八年級初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元強(qiáng)化試卷學(xué)能測試試題

八年級初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元專題強(qiáng)化試卷學(xué)能測試試題

一、選擇題

1.如圖，正方形ABCD中，AB=12,點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE,將4ADE沿AE對折至

△AFE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF,下列結(jié)論：①aABG絲4AFG；

②BG=GC；③AG〃CF；@SAFGC=28.8.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

2.如圖，在加BCD中，AB=4,BC=6,ZABC=60°,點(diǎn)P為中BCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC邊

上，貝IJ%+PD+PQ的最小值為（）

B0。

A.V3+V7+V19B.6+273C.573D.10

3.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，PEJ_BC于點(diǎn)E,PF_LCD于點(diǎn)F,連接

EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②APLEF；③4APD一定是等腰三角形；

④/PFE=NBAP；⑤PD=&EC.其中正確結(jié)論的番號是（）

A.①②④⑤B.①②③④@C.①②④D.①④

4.平行四邊形的一邊長是12,那么這個(gè)平行四邊形的兩條對角線的長可以是（）

A.10和34B.18和20C.14和10D.10和12

5.如圖，在ABC0中，3AB=2AD,Et,E2,E3,E4,E5,依次是上的五個(gè)點(diǎn)，并且

CE]=E}E2=E2E,=E3E4=E4E5=E5B,在三個(gè)結(jié)論：（1）DE3±AE3；（2）

AE21DE,.（3）但J_D￡2之中，正確的個(gè)數(shù)是（）

6.如圖，在&ABC中，NACB=90。，分別以AB,AC,BC為邊,在A8的同側(cè)

作正方形AB”/,ACFG,BCED.若圖中兩塊陰影部分的面積分別記為，，S2,則對

5,星的大小判斷正確的是（）

A.S,>S2B.5,=52C.<S2D.無法確定

7.己知，如圖，在菱形A8CD中.（1）分別以C,。為圓心，大于長為半徑作弧,

2

兩弧分別交于點(diǎn)E,F；（2）作直線EF,且直線EF恰好經(jīng)過點(diǎn)4,且與邊8交于點(diǎn)M；

（3）連接B/M.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，判斷下列結(jié)論中箱送的是（）

c*

A.ZABC=60°B.如果A8=2,那么BM=4

C.BC=2CMD.S^BM=2sgDM

8.如圖，矩形ABCD中，。為AC中點(diǎn),過點(diǎn)0的直線分別與AB,CD交于點(diǎn)E,

F,連接B尸交AC于點(diǎn)M,連接OE,BO.若ZCOB=60，F(xiàn)O=FC,則下列結(jié)

論：

①FB上OC,OM=CM

②EOB=CMB；

③四邊形EBFD是菱形；

@MB:OE^3:2.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

9.如圖，已知AABC的面積為12,點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且

BF=4CF,四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

10.如圖，30為平行四邊形A8CO的對角線，ZDBC=45°,DE工BC于E,

BF工CD于F,DE、相交于〃，直線8尸交線段AD的延長線于G,下面結(jié)論：

@BD=2BE；②NA=NBHE；③AB=BH；④=N3OG其中正確的個(gè)數(shù)是

（）

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,46=5,AC=2石，則平行四邊形ABCD

的周長等于.

12.如圖，在矩形ABCD中，NBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長線于點(diǎn)F,點(diǎn)G

是EF的中點(diǎn)，連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論：①BC=DF；②N￡>GP=135°;

FDG，正確的有__________________

13.如圖，正方形ABCD中，ND4C的平分線交DC于點(diǎn)E,若P,Q分別是AD和AE上

的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ能取得最小值4時(shí)，此正方形的邊長為.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6,BC=4,ZZl=120°,E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在

平行四邊形ABCD的邊上，若aAEF為等腰三角形，則EF的長為.

15.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中線；④NEAM=NABC.其中正確的是.

