河南省洛陽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題含答案

洛陽市2022+2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷（理）本試卷共4頁，共150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若直線經(jīng)過點和，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由斜率公式求出直線的斜率，利用傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)直線的斜率為，且傾斜角為，則，則，而，故，故選：D.2.已知數(shù)列，則6是這個數(shù)列的（）A.第6項 B.第12項 C.第18項 D.第36項【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)列的通項公式求解.【詳解】數(shù)列的通項公式為，令解得，故選:C.3.若雙曲線的漸近線方程是，虛軸長為4，且焦點在x軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.【詳解】由題可得解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.4.如圖，線段AB，BD在平面內(nèi)，，，且，則C，D兩點間的距離為（）A.19 B.17 C.15 D.13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理求解.【詳解】連接，因為，所以,又因為，,所以，所以,故選:D.5.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，可求得t范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為曲線為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B6.設(shè)，向量，且，則（）A. B. C.3 D.9【答案】A【解析】【分析】由向量的關(guān)系列方程求解的值，結(jié)合向量的模的公式計算得出結(jié)果.【詳解】向量，且，∴，解得，∴∴，∴.故選：A．7.如果實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】表示上的點與點連線的斜率,畫出圖形即可求解.【詳解】表示圓心為，半徑為的圓，表示上的點與點連線的斜率.易知直線平行軸，且當(dāng)直線為圓的切線時，，,故，此時直線的斜率為1，由對稱性及圖形可得.故選:A.8.設(shè)拋物線，點為上一點，過點作軸于點，若點，則的最小值為（）A. B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】首先得到拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義可知，則，即可得解.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線（之間）時取等號.故選：B9.某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛，牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，即，則大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1429 B.1472 C.1519 D.1571【答案】B【解析】【分析】由題意得數(shù)列遞推公式，再用構(gòu)造法求出通項，代入計算即可.【詳解】由題可知，設(shè)，解得.即，故數(shù)列是首項為，公比為1.1的等比數(shù)列.所以，則，所以.故選：B.10.過定點M的直線與過定點N的直線交于點A（A與M，N不重合），則面積的最大值為（）A. B. C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得點A在以為直徑的圓上，結(jié)合圓的性質(zhì)求面積的最大值.【詳解】對于直線，即，可得直線過定點，對于直線，即，可得直線過定點，∵，則直線與直線垂直，即，∴點A在以為直徑的圓上，且，由圓的性質(zhì)可知：面積的最大值為.故選：C.11.已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前18項和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累乘法，求得其通項公式，根據(jù)三角函數(shù)的計算，求得數(shù)列的周期，整理數(shù)列的通項公式，利用分組求和，可得答案.【詳解】由，則，即，顯然，滿足公式，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；則數(shù)列是以為周期的數(shù)列，由，則，設(shè)數(shù)列的前項和為，.故選：D.12.已知是雙曲線的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與雙曲線C的一個交點為A，以為直徑的圓與雙曲線C的一個交點為B，若，A，B恰好共線，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式可得，設(shè),,則，從而可得，，代入，結(jié)合及離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，因為在雙曲線上，故.由余弦定理可得，所以.所以.由題意可得與為直角三角形，所以.因為是的中點，所以是的中點.設(shè),,則.所以.故.所以,解得，.所以,可得，故.故選：B.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線與直線之間的距離為_____________．【答案】【解析】【分析】確定兩直線是平行直線，故可根據(jù)平行線間的距離公式求得答案.【詳解】直線可化為，則直線與直線平行,故直線與直線之間的距離為，故答案為：.14.設(shè)、分別在正方體的棱、上，且，，則直線與所成角的余弦值為_____________．【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與所成角的余弦值．【詳解】、分別在正方體的棱、上，且，，如圖以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，設(shè)直線與所成角為，則直線與所成角的余弦值．故答案為：．15.已知，是橢圓：（）的左，右焦點，A是橢圓的左頂點，點在過A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓的離心率為______.