2023學(xué)年山東省即墨高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若點(diǎn)（2,k）到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是（）

-5-17

A.1B.-3C.1或一D.-3或一

33

2.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，

分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)

3.已知四棱錐S-ABCD的底面為矩形，1sA_L底面ABCO,點(diǎn)￡在線段8C上，以AD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E.若

SA=6AB=3,則A5E。的面積的最小值為（）

97

A.9B.7C.-D.-

22

2

4.若z=l-i+:，貝!|z的虛部是

1

A.3B.-3C.3iD.-3i

5.對(duì)于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天

數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是（）

發(fā)芽所需天數(shù)1234567>8

種子數(shù)43352210

A.2B.3C.3.5D.4

6.若直線2x+y+，〃=0與圓x2+2x+y2—2y—3=0相交所得弦長(zhǎng)為2石，貝!|血=（）

A.1B.2C.75D.3

7.已知三點(diǎn)4（1,0）,5（0,上），。（2，垂）），則AA8C外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）

「2也4

D.-

33

8.已知復(fù)數(shù)2=。+版6/?,若|z|=2,則。的值為（）

A.1B.6C.±1D.±73

9.在AABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為若」一,」一,」一依次成等差數(shù)列，貝!I（）

tanAtanBtanC

A.依次成等差數(shù)列B.五,揚(yáng)，無(wú)依次成等差數(shù)列

C.依次成等差數(shù)列D.//3,依次成等差數(shù)列

Jr7T

10.已知函數(shù)f（x）=sin（2x—:）的圖象向左平移0（。>0）個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=sin（2x+:）的圖象，則夕的最

44

小值為（）

兀3萬(wàn)〃5乃

A.-B.—C.-D.—

4828

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體A3345C1A中，尸為4"的中點(diǎn)，若三棱錐P-A5C的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，

則球。的表面積為（）

_21兀八41兀

A.127cB.---C.---D.IOTC

24

IT371

12.已知函數(shù),f（x）=Acos（s+。）（A>0,口>0,|°|<—），將函數(shù)/（x）的圖象向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，得

24

到函數(shù)g（x）的部分圖象如圖所示，則/*）=;是走的（）

31212,3

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線C4、CB圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū)ACB.為了便于管理，在線段

AB之間有一觀察站點(diǎn)M，M到直線BC,C4的距離分別為8百米、1百米，則觀察點(diǎn)"到點(diǎn)A、B距離之和的

最小值為百米.

|...

J-----；2^4

14.在AA3C中，內(nèi)角A3,C所對(duì)的邊分別為a,4c,

若2cosA(/?cosC+ccosB)=a-V13,AAa7的面積為35/3，

則從=，h+c=.

2222

15.已知橢圓G：q+3=i(">b>0)與雙曲線。2：二一1=1(加>Q">°)有相同的焦點(diǎn)6、B，其中七為左

ab

焦點(diǎn).點(diǎn)P為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，R、e?分別為曲線G、a的離心率，若公尸耳工是以PG為底邊的等腰三角

形，則02-6的取值范圍為.

4I?

16.在AABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,^cosB=-,cosC=—,b=l,則。=________.

513

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

'一出s

17.(12分)在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為c°s”(0為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

y=sina

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為「cos夕+psine+4=0.

(1)求曲線G的普通方程和曲線C?的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)P在曲線G上，點(diǎn)。在曲線G上，求IPQI的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

=

x=l+rcos0,X5H---1>

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線q：\廠（。為參數(shù)，r>0）,曲線。2：?2

y=>/3+rsin。，

a為參數(shù)）.若曲線G和c2相切.

（D在以。為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，求曲線G的普通方程；

TT

（2）若點(diǎn)M,N為曲線G上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足NMON=§,求AMQV面積的最大值.

19.（12分）在如圖所示的多面體中，平面A844，平面ABCD,四邊形48月4是邊長(zhǎng)為2的菱形，四邊形A8C。

為直角梯形，四邊形BCGA為平行四邊形，且A8//CD,AB1BC,CD=1

（1）若E,尸分別為AC，Bq的中點(diǎn)，求證：所，平面ABC；

（2）若NAAB=60。，AC與平面A3CD所成角的正弦值手，求二面角A-A&-。的余弦值.

20.(12分)已知/(%)=%2+2,一1|.

