n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪導(dǎo)學(xué)案

4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質(zhì)．(重點(diǎn))2.能利用根式的性質(zhì)對(duì)根式進(jìn)行運(yùn)算．(重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(重點(diǎn)、難點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】一n次方根1.a的n次方根的定義一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.【答案】xn＝a2.a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號(hào)a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)a∈Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)注意：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．二n次根式1.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做，a叫做被開(kāi)方數(shù)．【答案】根指數(shù)2.根式的性質(zhì)(1)eq\r(n,0)＝(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,a))n＝(n∈N*，且n>1)；(3)eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))；(4)eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))(n為大于1的偶數(shù))．【答案】0a三．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；2.規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；3.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．【答案】0沒(méi)有意義四．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：1.aras＝(a>0，r，s∈Q)；2.(ar)s＝(a>0，r，s∈Q)；3.(ab)r＝(a>0，b>0，r∈Q)．【答案】ar＋sarsarbr【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】1求下列各式的值：(1)3-83；(2)-10(3)43-π4；(4)【答案】(1)3-8(2)-102(3)4(4)a-b2求值：（1）823；（2）【答案】（1）法一:8法二:（2）法一:16法二:16法三:163用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示并計(jì)算下列各式(其中a>0).（1）a【答案】（1）a（2）a?4計(jì)算下式各式(式中字母均是正數(shù)).【答案】5.用根式的形式表示下列各式（a>0）.1a【答案】1a126.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示并計(jì)算下列各式.13x23p6p5【答案】1(7.計(jì)算下列各式.13649323a1【答案】（（3(【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】1．已知，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】，則.故選D.2．下列各式正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，a，當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)等式不成立，故A不正確；對(duì)于B，a0＝1，當(dāng)a＝0時(shí)無(wú)意義，故B不正確；對(duì)于C，，左邊為正，右邊為負(fù)，故C不正確；對(duì)于D，，故D正確．故選：D．3．已知，則化為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選B.4．（多選）若，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的次方根為B．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的次方根為C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的次方根為D．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的次方根為【答案】BD【分析】根據(jù)，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，求出的次方根，即可判斷得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的次方根只有1個(gè)，為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由于，所以的次方根有2個(gè)，為.所以B，D說(shuō)法是正確的.故選：BD.5．（多選）下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B．y=t+1 C． D．【答案】BD【分析】函數(shù)的定義域是.選項(xiàng)AC函數(shù)與已知函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，選項(xiàng)BD滿足同一函數(shù)的定義，所以是同一函數(shù).【詳解】解：兩個(gè)函數(shù)只有定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同，兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).函數(shù)的定義域是.的定義域?yàn)榕c的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；與的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域都相同，所以兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)；與的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；與的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域都相同，所以函數(shù)為同一函數(shù).故選：BD．6．若2x＝16，則x＝________.【答案】【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所?7．根式__________．【答案】【解析】.8．計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】本題應(yīng)用，為奇數(shù)，進(jìn)行整理計(jì)算．（1）（2）9.計(jì)算：．【答案】.【分析】根據(jù)給定條件利用根式及指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算作答.【詳解】原式=.10.（1）若求的值；（2）計(jì)算：．【答案】（1）23；（2）.【分析】（1）由兩邊同時(shí)平方可得答案.（2）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合根式的運(yùn)算性質(zhì)可得答案.【詳解】（1）（2）原式11.化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化和冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化及冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.(1)(2)【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】12．下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A．（x≥0），因此不正確；B．（x≠0），因此不正確；C．（xy＞0），因此正確；D．，因此不正確．故選：C．13．已知10m＝2，10n＝4，則的值為()A．2 B． C． D．2【答案】B【解析】＝＝＝＝.答案：B14．已知，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】，則.故選D.15．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A錯(cuò),，故B錯(cuò),，故D錯(cuò),選C16.計(jì)算______．【答案】8【解析】．17．=______．【答案】【解析】．18．已知m=2，n=3，則[÷]3的值是______．【答案】【解析】m=n=3，則原式==m?n3=2×33=;19．=______．【答案】【解析】，．故答案為：．20．計(jì)算題【答案】2【解析】化簡(jiǎn).21．；設(shè)，化簡(jiǎn)：；若，求的值．【答案】(1);(2);(3).【解析】原式；原式；若，則，，故22.設(shè)．（1）化簡(jiǎn)上式，求的值；（2）設(shè)集合，全集為，，求集合中的元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)218(2)個(gè)【解析】（1）原式（2），，，所以中元素個(gè)數(shù)為．23．（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值?！敬鸢浮浚?）41；（2）【解析】（1）=36+95+1=41；（2），將代入得.24.（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用立方差公式將分解為，結(jié)合已知即可求得答案;（2）將化為，化簡(jiǎn)并結(jié)合，可求得答案.【詳解】（1），則．（2），且,．25.計(jì)算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則直接計(jì)算作答.(2)利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則結(jié)合單項(xiàng)式的除法法則直接計(jì)算作答.(3)將給定等式兩邊平方直接計(jì)算即可作答.(1)原式.(2)原式.(3)因，兩邊平方得，所以.26．（1）已知，，且，用，表示；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先分母有理化，再利用完全平方公式得到的值，進(jìn)而求解出結(jié)果.（2）通過(guò)除以法則，變?yōu)槌朔?，看出分子是立方差公式的逆用，進(jìn)而約分，化為最簡(jiǎn)，再代入求值【詳解】（1），因?yàn)?，所以，所以．原式．?）原式=．27．（1）化簡(jiǎn)：；（2）計(jì)算：.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分和，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可；（2）直接利用指數(shù)的冪運(yùn)算及分母有理化求解即可.【詳解】（1）由題中式子可知，當(dāng)時(shí)，原式＝；當(dāng)時(shí)，原式＝.綜上.（2）原式＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)的冪運(yùn)算，第一問(wèn)的解題忽視的情況是易錯(cuò)