16.如圖，在矩形ABCD中，NACB=30。，BC=2萬，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B,

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G,連接DG,GE.設(shè)

AG=a,則點(diǎn)G到BC邊的距離為（用含a的代數(shù)式表示），ADG的面積的最小值為

17.如圖，在矩形ABCO中，A8=16,BC=18,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F是邊BC上不

與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AEB/沿EF折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)5'處.若AE=3,當(dāng)

COB'是以。笈為腰的等腰三角形時(shí)，線段■'的長為

18.如圖，在矩形紙片ABC。中，-48=6,BC=10,點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿8E折疊，點(diǎn)

C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段8F上的

3

點(diǎn)H處,有下列結(jié)論：①NEBG=45°；②SAABG=,SMGH;?ADEF^AABG；

④AG+DF=FG.其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號都選上）

19.在菱形A8CD中，M是AD的中點(diǎn)，AB=4,N是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN的周長

最小是2+2^3，則BD的長為.

20.如圖，在平行四邊形A8CO中，AB=5,AD=3,NfiW的平分線AE交C。于點(diǎn)

E,連接8E,若NBAD=NBEC,則平行四邊形ABC。的面積為.

三、解答題

21.如圖1,A4BC是以NAC8為直角的直角三角形，分別以AB,BC為邊向外作正方

形ABFG,BCED,連結(jié)AD,CF,AO與CF交于點(diǎn)M,AB與CF交于點(diǎn)N.

EE

圖1圖2

(1)求證：M.BDs\FBC；

(2)如圖2,在圖1基礎(chǔ)上連接AF和尸O,若AZ)=6,求四邊形AC。尸的面積.

22.綜合與探究

如圖1,在\ABC中,4CB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AO似AO為一邊且在AD

的右側(cè)作正方形ADEF，解答下列問題：

(1)研究發(fā)現(xiàn):如果A8=AC,N84c=90。

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)3不重合)，線段CF、8。之間的數(shù)量關(guān)系為

，位置關(guān)系為.

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍成立并說明理由.

(2)拓展發(fā)現(xiàn):如果ABwAC,點(diǎn)。在線段BC上，點(diǎn)F在AABC的外部，則當(dāng)

ZACB=時(shí),CF上BD.

圖2圖3

23.如圖正方形A8C。,DE與"G相交于點(diǎn)。(。不與￡＞、E重合).

圖⑵

(1)如圖(1),當(dāng)NGOD=90。,

①求證：DE=GH；

②求證：GD+EH>EDE；

(2)如圖(2),當(dāng)NGOO=45°,邊長AB=4,HG=2逐,求DE的長.

24.已知，在△ABC中，ZB4C=90°,NABC=45°,。為直線8c上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C

重合)，以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.

段之間的數(shù)量關(guān)系為:

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長線上時(shí)，其他條件不變，請猜想8c與CF的位置關(guān)

系8C,CD,CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的反向延長線上時(shí)，點(diǎn)A,F分別在直線8c的兩側(cè)，其他

13

條件不變.若正方形ADEF的對角線DF相交于點(diǎn)。，0C=—,Dfi=5,則△ABC的面積

2

為.(直接寫出答案)

25.如圖，在平行四邊形ABC。中，的平分線交8c于點(diǎn)E,交。C的延長線于

F,以EC、CF1為鄰邊作平行四邊形ECFG.

(1)求證：四邊形ECFG是菱形；

(2)連結(jié)3。、CG,若NABC=120。，則ABOG是等邊三角形嗎？為什么？

(3)若NABC=90°,/IB=10,AD=24,M是EF的中點(diǎn)，求。M的長.

26.如圖，M為正方形A8CD的對角線8。上一點(diǎn).過M作8。的垂線交AD于E,連

BE,取5E中點(diǎn)。.

(1)如圖1,連AO、MO,試證明NA0W=9O°；

（2）如圖2,連接AM、AO,并延長AO交對角線8。于點(diǎn)N,試探究線段

DM、MN、NB之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）如圖3,延長對角線8。至。延長QB至尸，連CRCQ若BB=2,PQ=9,且

NPCQ=135°,則PC=（直接寫出結(jié)果）

27.如圖①，已知正方形A8CD的邊長為3,點(diǎn)Q是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線

BQ的對稱點(diǎn)是點(diǎn)P,連接QP、DP、CP、BP,設(shè)AQ=x.

（1）BP+DP的最小值是,此時(shí)X的值是；

（2）如圖②，若QP的延長線交C。邊于點(diǎn)M,并且NCPD=90。.

①求證：點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)；②求x的值.

（3）若點(diǎn)Q是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出當(dāng)△CDP為等腰三角形時(shí)x的值.

28.探究：如圖①，aABC是等邊三角形，在邊AB、8c的延長線上截取8M=CN,連結(jié)

MC.AN,延長MC交AN于點(diǎn)P.

