3．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，求tanB為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝＝，∴AB＝5，∴AC＝＝4，∴tanB＝＝，故選：D．4．如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC分別與直線l1，l2，l3，交于A、B、C三點(diǎn)，直線DF分別與直線l1，l2，l3交于D、E、F三點(diǎn)，AC與DF交于點(diǎn)O，若BC＝2AO＝2OB，OD＝1．則OF的長(zhǎng)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵BC＝2AO＝2OB，∴OC＝3AO，∵直線l1∥l2∥l3，∴，∴＝，∵OD＝1，∴OF＝3，故選：C．5．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可判斷．【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，解得k≤1且k≠0，故選：D．6．已知反比例函數(shù)，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在其圖象上，下列說(shuō)法不正確的是（）A．圖象分布在第二、四象限 B．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大 C．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣1） D．若x1＜x2，則y1＜y2【分析】直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)的增減性分別分析得出答案．【解答】解：A．反比例函數(shù)，k＝﹣3＜0，圖象分布在第二、四象限，故此選項(xiàng)不合題意；B．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，故此選項(xiàng)不合題意；C．∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣1，∴圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣1），故此選項(xiàng)不合題意；D．若x1＜x2＜0或0＜x1＜x2時(shí)，則y1＜y2，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．7．要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要比賽一場(chǎng)（單循環(huán)比賽）．根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，則比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)（）個(gè)隊(duì)參賽．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，則比賽總共要進(jìn)行x（x﹣1）場(chǎng)，于是列方程得x（x﹣1）＝4×7，解方程求出符合題意的x值即得到問(wèn)題的答案．【解答】解：設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意得x（x﹣1）＝4×7，解得x1＝8，x2＝﹣7（不符合題意，舍去），∴比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)8個(gè)隊(duì)參賽，故選：C．8．如圖，△ABC和△A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，若C1為OC的中點(diǎn)，S＝3，則△ABC的面積為（）A．15 B．12 C．9 D．6【分析】根據(jù)位似變換的概念得到△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形，∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，∴△OBC≌△OB1C1，∴＝＝，∴＝（）2，∵S＝3，∴△ABC的面積＝3×4＝12，故選：B．9．如圖，把一根4.5米長(zhǎng)的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)1米時(shí)它離地面的高度是0.6米，又量得竿頂與壩腳的距離BC＝2.8米，∠CBF記作α，下列式子正確的是（）A．sinα＝ B．cosα＝ C．sinα＝ D．tanα＝【分析】作CF⊥AB于點(diǎn)F，利用桿長(zhǎng)和影長(zhǎng)求得CF的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)求得結(jié)論．【解答】解：作CF⊥AB于點(diǎn)F，由題意得：＝，∵AD＝1米，AC＝4.5米，∴，解得：CF＝2.7米，∴sinα＝＝＝，故選：A．10．如圖，正方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，連接AE，DF⊥AE于點(diǎn)F，連接CF，F(xiàn)G⊥CF交AD于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①CF＝CD；②G為AD中點(diǎn)；③△DCF∽△AGF；④＝，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】如圖，作CM⊥DF于M．首先證明△DAF≌△CDM，推出DM＝AF，再證明DF＝2AF，推出DM＝MF，推出CD＝CF，再證明∠GDF＝∠GFD，推出GD＝GF，再證明GF＝GA即可證明GA＝GD，由此即可一一判斷；【解答】解：如圖，作CM⊥DF于M．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝90°，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCM＝90°，∴∠ADF＝∠DCM，∵DF⊥AE，CM⊥DF，∴∠AFD＝∠CMD＝90°，∴△DAF≌△CDM，∴CM＝DF，DM＝AF，∵∠ADF+∠DAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∵BE＝CE，∴AB＝2BE，∴tan∠BAE＝tan∠ADF＝＝，∴＝，∴DM＝MF，∵CM⊥DF，∴CD＝CF，故①正確，∴∠CDF＝∠CFD，∵∠CDG＝∠CFG＝90°，∴∠GFD＝∠GDF，∴GF＝GD，∵∠GDF+∠DAF＝90°，∠GFD+∠AFG＝90°，∴∠GAF＝∠GFA，∴GF＝GA，∴GD＝GA，∴G是AD中點(diǎn)，故②正確，∵∠AFD＝∠GFC，∴∠AFG＝∠CFD，∠GAF＝∠CDF，∴△DCF∽△AGF，故③正確，設(shè)AF＝a，則DF＝2a，AB＝a，BE＝a，∴AE＝a，EF＝a，∴＝，故④正確，故選：D．