新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇專題6概率與統(tǒng)計(jì)第3講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的分析核心考點(diǎn)1抽樣方法教師用書

第3講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的分析高頻考點(diǎn)高考預(yù)測(cè)隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體以社會(huì)熱點(diǎn)話題為背景，結(jié)合“五育并舉”，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體，線性回歸方程的求解與運(yùn)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)問題．常與概率綜合考查，中等難度.頻率分布直方圖回歸分析及其應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)1.(2021·全國(guó)甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(C)A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【解析】該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為(0.02＋0.04)×1＝0.06＝6%，故選項(xiàng)A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%，故選項(xiàng)B正確；估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68>6.5萬元，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為(0.1＋0.14＋0.2＋0.2)×1＝0.64>0.5，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項(xiàng)D正確．故選C.2.(2022·全國(guó)甲卷)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則(B)A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【解析】講座前中位數(shù)為eq\f(70%＋75%,2)>70%，所以A錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是80%，4個(gè)85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%，所以B對(duì)；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯(cuò)；講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%>20%，所以D錯(cuò)．故選B.3.(2021·全國(guó)乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．【解析】(1)由題中的數(shù)據(jù)可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5)＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.8－10)2＋(10.3－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(9.7－10)2]＝0.036；seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04.(2)eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))＝10.3－10＝0.3，2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))＝2eq\r(\f(0.036＋0.04,10))＝2eq\r(0.0076)≈0.174，所以eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))>2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．4.(2022·全國(guó)乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝0.038，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝1.6158，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝0.2474.(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，eq\r(1.896)≈1.377.【解析】(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0.6,10)＝0.06，樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(3.9,10)＝0.39，據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2，平均一棵的材積量為0.39m3.(2)r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,10,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,10,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(0.2474－10×0.06×0.39,\r(0.038－10×0.0621.6158－10×0.392))＝eq\f(0.0134,\r(0.0001896))≈eq\f(0.0134,0.01377)≈0.97，則r≈0.97.(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為Ym3，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得eq\f(0.06,0.39)＝eq\f(186,Y)，解之得Y＝1209m3.則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3.5.(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩城之間長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A家公司共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則P(M)＝eq\f(240,260)＝eq\f(12,13)；B家公司共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則P(N)＝eq\f(210,240)＝eq\f(7,8)，A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為eq\f(12,13)；B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為eq\f(7,8).(2)列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(500×240×30－210×202,260×240×450×50)≈3.205>2.706，根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)．6.(2023·全國(guó)乙卷理科)某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10)．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，記z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))，樣本方差為s2.(1)求eq\o(z,\s\up6(－))，s2；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高．(如果eq\o(z,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s2,10))，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，填表如下：試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536zi＝xi－yi968－8151119182012計(jì)算平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,z)i＝eq\f(1,10)×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，方差為s2＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,)(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,10)×[(－2)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－19)2＋42＋02＋82＋72＋92＋12]＝61.(2)由(1)知，eq\o(z,\s\up6(－))＝11,2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)<2eq\r(6.25)＝5，所以eq\o(z,\s\up6(－))>2eq\r(\f(s2,10))，認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．7.(2023·全國(guó)甲卷理科)為探究其藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組(不加藥物)和實(shí)驗(yàn)組(加藥物)．(1)設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)測(cè)得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224．624.825.025.426.126.326.426．526.827.027.427.527.628.3實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410．010.411.214.417.319.220.223．623.824.525.125.226.0①求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：＜m≥m對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組②根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：k00.100.050.010P(k2≥k0)2.7063.8416.635【解析】(1)根據(jù)題意可得X＝0,1,2，又P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,20)C\o\al(2,20),C\o\al(2,40))＝eq\f(19,78)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,20),C\o\al(2,40))＝eq\f(20,39)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(0,20),C\o\al(2,40))＝eq\f(19,78)，∴X的分布列為：X012Peq\f(19,78)eq\f(20,39)eq\f(19,78)∴E(X)＝0×eq\f(19,78)＋1×eq\f(20,39)＋2×eq\f(19,78)＝1.(2)①由于源數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，我們只需觀察對(duì)照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為14.4，后續(xù)依次為17.3，17.3，18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2，23.6，…，故第20位數(shù)為23.2，第21位數(shù)為23.6，∴m＝eq\f(23.2＋23.6,2)＝23.4，∴補(bǔ)全列聯(lián)表為：＜m≥m合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040②由①可知K2＝eq\f(40×6×6－14×142,20×20×20×20)＝6.400＞3.841，∴能有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用．核心考點(diǎn)1抽樣方法核心知識(shí)·精歸納1.兩種抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣2.分層隨機(jī)抽樣的樣本均值在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層樣本的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，則樣本的平均數(shù)eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(M,M＋N)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(N,M＋N)eq\o(y,\s\up6(－)).多維題組·明技法角度1：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是(A)A.eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D．eq\f(3,10)，eq\f(3,10)【解析】在抽樣過程中，個(gè)體a每一次被抽中的概率是相等的，因?yàn)榭傮w容量為10，故個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為eq\f(1,10).2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題：“開倉(cāng)受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，乃于樣內(nèi)取米一捻，數(shù)計(jì)二百五十四粒，內(nèi)有谷二十八顆．今欲知米內(nèi)雜谷多少．”意思是：官府開倉(cāng)接受百姓納糧，甲戶交米1534石到廊前，檢驗(yàn)出米里夾雜著谷子，于是從米樣粒取出一捻，數(shù)出共254粒，其中有谷子28顆，則這批米內(nèi)有谷子約_169__石(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))．【解析】依題意可得米內(nèi)夾谷的比例為eq\f(28,254)＝eq\f(14,127)，所以這批米內(nèi)有谷子1534×eq\f(14,127)≈169石．角度2：分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用3.(2023·上饒二模)為了支持民營(yíng)企業(yè)發(fā)展壯大，幫助民營(yíng)企業(yè)解決發(fā)展中的困難，某市政府采用分層抽樣調(diào)研走訪各層次的民營(yíng)企業(yè)．該市的小型企業(yè)、中型企業(yè)、大型企業(yè)分別有900家、90家、10家．若大型企業(yè)的抽樣家數(shù)是2，則中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應(yīng)該是(C)A．180 B．90C．18 D．9【解析】該市中型企業(yè)和大型企業(yè)的家數(shù)比為9∶1，由分層抽樣的意義可得中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應(yīng)該是9×2＝18.故選C.4