（1）求證：△ACN絲△CBM；

（2）ZCPN=°；（給出求解過程）

（3）應(yīng)用：將圖①的8c分別改為正方形ABCD和正五邊形ABCDE,如圖②、③，在邊

48、BC的延長線上截取8M=CM連結(jié)MC、DN,延長MC交。N于點(diǎn)P,則圖②中

NCPN=。；（直接寫出答案）

（4）圖③中NCP心。；（直接寫出答案）

（5）拓展：若將圖①的△A8C改為正“邊形，其它條件不變，則NCPN=。（用含"

的代數(shù)式表示，直接寫出答案）.

圖①圖②圖③

29.問題背景

若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個(gè)等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為頂

針點(diǎn)；若再滿足兩個(gè)頂角的和是180。，則稱這兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點(diǎn).

如圖1,四邊形ABC。中，8c是一條對角線，AB^AC,DB=DC,則點(diǎn)A與點(diǎn)O

關(guān)于8C互為頂針點(diǎn)；若再滿足NA+NQ=180。，則點(diǎn)A與點(diǎn)。關(guān)于BC互為勾股頂針

點(diǎn).

備用圖一

初步思考

⑴如圖2,在ABC中，AB=AC,NA3C=30。，D、E為ABC外兩點(diǎn)，

EB=EC,NEBC=45。,△OBC為等邊三角形.

①點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)；

②點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)，并說明理由.

實(shí)踐操作

(2)在長方形ABCO中，AB=8,AD=10.

①如圖3,點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)尸在4。邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點(diǎn)E、F,

使得點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于BE互為勾股頂針點(diǎn).(不寫作法，保留作圖痕跡)

思維探究

②如圖4,點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于8P互為勾股

頂針點(diǎn)，直線CP與直線AO交于點(diǎn)尸.在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，線段BE與線段AF的長度

是否會(huì)相等？若相等，請直接寫出AE的長；若不相等，請說明理由.

30.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中點(diǎn)，P以每秒1個(gè)單位長

度的速度從A向D運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)；Q沿著Af8—C-。路徑以每秒3個(gè)

單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng).已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止

后，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問：

(1)經(jīng)過幾秒，以A,Q,F,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

(2)經(jīng)過幾秒，以A,Q,F,P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是平行四邊形ABCD面積的一

半？

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.B

解析：B

【分析】

由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出AB=AF,NAFG=90。，由HL證明M/\ABG^Rt/\AFG,得

出①正確；

設(shè)BG=FG=x,則CG=12-x.由勾股定理得出方程，解方程求出BG,得出GC,即可得出②

正確；

由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出NAGB=/GCF,得出AG〃CF,即可得出③正

確；

通過計(jì)算三角形的面積得出④錯(cuò)誤；即可得出結(jié)果.

【詳解】

①正確.理由如下：

:四邊形ABCD是正方形，.?.AB=8C=CD=AD=12,ZB=ZGCE=ZD=90°,由折疊的性質(zhì)

得：AF^AD,ZAFE=ZD^0°,：.NAFG=90°,AB^AF.在RtA4BG和RtA4FG

AG=AG

中，〈，,Rt/MBG絲Rt"FG(HL)；

[AB=AF

②正確.理由如下：

由題意得：EF=DE=yCD=4,設(shè)BG=FG=x,則CG=12-x.

在直角aECG中，根據(jù)勾股定理，得(12-x)2+82=(x+4)2,解

得：x=6,，BG=6,：.GC=12-6=6,，BG=GC；

③正確.理由如下：

VCG=BG,BG=GF,：.CG=GF,.,.△FGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

又

VRtA4eG^RtA/lfG,AZAGB=ZAGF,ZAGB+ZAGF=2ZAGB=180°-NFGC=NGFC+NGC

F=2ZGFC=2ZGCF,AZAGB=ZGCF,J.AG//CF；

④錯(cuò)誤.理由如下：

11

SGC￡=-GC?CE=-X6X8=24.

A22

372

VGF=6,EF=4,△GFC和等高,：.S^GFC:SAra=3:2,/.SAGFC=-X24=y#=28.8.

故④不正確，，正確的有①②③.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行

線的判定，三角形的面積計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定的難度.

