2024屆山東省棗莊第八中學高三下學期期中質量抽測數(shù)學試題試卷

2024屆山東省棗莊第八中學高三下學期期中質量抽測數(shù)學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．2．如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將的圖象上的所有的點()A．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變B．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變C．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變D．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變3．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入，，則計算機輸出的數(shù)是（）A． B． C． D．4．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取5次，設摸得白球數(shù)為，已知，則A． B． C． D．5．已知雙曲線：（，）的右焦點與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．36．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．7．五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為（）A． B． C． D．8．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．9．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．10．設，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．根據(jù)最小二乘法由一組樣本點（其中），求得的回歸方程是，則下列說法正確的是()A．至少有一個樣本點落在回歸直線上B．若所有樣本點都在回歸直線上，則變量同的相關系數(shù)為1C．對所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關12．已知，，，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，若函數(shù)在處的切線與圓存在公共點，則實數(shù)的取值范圍為_____．14．已知向量，，則______.15．從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的概率為_______．16．已知的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與，則展開式所有項系數(shù)之和為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，求的極值；（2）證明：.（參考數(shù)據(jù)：）18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；（2）若射線與曲線C交于點A（不同于極點O），與直線l交于點B，求的最大值.19．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.20．（12分）已知函數(shù).若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對稱點；（2）若函數(shù)在定義域內有局部對稱點，求實數(shù)c的取值范圍；（3）若函數(shù)在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調性并指出相應單調區(qū)間；（2）若，設是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先根據(jù)平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【題目詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【題目點撥】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.2、A【解題分析】

由函數(shù)的最大值求出，根據(jù)周期求出，由五點畫法中的點坐標求出，進而求出的解析式，與對比結合坐標變換關系，即可求出結論.【題目詳解】由圖可知，，又，，又，，，為了得到這個函數(shù)的圖象，只需將的圖象上的所有向左平移個長度單位，得到的圖象，再將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）即可.故選:A【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象求解析式，考查函數(shù)圖象間的變換關系，屬于中檔題.3、B【解題分析】

先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉相除法計算即可.【題目詳解】本程序框圖的功能是計算，中的最大公約數(shù)，所以，，，故當輸入，，則計算機輸出的數(shù)是57.故選：B.【題目點撥】本題考查程序框圖的功能，做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎題.4、B【解題分析】

由題意知，，由，知，由此能求出．【題目詳解】由題意知，，，解得，，．故選：B．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的靈活運用．5、A【解題分析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【題目詳解】由已知，，漸近線方程為，因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【題目點撥】本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的運算能力，是一道容易題.6、B【解題分析】

先判斷命題的真假,進而根據(jù)復合命題真假的真值表,即可得答案.【題目詳解】，，因為，，所以，所以，即命題p為真命題；畫出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【題目點撥】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應用,解題的關鍵是判斷出命題的真假,難度較易.7、D【解題分析】

三個單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1，求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【題目詳解】由題意，三個單位的人數(shù)可能為2，2，1或3，1，1；基本事件總數(shù)有種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種情況；若為第二種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率為，故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選：D.【題目點撥】本題考查古典概型的概率公式的計算，涉及到排列與組合的應用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件，即甲、乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.8、A【解題分析】

設為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉化為圓上的點到定點距離，利用數(shù)形結合思想可得出結果.【題目詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標系，設，，，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉化為圓上的點與點的距離，，，，轉化為圓上的點與點的距離，，.故選：A.【題目點撥】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉化思想與數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.9、D【解題分析】

利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性,并采用整體法,可得結果.【題目詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【題目點撥】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調性，同時對于整體法的應用,使問題化繁為簡,難度較易.10、C【解題分析】

首先繪制出可行域，再繪制出目標函數(shù)，根據(jù)可行域范圍求出目標函數(shù)中的取值范圍.【題目詳解】由題知，滿足，可行域如下圖所示，可知目標函數(shù)在點處取得最小值，故目標函數(shù)的最小值為，故的取值范圍是.故選：D.【題目點撥】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標函數(shù)的取值范圍的問題，屬于基礎題.11、D【解題分析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.【題目詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點，但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤；所有樣本點都在回歸直線上，則變量間的相關系數(shù)為，故B錯誤；若所有的樣本點都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯誤；相關系數(shù)r與符號相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點分布應從左到右是上升的，則變量x與y正相關，故D正確．故選D．【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程的性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、B【解題分析】