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．若，則＝﹣5．【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，用一個(gè)未知量將a、b表示出，代入原式即可得解．【解答】解：設(shè)a＝2k，b＝3k，則＝＝﹣5，故填﹣5．12．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的一個(gè)根是x＝3，則m的值為1．【分析】據(jù)一元二次方程的解的定義，把x＝3代入一元二次方程得到關(guān)于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣mx﹣6＝0得9﹣3m﹣6＝0，解得m＝1．故答案為：1．13．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝8，BD＝6，則菱形的面積是24．【分析】由菱形的面積公式可求解．【解答】解：菱形的面積＝＝＝24，故答案為：24．14．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)O，則∠AOC的正弦值是．【分析】連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F．說(shuō)明CD∥BE，∠ABE＝∠AOC，利用勾股定理和三角形的面積公式求出EF、BE，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出∠ABE的正弦值得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F．∵BD∥CE．BD＝CE．∴四邊形DBEC是平行四邊形．∴BE∥DC．∴∠ABE＝∠AOC．∵AB＝＝2，S△ABE＝AB×EF＝×2×EF＝×2×3．∴EF＝．在Rt△BEF中，∵BE＝＝，∴sin∠ABE＝＝＝．∴sin∠AOC＝．故答案為：．15．如圖，直線y＝mx﹣1交y軸于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，以BC為邊的正方形ABCD的頂點(diǎn)A（﹣1，a）在雙曲線y＝﹣（x＜0）上，D點(diǎn)在雙曲線y＝（x＞0）上，則k的值為6．【分析】先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而通過(guò)證得△ADN≌△BAE≌△CBO≌△CDM（AAS），再確定出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入y＝（x＞0）即可得出結(jié)論．【解答】解：∵A（﹣1，a）在雙曲線y＝﹣（x＜0）上，∴a＝2，∴A（﹣1，2），∵點(diǎn)B在直線y＝mx﹣1上，∴B（0，﹣1），∴AE＝1，BE＝3，作DM⊥x軸于M，AN⊥DM于N，交y軸于E，∵∠MDC+∠ADN＝90°＝∠MDC+∠MCD，∴∠ADN＝∠MCD，同理：∠ADN＝∠EAB＝∠CBO＝∠MCD，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝CD＝DA，∴△ADN≌△BAE≌△CBO≌△CDM（AAS），∴DM＝BE＝AN＝CO＝3，CM＝AE＝1，∴EN＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)D（2，3），∵D點(diǎn)在雙曲線y＝（x＞0）上，∴k＝2×3＝6，故答案為：6．三．解答題（共7小題，滿分55分）16．（5分）解方程：x（x+2）＝3x+6．【分析】先變形得到x（x+2）﹣3（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．17．（7分）某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．（1）隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中的概率是；（2）若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概率．【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算；（2）從甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積極報(bào)名參加，設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示．從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，然后利用樹(shù)狀圖即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中的概率是；故答案為：；（2）設(shè)甲是共青團(tuán)員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨員用G表示．從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，如圖所示：它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結(jié)果中，被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的（記為事件A）結(jié)果有6種，則P（A）＝＝，18．（8分）如圖，從樓層底部B處測(cè)得旗桿CD的頂端D處的仰角是53°，從樓層頂部A處測(cè)得旗桿CD的頂端D處的仰角是45°，已知樓層AB的樓高為3米．求旗桿CD的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）【分析】過(guò)A作AE⊥CD于E，則BC＝AE，∠AED＝90°，先證△ADE是等腰直角三角形，得AE＝DE，設(shè)BC＝AE＝DE＝x米，則CD＝（x+3）米，再由銳角三角函數(shù)定義得出方程，解方程即可．【解答】解：過(guò)A作AE⊥CD于E，如圖所示：則BC＝AE，∠AED＝90°，由題意得：∠DAE＝45°，∠DBC＝53°，AB＝3米，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，設(shè)BC＝AE＝DE＝x米，則CD＝（x+3）米，∵tan∠DBC＝＝tan53°≈，∴≈，解得：x≈9，∴CD＝9+3＝12（米），答：旗桿CD的高度約為12米．