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文檔簡介
陜西省商洛市第3中學(xué)2024屆高三下學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研(一模)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.2.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若、M是線段AB的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.二項(xiàng)式展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.4.為計(jì)算,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,則空白框中應(yīng)填入()A. B. C. D.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.846.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.7.若復(fù)數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.8.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.9.在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.10.已知函數(shù),則()A. B.1 C.-1 D.011.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.12.在中所對的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知平面向量,的夾角為,且,則=____14.展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32,則______.15.若函數(shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為______.16.若,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)解不等式;(2)若均為正數(shù),且,求的最小值.18.(12分)某早餐店對一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為時(shí)看作銷量為瓶).①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量,求和的分布列和數(shù)學(xué)期望;②以利潤作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價(jià);利潤=銷售額-批發(fā)成本.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線,交于點(diǎn),且的最大值為,求的值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo);(2)設(shè)與交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角,若,求的值;22.(10分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【題目詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?,所以不合題意;選項(xiàng),計(jì)算,不符合函數(shù)圖象;對于選項(xiàng),與函數(shù)圖象不一致;選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選:B【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見方法為排除法.2、D【解題分析】
根據(jù)題意,求得的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可求得結(jié)果.【題目詳解】由已知可知,點(diǎn)為中點(diǎn),為中點(diǎn),故可得,故可得;代入橢圓方程可得,解得,不妨取,故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,易知點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,所以離心率為,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓離心率的求解,難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo),屬中檔題.3、D【解題分析】
寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析的系數(shù)求解即可.【題目詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,得,故項(xiàng)的系數(shù)為.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】
根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容.【題目詳解】由程序框圖的運(yùn)行,可得:S=0,i=0滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=1,S=1,i=1滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…觀察規(guī)律可知:滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此時(shí),應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件,退出循環(huán),輸出S的值,所以判斷框中的條件應(yīng)是i<1.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行,滿足條件執(zhí)行循環(huán),不滿足條件時(shí)算法結(jié)束,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【題目詳解】,解得..故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.6、C【解題分析】
由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關(guān)系,再由三點(diǎn)共線,又得到一個(gè)關(guān)于的關(guān)系,從而可求得答案【題目詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【題目點(diǎn)撥】此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識,結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系,屬于中檔題.7、D【解題分析】
先化簡得再求得解.【題目詳解】所以.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8、B【解題分析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【題目詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】
分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號,結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱,,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,,則,排除B選項(xiàng).故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.10、A【解題分析】
由函數(shù),求得,進(jìn)而求得的值,得到答案.【題目詳解】由題意函數(shù),則,所以,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題,其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式,代入求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】
直接根據(jù)余弦定理求解即可.【題目詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解題分析】
根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得,再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得;將化簡并代入即可求得.【題目詳解】,則,平面向量,的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,根據(jù)平面向量模的求法可知,代入可得,解得,故答案為:1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、4【解題分析】
由題意可得項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的,利用題意,得出不等式組,求得結(jié)果.【題目詳解】觀察式子可知,,故答案為:4.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題,涉及到的知識點(diǎn)有展開式中項(xiàng)的系數(shù)和,屬于基礎(chǔ)題目.15、【解題分析】
函數(shù)的定義域?yàn)?,求出?dǎo)函數(shù),利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,解得,,聯(lián)立解得的值.【題目詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,,,設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為,由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,∴,解得,.由,可得.聯(lián)立,解得.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.16、【解題分析】
由已知利用兩角差的正弦函數(shù)公式可得,兩邊平方,由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解.【題目詳解】,得,在等式兩邊平方得,解得.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解題分析】
(1)利用零點(diǎn)分段討論法可求不等式的解.(2)利用柯西不等式可求的最小值.【題目詳解】(1),由得或或,解得.(2),所以,由柯西不等式得:所以,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”).所以的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對值不等式的基本方法有零點(diǎn)分段討論法、圖象法、平方法等,利用零點(diǎn)分段討論法時(shí)注意分類點(diǎn)的合理選擇,利用平方去掉絕對值符號時(shí)注意代數(shù)式的正負(fù),而利用圖象法求解時(shí)注意圖象的正確刻畫.利用柯西不等式求最值時(shí)注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式,本題屬于中檔題.18、;①詳見解析;②應(yīng)該批發(fā)一大箱.【解題分析】
酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應(yīng)概率,列出分布列,求出的數(shù)學(xué)期望,若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況,分別求出相應(yīng)概率,由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,從而早餐應(yīng)該批發(fā)一大箱.【題目詳解】解:根據(jù)圖中數(shù)據(jù),酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為.設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元)若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元).②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,所以早餐店應(yīng)該批發(fā)一大箱.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率,離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、對立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識,屬于中檔題.19、(1),;(2)或【解題分析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)由直線的普通方程為,故上任意一點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求得答案.【題目詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時(shí),直線的普通方程為由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數(shù)方程為(為參數(shù))故上任意一點(diǎn)到的距離為則.當(dāng)時(shí),的最大值為所以;當(dāng)時(shí),的最大值為,所以.綜上所述,或【題目點(diǎn)撥】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1),(2)【解題分析】
(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程,把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo);(2)把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.【題目詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=1,設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)镻的極坐標(biāo)為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因?yàn)椤鳎?102﹣4×41×25=8000>0,故可設(shè)方程的兩根為t1,t2,則t1,t2為A,B對應(yīng)的參數(shù),且t1+t2,依題意,點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為,所以|PM|=||.【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程,屬中檔題.21、(1)(2)【解題分析】
(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)根據(jù),得,又為的內(nèi)角,得到,再根據(jù)
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