2.C

解析：C

【分析】

如下圖，將4APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至4AFE處，通過邊長轉(zhuǎn)換，可將以+PD+PQ轉(zhuǎn)化

為PF+EF+PQ的形式，再利根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出最小值.

【詳解】

如下圖，將4APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至4AFE處，連接FP,過點(diǎn)E作BC的垂線，交

BC于點(diǎn)G,AD于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)K

VAAFE是4APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

NFAP=60°,ZEAD=60°,AF=AP,EF=PD

AAPF是等邊三角形，；.AP=PF

R4+PD+PQ=PF+FE+PQ2EG

:四邊形ABCD是平行四邊形，BC=6

，AE=AD=BC=6,ADZ/BC

二在Rt/XAHE中，AH=3,EH=373

VHG±BC,AKJ_BC,ADIIBC

AK±AD,GH±AD,；.AK=HG

VZABC=60",AB=4

.?.在R3ABK中，BK=2,AK=2百

??.HG=2G

.??EG=3V3+273=5A/3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查最值問題，解題關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)^APD,將%+PD+PQ轉(zhuǎn)化為PF+EF+PQ的形式.

3.A

解析：A

【分析】

過P作PG_LAB于點(diǎn)G,根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)及題中的已知條件，證明AAGP空AFPE

后即可證明①AP=EF；@ZPFE=ZBAP：在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對角線平分對角的性

質(zhì)，在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得⑤DP=&EC.

【詳解】

,?,點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn),

/.GP=EP,

在AGPB中,NGBP=45°,

ZGPB=45",

GB=GP,

同理，得

PE=BE,

AB=BC=GF,

AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

AG=PF,

△AGP2aFPE,

①AP=EF；

ZPFE=ZGAP

④NPFE=ZBAP,

②延長AP到EF上于一點(diǎn)H,

ZPAG=ZPFH,

ZAPG=NFPH,

ZPHF=NPGA=90°,即APXEF；

③點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點(diǎn)，ZADP=45度，

當(dāng)NPAD=45度或67.5度或90度時(shí)，△APD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤.

■1-GFIIBC,

ZDPF=ZDBC,

又ZDPF=ZDBC=45",

ZPDF=ZDPF=45°,

PF=EC,

在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

0DP=V2EC.

.?.其中正確結(jié)論的序號是①②④⑤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì),

勾股定理的運(yùn)用.本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，在解答時(shí)要認(rèn)真審題.

4.B

解析：B

【分析】

作CE〃BD,交AB的延長線于點(diǎn)E,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到4ACE中，

AE=2AB=24,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到答案.

【詳解】

解：如圖，作CE〃BD,交AB的延長線于點(diǎn)E,

：AB=CD,DC/7AB

...四邊形BECD是平行四邊形，

；.CE=BD,BE=CD=AB,

.?.在4ACE中，AE=2AB=24<AC+CE,

.?.四個(gè)選項(xiàng)中只有A,B符合條件，但是10,34,24不符合三邊關(guān)系,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，利用平行線將對角線及邊轉(zhuǎn)化為三角形

是解題的關(guān)鍵.

5.B

解析：B

【分析】

先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可得AE2是的角平分線，DE4是

“A0C的角平分線，結(jié)論（2）正確.再利用結(jié)論（2）可得ND4E3+ZAQE3>90。，

NZME?+乙4。七>90。即可判斷結(jié)論（1）（3）錯(cuò)誤，

【詳解】

解：設(shè)CEi=&&=七與=七七=瓦>紇=紇8=，〃，則8C=6〃？，

ABCD,3AB=2AD

AD=/3C=6m,AD//BC,AB//CD,AB=CD4m

在\ABE2中,BE、=4m=AB

：.ZAE2B=ZBAE2,

ADIIBC,

^AE2B=ZDAE2,

：.ZDAE2=ZBAE2=^ZBAD,

同理可得：ZADE&=NCDEa=LZADC,

2

AB//CD,

ZBAD+ZADC=ISO°,

ZDA￡2+ZAD￡4=90°

AE2_LDE4,

故（2）正確；

?.,ZDAE3>ZDAE2,ZADE3>ZADE4,

???ZDAE3+ZADE3>ZDAE2+ZADE4,即ADAE3+ZADEy>90°,

ZAE3D<90°

所以。匹3與A片不垂直，故（1）不正確；

V,ZADE2>ZADEA,

???ZDAE2+ZADE2>ZDAE2+ZADE4f即ZDAE2+ZADE2>90°,

.??ZAE2D<90°

故（3）不正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，證明A&是N&4P

的角平分線，是NADC的角平分線是解題關(guān)鍵.