19．（8分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD交BE于點(diǎn)G，連接CG．（1）求證：四邊形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四邊形CEFG的面積．【分析】（1）根據(jù)題意和翻折的性質(zhì)，可以得到△BCE≌△BFE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)題意和勾股定理，可以求得AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得EF和DF的值，從而可以得到四邊形CEFG的面積．【解答】（1）證明：由題意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，F(xiàn)E＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形，又∵CE＝FE，∴四邊形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，設(shè)EF＝x，則CE＝x，DE＝6﹣x，∵∠FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝，∴CE＝，∴四邊形CEFG的面積是：CE?DF＝×2＝．20．（8分）由于新冠疫情的影響，口罩需求量急劇上升，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次價(jià)格的上調(diào)，口罩的價(jià)格由每包10元漲到了每包14.4元．（1）求出這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長(zhǎng)率；（2）在有關(guān)部門(mén)調(diào)控下，口罩價(jià)格還是降到了每包10元，而且調(diào)查發(fā)現(xiàn)，定價(jià)為每包10元時(shí)，一天可以賣(mài)出30包，每降價(jià)1元，可以多賣(mài)出5包，當(dāng)銷售額為315元時(shí)，且讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應(yīng)該降價(jià)多少元？【分析】（1）設(shè)這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長(zhǎng)率為x，利用經(jīng)過(guò)兩次上調(diào)價(jià)格后的價(jià)格＝原價(jià)×（1+這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每包應(yīng)該降價(jià)m元，則每包的售價(jià)為（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，根據(jù)每天該口罩的銷售額為315元，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合要讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，即可得出每包應(yīng)該降價(jià)3元．【解答】解：（1）設(shè)這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長(zhǎng)率為x，依題意得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長(zhǎng)率為20%．（2）設(shè)每包應(yīng)該降價(jià)m元，則每包的售價(jià)為（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，依題意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3．又∵要讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，∴m的值為3．答：每包應(yīng)該降價(jià)3元．21．（9分）【模型發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE．【深入探究】如圖2，等邊△ABC中，AB＝3，D是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將BD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接CE，當(dāng)點(diǎn)D從A運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．【應(yīng)用拓展】如圖3，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一點(diǎn)，連接BE，將BE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EF，EF交BC于點(diǎn)G，連接CF，若，則的值為．【分析】【模型發(fā)現(xiàn)】由相似三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，，利用相似三角形的判定可得結(jié)論；【深入探究】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD＝DE，∠BDE＝60°，由“SAS”可證△ABD≌△CBE，可得AD＝CE，即可求解；【應(yīng)用拓展】通過(guò)證明△ABE∽△CBF，可得CF＝AE，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求AB＝AE，即可求解．【解答】【模型發(fā)現(xiàn)】證明：∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；【深入探究】解：連接BE，∵將BD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，∴BD＝DE，∠BDE＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝3＝AC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∵點(diǎn)D從A運(yùn)動(dòng)到C，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為3；【應(yīng)用拓展】解：如圖，連接BF