(D解關(guān)于X的不等式：/(工)〉呼；

2I222212

(2)若/(%)的最小值為M,且a+Z?+c="(a,"ceR'),求證：^￡_+±±￡-+￡_±￡_>2,

cba

33

21.(12分)設(shè)/(x)=(a-4)logaX-----x+----(。>0且。。1).

a-\a—\

(1)證明:當(dāng)a=4時(shí)，lnx+/(x)<0；

(2)當(dāng)時(shí)/(x)WO,求整數(shù)。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：/?2?0.69,/n3?1.10,勿5al.61,/〃7kl.95)

22.（10分）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是。=4cos8.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸，建立平面

x=m+爭(zhēng)

直角坐標(biāo)系，直線1的參數(shù)方程是:{。是參數(shù)).

(1)若直線1與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且IA5|=試求實(shí)數(shù)m值.

(2)設(shè)"(xj)為曲線。上任意一點(diǎn)，求x+2y的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

|2x5-12%+6]

由題得=4,解方程即得k的值.

6+(72)2

【詳解】

|2x5-12A:+6|

由題得=4,解方程即得k=-3或可.

行+(-12>

故答案為：D

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)P(x。,%)到直線

I:Ac+By+C=0的距離d=心+'%+。.

yJA2+B2

2.D

【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.

【詳解】

對(duì)于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，

故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；

對(duì)于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分,

故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；

對(duì)于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為

100+80+100+80+100+80310

63

80+60+80+60+60+100250

乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為故C正確;

6

對(duì)于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為8()分，不是最強(qiáng)的，故D錯(cuò)誤;

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到BE,EC之間的等量關(guān)系，再用表示出?SED

的面積，利用均值不等式即可容易求得.

【詳解】

設(shè)=EC-y,則8C=AZ)=x+y.

因?yàn)镾A_L平面A5CO,EDu平面A5CO,所以SALE。.

又AELED,SAr\AE^A,所以ED_L平面SAE,則￡￡)J_SE.

易知AE=Nx1+3，ED=+3.

在RtAAE。中，AE2+ED2=AD2>

即f+3+y2+3=(x+y)2,化簡(jiǎn)得孫=3.

，3.

在RtASEO中，SE=G+T2,ED=5+3

jr

=-SEED=口30+萼+45.

所以

4SQ22Vf

因?yàn)?/+譬22

X

當(dāng)且僅當(dāng)％=后，y=當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以SAs.Ngj36+45=1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判

定和性質(zhì)，屬中檔題.

4.B

【解析】

因?yàn)閦=l-i-2i=l-3i,所以z的虛部是—3.故選B.

5.C

【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).

【詳解】

3+4

由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為^—=3.5,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓/+2x+y2—2y—3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程(x+1)2+(^-1)2=5，圓心坐標(biāo)為(一1,1),半徑為亞，因?yàn)橹本€2x+y+m=Q

與圓/+2彳+/一2^-3=0相交所得弦長(zhǎng)為2班,所以直線2尤+y+m=O過(guò)圓心，得2、(-1)+1+m=0,即加=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

因?yàn)橥饨訄A的圓心在直線。。的垂直平分線上，即直線r=1±

選B.

考點(diǎn)：圓心坐標(biāo)

8.D

【解析】

由復(fù)數(shù)模的定義可得：|Z|=V7+1=2,求解關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程可得：a=土百.

本題選擇。選項(xiàng).

9.C

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得2cos8=」^—,由正弦定理可得

sinAsinC

2acos5=〃，再由余弦定理可得/+C2=2/，從而可得結(jié)果.

【詳解】

???—依次成等差數(shù)列，

tanAtanBtanC

11_2cosAsinC+sinAcosC_sin（A+C）_sinB_2cosB

------1------=------,------------------------------------=----------=-------9

tanAtanCtanBsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB

2cosB=‘IT8正弦定理得2。cos8=〃，

sinAsinC

由余弦定理得/+02一。2=。2,"+'2=2〃，即/,從,。2依次成等差數(shù)列，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理，屬于難題.解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦

定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的

式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

10.A

【解析】

首先求得平移后的函數(shù)g（X）=Sinm+2。一?J,再根據(jù)sin+2。一升sin12x+?J求°的最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，/（x）的圖象向左平移。個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)

7111

g(x)=sin2(九+0)---=sin(2x+2°----)=sin(2x+—),

4444

TTTTTTIT

所以2夕一一=24%+一,攵eZ,所以Q=Z?+—,ZwZ.又0>0,所以9的最小值為一.