由平行求出參數(shù)，再由數(shù)量積的坐標運算計算．【題目詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【題目點撥】本題考查向量平行的坐標表示，考查數(shù)量積的坐標運算，掌握向量數(shù)量積的坐標運算是解題關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用導數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在處的切線,再根據(jù)切線與圓存在公共點,利用圓心到直線的距離滿足的條件列式求解即可.【題目詳解】解：由條件得到又所以函數(shù)在處的切線為,即圓方程整理可得：即有圓心且所以圓心到直線的距離,即.解得或,故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題,同時也考查了根據(jù)直線與圓的位置關系求解參數(shù)范圍的問題,屬于基礎題.14、【解題分析】

求出，然后由模的平方轉化為向量的平方，利用數(shù)量積的運算計算．【題目詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【題目點撥】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎．本題關鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉化為數(shù)量積的運算．15、【解題分析】

先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù)，再求出滿足的事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求出結果.【題目詳解】解：從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的事件數(shù)為9個，即為，，，其中滿足的有，，，共有8個，故的概率為.【題目點撥】本題考查了古典概型的計算，解題的關鍵是準確列舉出所有事件數(shù).16、64【解題分析】

由題意先求得的值，再令求出展開式中所有項的系數(shù)和.【題目詳解】的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與，，，由兩式可組成方程組，解得或，令，求得展開式中所有的系數(shù)之和為.故答案為：64【題目點撥】本題考查了二項式定理，考查了賦值法求多項式展開式的系數(shù)和，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（1）見證明【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（1）問題轉化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根據(jù)xlnx≤x（x﹣1），問題轉化為只需證明當x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．【題目詳解】（1），，當，，當，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1＜ex﹣x1．即證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，先證明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，則h′（x）＝，易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，當且僅當x＝1時取“＝”，故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，故只需證明當x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），則k′（x）＝ex﹣4x+1，令F（x）＝k′（x），則F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝1ln1，∵F′（x）遞增，故x∈（0，1ln1]時，F(xiàn)′（x）≤0，F(xiàn)（x）遞減，即k′（x）遞減，x∈（1ln1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增，即k′（x）遞增，且k′（1ln1）＝5﹣8ln1＜0，k′（0）＝1＞0，k′（1）＝e1﹣8+1＞0，由零點存在定理，可知?x1∈（0，1ln1），?x1∈（1ln1，1），使得k′（x1）＝k′（x1）＝0，故0＜x＜x1或x＞x1時，k′（x）＞0，k（x）遞增，當x1＜x＜x1時，k′（x）＜0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x1），由k′（x1）＝0，得＝4x1﹣1，k（x1）＝﹣1+x1﹣1＝﹣（x1﹣1）（1x1﹣1），∵x1∈（1ln1，1），∴k（x1）＞0，故x＞0時，k（x）＞0，原不等式成立．【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調性，極值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，考查轉化思想，屬于中檔題．18、（1）：，直線：；（2）．【解題分析】

（1）由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式進行直角坐標方程與極坐標方程的互化；（2）由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標方程，求出極徑，把比值化為的三角函數(shù)，從而可得最大值、【題目詳解】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程是，即，代入得，即，∴曲線的極坐標方程是；由，化為直角坐標方程為．（2）設，則，，，當時，取得最大值為．【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，掌握公式可輕松自如進行極坐標方程與直角坐標方程的互化．19、（1）（2）2【解題分析】

（1）轉化條件得，進而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結合三角函數(shù)的性質即可得解.【題目詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【題目點撥】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應用，考查了三角函數(shù)的性質，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）（3）【解題分析】

（1）若函數(shù)有局部對稱點,則,即有解,即可求證；（2）由題可得在內有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設,利用導函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；（3）由題可得在上有解,即在上有解,設,則可變形為方程在區(qū)間內有解,進而求解即可.【題目詳解】（1）證明:由得,代入得,則得到關于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對稱點（2）解:由題,因為函數(shù)在定義域內有局部對稱點所以在內有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設,則,所以令,則,當時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,當時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,所以,因為,,所以,所以,所以（