6.B

解析：B

【分析】

連接EH,過點(diǎn)H作HK_LBF于點(diǎn)K,令A(yù)E與BH交于點(diǎn)J,HL與BF交于點(diǎn)L,根據(jù)已知條

件易證絲△ABC,繼而由全等三角形的性質(zhì)得SABHK=SAABC,BC=HK,NABC=

ZBHK,再由全等三角形的判定可得△BCJGZ^HKL,進(jìn)而可得SI=SABHK=S/、ABC,由正方形

的性質(zhì)和全等三角形的判定可知^ABC絲AAIG,繼而可得%ABC=SAAIG=S2,等量代換即可

求解.

【詳解】

解：連接EH,過點(diǎn)H作HKLBF于點(diǎn)K,令A(yù)E與BH交于點(diǎn)J,HL與BF交于點(diǎn)L,

由題意可知：四邊形BCED是正方形，四邊形ACFG是正方形，四邊形ABHI是正方形，

ZACB=90°

NCEH=NECK=90°,CE=BC

VZBKH=90",

四邊形CEHK是矩形，

二CE=HK

又/HBK+NABC=90°，/BAC+NABC=90°

；.NHBK=/BAC

.,?△BHK^AABC(AAS)

.,?SABHK=SAABC,BC=HK,ZABC=ZBHK,

VZABC+ZCBJ=90°，NBHK+NKHL=90°

/.ZCBJ=ZKHL

.?.△BCJ絲△HKL(ASA)

SABCJ=SAHKL>

??SI=SABHK=SAABC，

???四邊形ACFG是正方形，四邊形ABHI是正方形，

AAB=AI,AC=AG,ZG=ZACB=90"

AAABC^AAIG(SAS)

SAABC=SAAIG=S2,

即Si=Sz

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形

的性質(zhì)及全等三角形的判定方法.

7.B

解析：B

【分析】

連接AC,根據(jù)線段重直平分線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)即可判斷A選項(xiàng)正確；根據(jù)線段垂直平

分線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)求出NBAM=90°,利用三角函數(shù)求出AM,即可利用勾股定理求

出BM,由此判斷B選項(xiàng)；根據(jù)線段垂直平分的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得BC=2CM,由此判斷

C選項(xiàng)；利用同底等高的性質(zhì)證明aABM的面積=4ABC的面積=4ACD的面積，再利用線

段垂直平分線的性質(zhì)即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

如圖，連接AC,

/.AC=CD,

??,四邊形ABCD是菱形，

/.AD=AB=BC=CD,

AAC=AD=CD=AB=BC,

/.△ABC和4ACD都是等邊三角形，

/.ZBAC=ZCAD=ZABC=60°,故A正確；

VAM垂直平分CD,

AZCAM=ZDAM=30°,

AZBAM=90°,

**?SAABM=SAABC=SAABD=2SAADM,故D項(xiàng)正確;

VAB=2,

AAC=CD=2,

Z.AM=AC-cos300=2X

；?BM=y/AB2+AM2=+（省『=〃’故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

由AM垂直平分CD可得CM=—CD,

2

又：BC=CD,

.,.CM=-BC,即BC=2CM,故C項(xiàng)正確；

2

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線段垂直平分線的作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，菱

形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，是一道綜合題，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

8.C

解析：c

【分析】

①證明△OBC是等邊三角形，即可得OB=BC,由FO=FC,即可得FB垂直平分0C,①正

確；②由FB垂直平分0C,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得aFCBM△FOB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得NBCF=NBOF=90°,再證明△FOC主△EOA,所以FO=EO，即可得0B垂直平分EF,所

以^OBF合△OBE,即小EOB空△FCB,②錯(cuò)誤；③證明四邊形DEBF是平行四邊形，再由

0B垂直平分EF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=BF,即可得平行四邊形DEBF為菱

形，③正確；④由0B四△EOB空△FCB得N1=N2=Z3=30°,在RtAOBE中，可得OE

=@0B,在RtZkOBM中，可得BM=@OB,即可得BM：OE=3：2,④正確.