4444

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式，意在考查平移變換，屬于基礎(chǔ)題型.

11.C

【解析】

取BCi的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱5C0-AOP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P-4BC有相同

的外接球，求出等腰三角形Q8C的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑

【詳解】

如圖，取31G的中點(diǎn)。，連接尸。，BQ,CQ,PD,則三棱柱3c2-4DP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都

在球。的球面上，AQ8C的外接圓直徑為2r=-=球o的半徑K滿足R2=產(chǎn)+（空）2=2,所以球。的

s\nZQCB2216

表面積S=4^/?2=—,

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時(shí)要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬

于中檔題.

12.B

【解析】

先根據(jù)圖象求出函數(shù)g(x)的解析式，再由平移知識(shí)得到了(X)的解析式,然后分別找出

/。)=；和8V3

的等價(jià)條件，即可根據(jù)充分條件，必要條件的定義求出.

【詳解】

設(shè)g(x)=Asin(<wx+〃),根據(jù)圖象可知,

71

7

:.g(x)=sin2x——

3兀

將函數(shù)g(x)的圖象向右平移了個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)/⑸的圖象,

“(x)=g(x冬]=sin]2j當(dāng)一空cosRx」〕.

I4)LI4J3jI3)

/(x)=Ucos(2x-^=|,g(|+g=sm[.-g=^,

令。=x一鄉(xiāng),則sin6=—=>cos26=1-2sin?6=’,顯然,cos28=」Rsin8=—

63333

二f(x)=g是g[]+*]=日的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的圖形變換，二倍角公式的應(yīng)用，充分條件,必要條件的定

義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.575

【解析】

建系，將直線AB用方程表示出來(lái)，再用參數(shù)表示出線段AB的長(zhǎng)度，最后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最小值.

【詳解】

以C為原點(diǎn)，CA,CB所在直線分別作為苞)，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則M(8,l).設(shè)直線AB:y-l=%(x-8),即

y=fcc+l—8女，貝!]8(0,1—8&),

1一84八

所以彳k,所以k<0,

1—8%〉0

回2=(-詈)+(1_8k)2=/(女)伏<0),

貝!|/出=(1-8&)2(1+行(&<0),

貝/*)=2(1-8Qx(一8)x(1+3)+(1—8%)2x(-2)xj

-2(1-8旬(8/+1)—2(1—8k)(2k+1)(4左2-2k+l)

=P=P，

當(dāng)xe1—8,-；1時(shí)，f'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=-：時(shí)，AB最短，此時(shí)A8=5百.

故答案為：545

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

14.-7

3

【解析】

(1)由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得2cosAsin4=sinA,從而求得

cosA=g,結(jié)合范圍As(0,兀),即可得到答案

(2)運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案

【詳解】

(1)由已知及正弦定理可得

2cosA(sinBcosC+sinCcosB^-sinA,可得：2cosAsin(B+C)=sinA

解得2cosAsinA=sinA,BPcosA=—

2

Ae（0,?）,

71

A7

⑵由面積公式可得：36=gbcsinA=%c，即。c=12

由余弦定理可得：13=Z?2+c?—2Z?ccosA

即有13=(b+c1-30C=3+C)~-36

解得〃+c=7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案

15.(|,+8

【解析】

設(shè)|阿|=s,|平I=M由橢圓和雙曲線的定義得到s=a+/n,t=a-m,根據(jù)APf；居是以「”為底邊的等腰

三角形，得到t=a-m=2c,從而有1一工=2,根據(jù)a?＞1,得到!＜耳＜1,再利用導(dǎo)數(shù)法求

4S3

2e2

y=e,一弓=2e,-e、=,：的范圍.

\-2e}

【詳解】

設(shè)附|=S,\PF2\=t,

由橢圓的定義得s+t=2a,

由雙曲線的定義得S—1=2相，

所以s=a+m,t=a-m,

因?yàn)?耳后是以PK為底邊的等腰三角形，

所以|耳聞=網(wǎng)=2c,

即t=a—m=2c,

因?yàn)閝=一，4=一,

am

所以-■一■-=2,

6%

因?yàn)椤?>1,所以0〈一<1,

所以一=2H----<3,

號(hào)%

即1<G<1，

31

而=2,?6]=

，4q(l—e)

>0

因?yàn)閺V三不9

所以y在仁，“上遞增,

…2

所以y>§.

