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湖北省“荊、荊、襄、宜”四地七校考試聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題文試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.2.已知函數(shù),若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.14.若集合M={1,3},N={1,3,5},則滿足M∪X=N的集合X的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.45.如圖,在平行四邊形中,對(duì)角線與交于點(diǎn),且,則()A. B.C. D.6.若復(fù)數(shù)滿足,則(其中為虛數(shù)單位)的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.47.已知函數(shù)且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知定點(diǎn),,是圓上的任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓9.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.10.復(fù)數(shù)().A. B. C. D.11.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢(shì),下列敘述錯(cuò)誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.總體來(lái)說(shuō),該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好12.已知菱形的邊長(zhǎng)為2,,則()A.4 B.6 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個(gè)房間的地面是由12個(gè)正方形所組成,如圖所示.今想用長(zhǎng)方形瓷磚鋪滿地面,已知每一塊長(zhǎng)方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形,即或,則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.14.已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為_(kāi)___________.15.若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.16.的展開(kāi)式中,的系數(shù)是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)設(shè)函數(shù),對(duì)于任意,恒成立,求的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長(zhǎng).19.(12分)已知正數(shù)x,y,z滿足xyzt(t為常數(shù)),且的最小值為,求實(shí)數(shù)t的值.20.(12分)己知,,.(1)求證:;(2)若,求證:.21.(12分)設(shè)數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的方程為(),直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且,求r的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】
由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【題目詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【題目點(diǎn)撥】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).2、B【解題分析】
根據(jù)分段函數(shù),分當(dāng),,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問(wèn)題,用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,令,在是增函數(shù),時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,令當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),有2個(gè)零點(diǎn),如圖所示:所以實(shí)數(shù)的取值范圍為綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選:B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力,屬于中檔題.3、A【解題分析】
由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【題目詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以,即當(dāng)時(shí),取最大值故選:A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.4、D【解題分析】可以是共4個(gè),選D.5、C【解題分析】
畫出圖形,以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果.【題目詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【題目點(diǎn)撥】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題(1)只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無(wú)窮多組,在解決具體問(wèn)題時(shí),合理選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.6、B【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定,即可得的最大值.【題目詳解】由知,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離,又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在圓的圓心到的距離為1,所以.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】
構(gòu)造函數(shù),判斷出的單調(diào)性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù),由解得,所以的定義域?yàn)?,且,所以為奇函?shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.8、B【解題分析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),如下圖所示:所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有,所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此,綜上所述:有,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.9、A【解題分析】
根據(jù)或,驗(yàn)證交集后求得的值.【題目詳解】因?yàn)椋曰?當(dāng)時(shí),,不符合題意,當(dāng)時(shí),.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】試題分析:,故選A.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式的乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化.11、C【解題分析】
結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【題目詳解】對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于,個(gè)高于,其中第個(gè)接近,第個(gè)高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對(duì)于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來(lái)越差,故錯(cuò)誤.對(duì)于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷,本題較為基礎(chǔ).12、B【解題分析】
根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結(jié)果.【題目詳解】如圖所示,菱形形的邊長(zhǎng)為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題..二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、11【解題分析】
將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定,再由此進(jìn)行分類,在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進(jìn)行分類,在其中會(huì)有相同元素的排列問(wèn)題,需用到“縮倍法”.采用分類計(jì)數(shù)原理,求得總的方法數(shù).【題目詳解】(1)先貼如圖這塊瓷磚,然后再貼剩下的部分,按如下分類:5個(gè):,3個(gè),2個(gè):,1個(gè),4個(gè):,(2)左側(cè)兩列如圖貼磚,然后貼剩下的部分:3個(gè):,1個(gè),2個(gè):,綜上,一共有(種).故答案為:11.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理,排列問(wèn)題,其中涉及到相同元素的排列,用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.14、(或?qū)懗桑窘忸}分析】
設(shè)與的夾角為,通過(guò),可得,化簡(jiǎn)整理可求出,從而得到答案.【題目詳解】設(shè)與的夾角為可得,故,將代入可得得到,于是與的夾角為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,分析能力及計(jì)算能力.15、【解題分析】
化簡(jiǎn)函數(shù),求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間,然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增,列出不等式求解即可.【題目詳解】由知,當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在和上均單調(diào)遞增,,
,
的取值范圍為:.
故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組,屬中檔題.16、【解題分析】
先將原式展開(kāi)成,發(fā)現(xiàn)中不含,故只研究后面一項(xiàng)即可得解.【題目詳解】,依題意,只需求中的系數(shù),是.故答案為:-40【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì),關(guān)鍵是先展開(kāi)再利用排列組合思想解決,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解題分析】
(1)求出,即可求出切線的點(diǎn)斜式方程,整理即可;(2)的取值范圍滿足,,求出,當(dāng)時(shí)求出,的解,得到單調(diào)區(qū)間,極小值最小值即可.【題目詳解】(1)由于,此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所以切線方程為.(2)由已知,故.由于,故,設(shè)由于在單調(diào)遞增同時(shí)時(shí),,時(shí),,故存在使得且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得極小值,也是最小值,故由于,所以,.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問(wèn)題,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)l:,C:;(2)【解題分析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;
(2)由(1)可得曲線是圓,求出圓心坐標(biāo)及半徑,再求得圓心到直線的距離,即可求得的長(zhǎng).【題目詳解】(1)由題意可得直線:,由,得,即,所以曲線C:.(2)由(1)知,圓,半徑.∴圓心到直線的距離為:.∴【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法,考查弦長(zhǎng)的求法、運(yùn)算求解能力,是中檔題.19、t=1【解題分析】
把變形為結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【題目詳解】因?yàn)榧?,?dāng)且僅當(dāng),,時(shí),上述等號(hào)成立,所以,即,又x,y,z>0,所以xyzt=1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式求解最值時(shí)要注意轉(zhuǎn)化為適用形式,同時(shí)要關(guān)注不等號(hào)是否成立,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20、(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解題分析】
(1)采用分析法論證,要證,分式化整式為,再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為,再作差提取公因式論證.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性質(zhì)論證.【題目詳解】(1)要證,即證,即證,即證,即證,即證,該式顯然成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故.(2)由基本不等式得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加,可得,即.【題目點(diǎn)撥】本題考查證明不等式的方法、基本不等式,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題..21、(1);(2).【解題分析】
(1)令可求得的值,令時(shí),由可得出,兩式相減可得的表達(dá)式,然后對(duì)是否滿足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn),由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,利用奇偶分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【題目詳解】(1),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由得,兩式相減得,.滿足.因此,數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2).①當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;②
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