2024屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟普高招生全國統(tǒng)考（一）數(shù)學試題模擬試卷

2024屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟普高招生全國統(tǒng)考（一）數(shù)學試題模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．若，則的解集是（）A． B．C． D．2．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．3．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元4．已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．5．復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為則（）A． B． C． D．6．運行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．8．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）A．48 B．63 C．99 D．1209．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．10．幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1，2，3，……，這個數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫階幻方．定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．505011．若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．12．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)函數(shù)，則不等式的解集為____．14．若，則_________.15．在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中的常數(shù)項等于_____.16．在面積為的中，，若點是的中點，點滿足，則的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為______.18．（12分）已知橢圓的短軸長為，離心率，其右焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.19．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結(jié)束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用元，設(shè)表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（Ⅰ）求的極坐標方程和的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)分別交于兩點（與原點不重合），求的最小值.21．（12分）已知函數(shù)（）的圖象在處的切線為（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求的值；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個零點，且；（2）若當時，不等式恒成立，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用函數(shù)奇偶性可求得在時的解析式和，進而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【題目詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當時，，，為奇函數(shù)，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式；易錯點是忽略奇函數(shù)在處有意義時，的情況.2、A【解題分析】

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【題目詳解】因為,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【題目點撥】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.3、D【解題分析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【題目詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【題目點撥】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

利用先求出，然后計算出結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意，當時，,,故當時，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列前項和的表達形式，只要求出數(shù)列中的項即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).5、B【解題分析】

求得復數(shù)，結(jié)合復數(shù)除法運算，求得的值.【題目詳解】易知，則.故選：B【題目點撥】本小題主要考查復數(shù)及其坐標的對應(yīng)，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

由，則輸出為300，即可得出判斷框的答案【題目詳解】由，則輸出的值為300，，故判斷框中應(yīng)填？故選：．【題目點撥】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【題目詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．8、C【解題分析】

觀察規(guī)律得根號內(nèi)分母為分子的平方減1，從而求出n.【題目詳解】解：觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根號內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選：C.【題目點撥】本題考查了歸納推理，發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【題目詳解】由，∴.故選：A【題目點撥】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得，即得解.【題目詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C【題目點撥】本題考查了數(shù)陣問題，考查了學生邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.11、C【解題分析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值．【題目詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上，，，則當最大時，，求得，故選：C．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【題目詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】，，所以，所以的解集為。點睛：本題考查絕對值不等式。本題先對絕對值函數(shù)進行分段處理，再得到的解析式，求得的分段函數(shù)解析式，再解不等式即可。絕對值函數(shù)一般都去絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。14、【解題分析】

因為，所以.因為，所以，又，所以，所以..15、1【解題分析】

由題意可得，再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數(shù)項的值．【題目詳解】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，，通項公式為，令，求得，可得二項展開式常數(shù)項等于，故答案為1．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|，再由已知與平面向量的線性運算、平面向量數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化，最后由重要不等式求得最值.【題目詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=，所以|AB||AC|sin∠BAC=，①又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②由①與②的平方和得:|AB||AC|=，又點M是AB的中點，點N滿足，所以，當且僅當時，取等號，即的最大值是為.故答案為：【題目點撥】本題考查平面向量中由線性運算表示未知向量，進而由重要不等式求最值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、1【解題分析】

整理已知利用復數(shù)的除法運算方式計算，再由求模公式得答案.【題目詳解】因為，即所以的模為1故答案為：1【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法運算與求模，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由已知短軸長求出，離心率求出關(guān)系，結(jié)合，即可求解；（2）當直線的斜率都存在時，不妨設(shè)直線的方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用相交弦長公式求出，斜率為，求出，得到關(guān)于的表達式，根據(jù)表達式的特點用“”判別式法求出范圍，當有一斜率不存在時，另一條斜率為，根據(jù)弦長公式，求出，即可求出結(jié)論.【題目詳解】（1）由得，又由得，則，故橢圓的方程為.（2）由（1）知，①當直線的斜率都存在時，由對稱性不妨設(shè)直線的方程為，由，，設(shè)，則，則，由橢圓對稱性可設(shè)直線的斜率為，則，.令，則，當時，，當時，由得，所以，即，且.②當直線的斜率其中一條不存在時，根據(jù)對稱性不妨設(shè)設(shè)直線的方程為，斜率不存在，則，，此時.若設(shè)的方程為，斜率不存在，則，綜上可知的取值范圍是.【題目點撥】本題考查橢圓標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，注意根與系數(shù)關(guān)系、弦長公式、函數(shù)最值、橢圓性質(zhì)的合理應(yīng)用，意在考查邏輯推理、計算求解能力，屬于難題.19、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，由此可得出隨機變量的分布列.【題目詳解】（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為、、．則，，．故的分布列為【題目點撥】本題考查概率的計算，同時也考查了隨機變量分布列，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）直線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，的直角坐標方程為；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）由定義可直接寫出直線的極坐標方程，對曲線同乘可得：，轉(zhuǎn)化成直角坐標為；（Ⅱ）分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程，由得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)即可求解；【題目詳解】（Ⅰ）直線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為由曲線的極坐標方程得，所以的直角坐標方程為.（Ⅱ）與的極坐標方程聯(lián)立得所以.與的極坐標方程聯(lián)立得所以.所以.所以當時，取最小值2.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與極坐標方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，極坐標中的幾何意義，屬于中檔題21、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解題分析】（1）對求導得，根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線為，列出方程組，即可求出的值；（2）由（1）可得，根據(jù)對任意恒成立，等價于對任意恒成立，構(gòu)造，求出的單調(diào)性，由，，，，可得存在唯一的零點，使得，利用單調(diào)性可求出，即可求出的最大值.（1），.由題意知.（2）由（1）知：，∴對任意恒成立對任意恒成立對任意恒成立.令，則.由于，所以在上單調(diào)遞增.又，，，，所以存在唯一的，使得，且當時，，時，.即在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.又，即，∴.∴.∵，∴.又因為對任意恒成立，又，∴.點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.22、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）利用求導數(shù)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，然后再證異號，即可證明結(jié)論；（2）當時，不等式恒成立，分離參數(shù)只需時，恒成立，設(shè)（），需，根據(jù)（1