【答案】##0.5【解析】【分析】結(jié)合圖像，得到，再在中，求得，，從而得到，代入直線可得到，由此可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意知，直線的方程為：，由為等腰三角形，，得，過作垂直于軸，如圖，則在中，，故，，所以，即，代入直線，得，即，所以所求的橢圓離心率為.故答案為：..16.首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為，現(xiàn)有下列4個命題：①也是等差數(shù)列；②數(shù)列也是等差數(shù)列；③若，則時，最大；④若的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項的和為290，所有偶數(shù)項的和為261，則此數(shù)列的項數(shù)是19．其中所有真命題的序號是_____________．【答案】②③④【解析】【分析】對①，由等差中項性質(zhì)判斷；對②，求出數(shù)列的通項公式即可判斷；對③，由結(jié)合解析式化簡得，由定義即可判斷；對④，設(shè)項數(shù)為，根據(jù)求和公式列方程組解得參數(shù)，即可判斷.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，，首項為，則，，對①，，∴不是等差數(shù)列，①錯；對②，，則數(shù)列為首項，公差為的等差數(shù)列，②對；對③，∵，，∴，，，∴由定義可知，時，最大，③對；對④，由題意可設(shè)的項數(shù)為，則所有奇數(shù)項組成的數(shù)列為首項，公差，項數(shù)為的等差數(shù)列，故所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項組成的數(shù)列為首項，公差，項數(shù)為的等差數(shù)列，故所有偶數(shù)項的和為.兩式相除得，∴數(shù)列的項數(shù)是19，④對.故答案為：②③④.三、解答題：本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知是數(shù)列的前項和，且，，設(shè)．（1）若是等比數(shù)列，求；（2）若是等差數(shù)列，求的前項和，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的通項公式的求法求解即可；（2）由等差數(shù)列的通項公式的求法，結(jié)合公式法求數(shù)列的前項和即可．【小問1詳解】解：已知是數(shù)列的前項和，且，，，則，又是等比數(shù)列，設(shè)公比為,則，即；【小問2詳解】解：已知是等差數(shù)列，設(shè)公差為,又，，則，則，即，則，則，則，即的前項和．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點．（1）求圓M的方程；（2）過直線l被圓M截得的弦長為，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得出點與直線垂直的直線方程，根據(jù)圓切線的性質(zhì)得出該直線過圓心，與已知過圓心方程聯(lián)立即可得出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心到切線的距離得出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）根據(jù)弦長得出點到直線l的距離，分類討論直線l的斜率，設(shè)出方程，利用點到直線的距離列式，即可得出答案.【小問1詳解】過點與直線垂直的直線方程為：，即則直線過圓心，解得，即圓心為，則半徑為，則圓M的方程為：；【小問2詳解】過直線l被圓M截得的弦長為，則點到直線l的距離，若直線l的斜率不存在，則方程為，此時圓心到直線l的距離為1，不符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，則，解得，則直線l的方程為：或.19.如圖，和所在平面垂直，且．（1）求證：；（2）若，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，可得，根據(jù)可得，由線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可證明；（2）作于點,以點為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量即可求解.【小問1詳解】取的中點，連接，因為，所以.因為公共邊，所以，所以,所以.因為平面，所以平面，因為平面,所以.【小問2詳解】當(dāng),可設(shè),作于點,連接，易證兩兩垂直，以點為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，,所以，令,可得，則.易知平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則,故平面和平面的夾角的余弦值為.20.已知直線與拋物線交于A，B兩點．（1）若，直線的斜率為1，且過拋物線C的焦點，求線段AB的長；（2）若交AB于，求p的值．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）焦點為，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)弦長公式即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意可得，且在直線上，從而可得直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達定理可得，代入即可求解.【小問1詳解】若，則拋物線，焦點為，故直線的方程為.設(shè)，聯(lián)立，消去，可得，，故.故.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，因為交AB于，所以，且，所以，直線的方程為.又在直線上，所以,解得.所以直線的方程為.由，消去，可得，則.因為，所以，即，解得.21.已知等比數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得公比，由可求，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可求解；（2），由錯位相減法即可求解.【小問1詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得，即.故等比數(shù)列的公比為3.故，解得.所以.【小問2詳解】，故①，②，①-②，得，所以.22.已知橢圓，離心率為，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記A