32

【詳解】

①,矩形ABCD中，。為AC中點(diǎn)，

OB=OC,

ZCOB=60°,

:?"OBC是等邊三角形，

OB=BC!

'：FO=FC,

FB垂直平分0C,

FB±OC,0M=CM；

①正確；

②.?FB垂直平分0C,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得4FCB合△FOB,

ZBCF=ZBOF=90°,即OB±EF,

?/OA=OC,ZFOC=ZEOA,ZDCO=ZBAO,

/.△F08△EOA,

FO=EO,

OB垂直平分EF,

OBa△OBE,

AEOB^aFCB,

②錯(cuò)誤；

③?；AFOCMAEOA,

FC=AE,

矩形ABCD,

CD=AB,CDIIAB,

DFIIEB,DF=EB,

四邊形DEBF是平行四邊形,

OB垂直平分EF,

BE=BF,

???平行四邊形DEBF為菱形；

③正確；

在R5OBM中，BM=—OB,

2

BM:OE=—OB:=BOB=3：2.

23

④正確；

所以其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3個(gè)；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線

的性質(zhì)、菱形的判定及銳角三角函數(shù)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，解決問題的關(guān)鍵是會(huì)綜

合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析解決問題.

9.C

解析：C

【分析】

想辦法證明SPI=SAADE+SADEC=SAAEC，再由EF〃AC,可得SAAEC=SAACF解決問題.

【詳解】

；BC=4CF,SAABC=12,

1

?*.SACF=—xl2=4,

A3

?.?四邊形CDEF是平行四邊形，

；.DE〃CF,EF〃AC,

??SADEB=SADEC,

?"?Sui=SAADE+SAOEC=SAAEC，

VEF/7AC,

SAAEC=SAACF_4,

；.Sui—4.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積、等高模型等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等

高模型解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

10.B

解析：B

【分析】

通過判斷4BDE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可對①進(jìn)行判

斷：根據(jù)等角的余角相等得到NBHE=/C,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到NA=/C,則

ZA=ZBHE,于是可對②進(jìn)行判斷；證明ABEH絲ZWEC,得到BH=CD,接著由平行四邊形

的性質(zhì)得AB=CD,則AB=BH,可對③進(jìn)行判斷；因?yàn)镹BHD=90°+NEBH,

ZBDG=90°+ZBDE,由/BDE>NEBH,推出NBDG>NBHD,可判斷④.

【詳解】

解：VZDBC=45°,DE_LBC,

.,.△BDE為等腰直角三角形，

BE=DE,BD=^BE2+DE2=也5爐=OBE>所以①錯(cuò)誤；

VBF±CD,

ZC+ZCBF=90°,

而NBHE+NCBF=90°,

/BHE=/C,

?..四邊形ABCD為平行四邊形，

AZA=ZC,

AZA=ZBHE,所以②正確；

在ABEH和ADEC中

ZBHE^ZC

<ZHEB=NCED,

[BE=DE

.".△BEH^ADEC,

；.BH=CD,

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

；.AB=CD,

，AB=BH,所以③正確：

：NBHD=90°+/EBH,ZBDG=90°+ZBDE,

VZBDE=ZDBE>ZEBH,

AZBDG>ZBHD,

所以④錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

三角形外角的性質(zhì).熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵，本題中主要用

到平行四邊形對邊相等，對角相等.

二、填空題

11.12或20

【分析】

根據(jù)題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出

即可.

【詳解】

解：情況一：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部時(shí)，如圖1所示：

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,AB=5,AC=275-

在RtAACE中，由勾股定理可知：CE=VAC2-AE2=7(2A/5)2-42=2，

在RSABE中，由勾股定理可知：BE=JABZ—AE」=,52—42=3,

；.BC=BE+CE=3+2=5,

此時(shí)平行四邊形ABCD的周長等于2X(AB+BC)=2x(5+5)=20；

情況二：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的外部時(shí)，如圖2所示：

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為AE=4,AB=5,AC=2不

在ACE中，由勾股定理可知：CE7AC?-AE?={(26)2_42=2,

在R3ABE中，由勾股定理可知：BE=VAB2-AE2=x/52-42=3，

.,.BC=BE-CE=3-2=1,

平行四邊形ABCD的周長為2X(AB+BC)=2x(5+l)=12,

綜上所述，平行四邊形ABCD的周長等于12或20.