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

56

16.

39

【解析】

先求得sinB,sinC的值，由此求得sinA的值，再利用正弦定理求得”的值.

【詳解】

由于cosB=±cosC=空，所以sinB=Jl-cos?B=—,sinC=Jl-cos?C=』,所以

513513

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=—x—+—x—=史.由正弦定理得

51351365

56

a_b_/??sinA_65_56

sinAsinBsinB339,

5

故答案為：—

39

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和

定理，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)事+,2=1；x+y+4=0(2)最小值為0,此時(shí)P(一1',一；)

【解析】

(1)消去曲線G參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線G的普通方程?利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化公式，求得曲線。2的直

角坐標(biāo)方程.

(2)設(shè)出P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法，求得IPQI的最小值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】

(1)消去a得，曲線G的普通方程是：y+y2=l；

把x=pcosa,y=°sina代入得，曲線C2的直角坐標(biāo)方程是x+V+4=0

(2)設(shè)P(ecosa,sina),IPQI的最小值就是點(diǎn)P到直線G的最小距離.

2sin（a+：）+4

設(shè)」\6cosa+sina+41

d=-----------------

6

,.571.

在。=----時(shí),d=0是最小值,

6

此時(shí)石COS。=——，sina=--

22

所以，所求最小值為0,此時(shí)

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值，屬

于中檔題.

18.(1)(x-l)2+(y-V3)2=4；(2)3上

【解析】

(D消去參數(shù)。，將圓C的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最

后利用x=pcosay=psin。求得圓C的極坐標(biāo)方程.

(2)利用圓的參數(shù)方程以及輔助角公式，由此求得AA/ON的面積的表達(dá)式，再由三角函數(shù)最值的求法，求得三角形

面積的最大值.

【詳解】

(1)由題意得G：——=/，C2：x-^3y-2=0

因?yàn)榍€G和g相切，所以r=「一；一：=2,即G：(%一1)2+卜一6『=4；

(2)設(shè)M4呵8+38,N[4COS0,0+^

所以S&MON=2PMPNsin-=x16xsin6+與cose=2gsin(26+e)+g

k6)

所以當(dāng)2。+>=］時(shí)，AMON面積最大值為3后

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，考查利用參數(shù)的方法求三角形面積

的最值，屬于中檔題.

…，7

19.(1)見(jiàn)解析(2)——

8

【解析】

試題分析：(1)第(1)問(wèn)，轉(zhuǎn)化成證明48,平面A4G,再轉(zhuǎn)化成證明43LAA和481耳G.(2)第(2)問(wèn)，先

利用幾何法找到AG與平面ABCD所成角，再根據(jù)AG與平面ABCO所成角的正弦值為正求出用儲(chǔ)=4,再建立空

間直角坐標(biāo)系，求出二面角4一40-。的余弦值.

試題解析：

(1)連接4B,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?8,AB-

因?yàn)槠矫鍭85A_L平面438,平面ABB/AC平面A3CD=AB,BCu平面45c。，AB_LBC,所以BC_L

平面ABB/.

又ABu平面所以

因?yàn)锽C//gG，所以

因?yàn)锽|C|CA4=B1,所以AB_L平面ABC.

因?yàn)镋,E分別為AG，8G的中點(diǎn)，所以E///4B,所以所_L平面ABC

（2）設(shè)4G=a,由（1）得8￡，平面

由N4AB=60。，8A=2,得做=26，AC1=J12+4.

過(guò)點(diǎn)G作GW，。。，與。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，取AB的中點(diǎn)H,連接a”，AM,如圖所示,

又N4AB=60。，所以A4B4為等邊三角形，所以又平面AB用4_L平面ABC。，平面AB用4c平

面ABC￡）=AB,4"u平面A844,故4"_L平面ABC。.

因?yàn)锽CG用為平行四邊形，所以CCJ/B4,所以CCJ/平面44出耳.