故答案為：12或20.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，分高在平行四邊形內(nèi)部還是外部

討論是解題關(guān)鍵.

12.①③④

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

線的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得NF=NFAD=45。，可得AD=DF=BC,可判斷①；通過證明

△DCG^ABEG,可得NBGE=NDGC,BG=DG,即可判斷②③；過點(diǎn)G作GH_LCD于H,設(shè)

AD=4X=DF,AB=3X,由勾股定理可求BD=5X,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

HG=CH=FH=gx,DG=GB="也x,由三角形面積公式可求解，可判斷④.

22

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,NBAD=NABC=NBCD=NADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE=45°,

ZF=ZFAD,

；.AD=DF,

；.BC=DF,故①正確；

：/EAB=NBEA=45°,

，AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45O,ZECF=90°,

???△CEF是等腰直角三角形，

?點(diǎn)G為EF的中點(diǎn),

；.CG=EG,NFCG=45。，CG±AG,

AZBEG=ZDCG=135°,

在ADCG和4BEG中，

BE=CD

<NBEG=NDCG,

CG=EG

.".△DCG^ABEG(SAS).

.\ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

.,.ZDGC=ZBGE<45",

VZCGF=90°,

.".ZDGF<135°,故②錯(cuò)誤；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

ZCGA=ZDGB=90°,

/.BG±DG,故③正確;

過點(diǎn)G作GHXCD于H,

3

?/AB=-AD,

4

.?.設(shè)AD=4x=DF,AB=3x,

???CF=CE=X,BD=7AF+AB?=5X>

???△CFG,aGBD是等腰直角三角形,

/.HG=CH=FH=—x,DG=GB=m^x,

22

**?SADGF=-XDFXHG=X2,SABDG=-DGxGB=—x2,

224

25

,,SBDG=SFDG9故④正確；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練

掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

13.40

【分析】

作p點(diǎn)關(guān)于線段AE的對稱點(diǎn)P,根據(jù)軸對稱將0Q+PQ轉(zhuǎn)換成DP',然后當(dāng)

￡>P'_LAC的時(shí)候OP'是最小的，得到OP'長，最后求出正方形邊長DC.

【詳解】

?；AE是ND4C的角平分線，

???P點(diǎn)關(guān)于線段AE的對稱點(diǎn)一定在線段AC上，記為P'

由軸對稱可以得到PQ=P'Q,

DQ+PQ=DQ+P'Q=DP',

如圖，當(dāng)￡>P'LAC的時(shí)候DP'是最小的，也就是OQ+PQ取最小值4,

DP'=4,

由正方形的性質(zhì)尸是AC的中點(diǎn)，且DP'=P'C,

在RtOCP'中，DC^ylD^+rC2=A/42+42=732=472-

故答案是：4A/2-

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對稱的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是能夠分析出力Q+PQ取最小值的狀態(tài)，

并將它轉(zhuǎn)換成DP'去求解.

14.3道或3或苴7

2

【分析】

△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平

行四邊形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：當(dāng)AE=AFB寸，如圖，過點(diǎn)A作于”,

圖1

E是A3的中點(diǎn)，

:.AE=-AB=3,

2

AE=AF,AHLEF,ZA=120。，

ZAEF=NAFE=30°,FH=EH,

AH=-AE=-,EH=y/3AH

222

:.EF=2EH=3/，

當(dāng)AF=E尸時(shí)，如圖2,

過點(diǎn)A作AN±CD于N,過點(diǎn)F作FM_LAB于M,

在平行四邊形ABC。中，AB=6,6C=4,NA=120。,

AD=BC=4,ZADC=60°,

ADAN=30°,

.-.DN=^AD=2,AN=>/3DN=2>/3>

AB//CD,AN1CD,FMLAB,

AN=MF=20

AF=EF,FMLAB,

3

.\AM=ME=-,

2

EF=y]ME2+MF2=J12+,=與；

當(dāng)AE=EF=3時(shí)，如圖3,

F

圖3

EF=3,

綜上所述：EF的長為3相或3或與.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問

題是本題的關(guān)鍵.

15.①②③④

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABGgZiAEC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；

設(shè)8G、CE相交于點(diǎn)MAC、BG相交于點(diǎn)K,如圖1,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

ZACE=ZAGB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NCNG=NCAG=90。，于是可判斷②；

過點(diǎn)E作EPLHA的延長線于P,過點(diǎn)G作GQ_LAM于Q,如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即可判

斷④；利用AAS即可證明△ABH絲ZiEAP,可得EP=AH,同理可證GQ=A”，從而得到EP

=GQ,再利用AAS可證明△EPMgZXGQM,可得EM=GM,從而可判斷③，于是可得答

案.

【詳解】

解：SABDEACFG,AB=AE,AC=AG,ZBAE=ZCAG=90°,

：.ZBAE+ZBAC=ZCAG+ZBAC,

即/CAE=N8AG,

.?.△ABG咨AAEC(SAS),

：.BG=CE,故①正確；

設(shè)8G、CE相交于點(diǎn)MAC,8G相交于點(diǎn)K,如圖1,

BH

圖1

/\ABG^/\AEC,

：.NACE=ZAGB,

'：NAKG=NNKC,

/CNG=/CAG=90°,

：.BGLCE,故②正確;

過點(diǎn)E作EPA.HA的延長線于P,過點(diǎn)G作GQ1AM于Q,如圖2,

BHC

圖2

'：AH1BC,

：.ZABH+ZBAH=90°,

'：ZBAE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=90°,

:.NABH=NEAP,即NEAM=NA8C,故④正確；

VZAHB=ZP=90°,AB=AE,

：./\ABH^/\EAP(A4S),

：.EP^AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

?.?在和△GQM中，

ZP=ZMQG=90°

"NEMP=ZGMQ,

EP=GQ

.?.△EPM絲△GQM(AAS),

：.EM=GM,

是AAEG的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線

構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

【分析】

先根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長，作輔助

線，構(gòu)建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過畫圖發(fā)現(xiàn)：當(dāng)GE_LBC時(shí)，AG最小，即a

最小，可計(jì)算a的值，從而得結(jié)論.

【詳解】

:四邊形ABCD是矩形，

r.ZB=90°,

VZACB=30°,BC=2石，

JAB二2,AC二4,

VAG=6t,

CG—4—〃，

如圖1,過G作MH_LBC于H,交AD于M,

圖1

RtACGH中，ZACB=30°,

14—a

AGH=—CG=-------,

22

則點(diǎn)G到BC邊的距離為

2

VHM1BC,AD〃BC,

AHM1AD,

.\ZAMG=90°,

VZB=ZBHM=90°,

J四邊形ABHM是矩形，

???HM二AB二2,

小4一。

=a

GM2-GH-2--------=-f

22

SAADG=—AD-MG=—x25/3x—=

2222

當(dāng)。最小時(shí)，AADG的面積最小，

如圖2,當(dāng)GE_LBC時(shí)，AG最小,即a最小,

圖2

???FG是AE的垂直平分線,

AAG=EG,

4一。

------=a,

2

4

.*?Cl=—,

3

.,.△ADG的面積的最小值為且=

233

故答案為：2叵.

23

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理，確定4ADG的面積最小時(shí)點(diǎn)G的位置是解答此題的關(guān)鍵.

17.16或10

【分析】

等腰三角形一般分情況討論：(1)當(dāng)DB，=DC=16；(2)當(dāng)&D=B七時(shí)，作輔助線，構(gòu)建平

行四邊形AGHD和直角三角形EGB',計(jì)算EG和B'G的長，根據(jù)勾股定理可得B'D的長；

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形，

DC=AB=16,AD=BC=18.

分兩種情況討論：

(1)如圖2,當(dāng)DB，=DC=16時(shí)，即△CDB，是以DB,為腰的等腰三角形

(2)如圖3,當(dāng)WD=B'C時(shí)，過點(diǎn)B作GHIIAD,分別交AB與CD于點(diǎn)G、H.

圖3

???四邊形ABCD是矩形，

ABHCD,ZA=90"

又GHIIAD,

四邊形AGHD是平行四邊形，又NA=90°,

?1?四邊形AGHD是矩形，

AG=DH,NGHD=90。，即B'H_LCD,

又B'D=B'C,

DH=HC=-CD=8,AG=DH=8,

3

???AE=3,

BE=EB'=AB-AE=16-3=13,

EG=AG-AE=8-3=5,

在RtAEGB'中，由勾股定理得：

GBZ=V132-52=12>

B'H=GHXGB'=18-12=6,

在RSB'HD中，由勾股定理得：BZD=762+82=10

綜上，DB，的長為16或10.

故