又因?yàn)镃D//4B,所以C。//平面

因?yàn)镃GcCD=C,所以平面A4|BB|//平面。G".

由（1）,得8C,平面A4乃耳，所以BCJ_平面。GM，所以BCG”.

因?yàn)锽Cc￡）C=C,所以GM，平面ABCD,所以AM是A&與平面ABC。所成角.

因?yàn)镚BJ/CB,所以A與〃平面ABCO,與G〃平面A8CD,因?yàn)?用門￡用=旦，所以平面

ABCD//平面48cl.

MC\_g_亞

所以A〃=GM=6，sinZC.AM解得a=百.

AGy/12+a25

在梯形ABC。中，易證DELAB,分別以弦，而，麗的正方向?yàn)閤軸，），軸，二軸的正方向建立空間直角坐

標(biāo)系.

則A（1,O,O）,0（0,石,0）,A（0,0,6），B,（-2,0,73）,B（-l,0,0）,C（—1,6,0）,

由甌=(—1,0,6)，及函得G(—2,g,g),所以Q=(—3,6,百)，而=(一1,6,0),

/、tn-AC,=0,—3x.+yfiy.+=0,

設(shè)平面4OG的一個(gè)法向量為加=(%，X，zJ,由｛」.得<'令弘=1,得m=(3,l,2)

m,AD—0,—Xj+=0,

/、n*AC,=0,—3x>+=0,

設(shè)平面AAG的一個(gè)法向量為〃=(%,%，Z2)，由J/得-r-'令Z2=l，得

[〃.AA=0,[-x2+XJ3Z2=0,

〃=(62,1).

in-n3+2+277

所以<-九〃=麗=罰不赤策=瓦般=w

7

又因?yàn)槎娼?-AG-。是鈍角，所以二面角A-AC1-D的余弦值是—3.

8

20.(1)(-oo,0)0(V5-l,+a))；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)分類討論求解絕對(duì)值不等式即可；

(2)由(1)中所得函數(shù)，求得最小值M，再利用均值不等式即可證明.

【詳解】

(1)當(dāng)x<0時(shí)，〃丹〉回等價(jià)于/+2k一1|>一2,該不等式恒成立，

當(dāng)0<xWl時(shí)，/(x)>中等價(jià)于f—2x>0,該不等式解集為。,

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)〉豈1等價(jià)于％2+2彳一2>2，解得％〉6-1，

綜上，x<0或%>有一1，

所以不等式>曰的解集為(一8,0)。(6-1,+℃).

+2x—2,x>1

(2)/(X)=X2+2|X-1|=<

-2x+2,x<1

易得/(x)的最小值為L(zhǎng)即a+b+c=M=l

因?yàn)椤?，b,CGRS

a2+C22acb2+a22abc2+h22bc

所以----2---,------>——，------->——，

bbccaa

a2+c2b2+a2c2+b2(QC+4。]+(4。+A]+(QC+be)

所以-------+--------+----->---

bca\bc)\ca)\ba)

>2a+2b+2c=29

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=-時(shí)等號(hào)成立.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查利用分類討論求解絕對(duì)值不等式，涉及利用均值不等式證明不等式，屬綜合中檔題.

21.(1)證明見(jiàn)解析；(2)。=5.

【解析】

⑴將a=4代入函數(shù)解析式可得/(x)=-x+l,構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-x+1,求得g'(x)并令g'(x)=0,由導(dǎo)函

數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由g(x)gx=0即可證明g(x)40恒成立，即不等式得證.

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當(dāng)。>1時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況：當(dāng)(”4)(紇I)一時(shí),可知滿足題意；將不等式化簡(jiǎn)后

Ina

構(gòu)造函數(shù)g(a)=，2—5a+4-31na,a>l,利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為g(3),分別

依次代入檢驗(yàn)g(3),g(4),g(5),g(6)…的符號(hào)，即可確定整數(shù)。的最大值；當(dāng)("一4)("T)>3時(shí)不滿足題意,因

\na

為求整數(shù)。的最大值，所以0<。<1時(shí)無(wú)需再討論.

【詳解】

(1)證明：當(dāng)。=4時(shí)代入/(X)可得,f(x)=T+l,

令g(x)=lnx-x+1,XG(0,+OO),

則g'(x)=2T=、^，

XX

令g'(x)=0解得x=l,

當(dāng)