八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)及答案 21 梯形

專題21梯形

閱讀與思考

梯形是一類具有一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的特殊四邊形，梯形的主要內(nèi)容是等腰梯形、直

角梯形等相關(guān)概念及性質(zhì).

解決梯形問題的基本思路是：通過適當(dāng)添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，常見的輔

助線的方法有：

（1）過一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線（平移腰）；

（2）過一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線（平移對(duì)角線）；

（3）過較短底的一個(gè)頂點(diǎn)作另一底的垂線；

（4）延長(zhǎng)兩腰，使它們的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，將梯形還原為三角形.

如圖所示：

例題與求解

【例1】如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZD=2ZB,A￡＞和CO的長(zhǎng)度分別為a,b,那么

AB的長(zhǎng)是.（荊州市競(jìng)賽試題）

解題思路：平移一腰，構(gòu)造平行四邊形、特殊三角形.

【例2】如圖1,四邊形48CQ是等腰梯形，AB//CD.由四個(gè)這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的

平行四邊形.

（1）求四邊形ABCO四個(gè)內(nèi)角的度數(shù);

（2）試探究四邊形ABC。四條邊之間存在的等量關(guān)系，并說明理由；

（3）現(xiàn)有圖1中的等腰梯形若干個(gè)，利用它們你能拼出一個(gè)菱形嗎？若能，請(qǐng)你畫出大致的示意圖.

（山東省中考試題）

解題思路：對(duì)于（1）、（2）,在觀察的基礎(chǔ)上易得出結(jié)論，探尋上、下底和腰及上、下底之間的關(guān)

系，從作出梯形的常見輔助線入手；對(duì)于（3）,在（2）的基礎(chǔ)上，展開想象的翅膀，就可設(shè)計(jì)出若干

種圖形.

圖1

【例3】如圖，在等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=DC,HAC1BD,AF是梯形的高，梯形的面

積是49c〉,求梯形的高.

（內(nèi)蒙古自治區(qū)東四盟中考試題）

解題思路：由于題目條件中涉及對(duì)角線位置關(guān)系，不妨從平移對(duì)角線入手.

［例4］如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB=998,DC=1001,AZ）=1999,點(diǎn)P在線段

AO上，問：滿足條件NBPC=90°的點(diǎn)P有多少個(gè)？

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：根據(jù)A8+OC三4。這一關(guān)系，可以在上取點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形.

DC

【例5】如圖，在等腰梯形A8C￡>中，CD//AB,對(duì)角線AC,相交于。，/AC￡）=60°,點(diǎn)S,P,

Q分別為0￡>,OA,BC的中點(diǎn).

（1）求證：APOS是等邊三角形；

（2）若AB=5,C￡>=3,求△PQS的面積；

（3）若△PQS的面積與△AO。的面積的比是7：8,求梯形上、下兩底的比CO：AB.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：多個(gè)中點(diǎn)給人以廣泛的聯(lián)想：等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線等.

【例6】如圖，分別以△4BC的邊AC和BC為一邊，在△ABC外作正方形AC￡?E和C8FG,點(diǎn)P是

EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到邊AB的距離是AB的一半.

（山東省競(jìng)賽試題）

解題思路：本題考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì).關(guān)鍵是要構(gòu)造能運(yùn)用條件EP=

尸尸的圖形.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.等腰梯形中，上底：腰：下底=1：2：3,則下底角的度數(shù)是.

（天津市中考試題）

2.如圖，直角梯形ABCZ）中，ABLBC,AD=3,BC=5,將腰。C繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至

DE,連接AE,則的面積為.（寧波市中考試題）

3.如圖，在等腰梯形4BC3中，AB//CD,NA=60°,Z1=Z2,且梯形的周長(zhǎng)為30cm,則這個(gè)

等腰梯形的腰長(zhǎng)為

第2題圖

4.如圖，梯形ABCZ）中，AD//BC,EF是中位線，G是BC邊上任一點(diǎn)，如果SAGEF=2血。/，那

么梯形ABCD的面積為.（成都市中考試題）

5.等腰梯形的兩條對(duì)角線互相垂直，則梯形的高/z和中位線的長(zhǎng)加之間的關(guān)系是（）

A.m>hB.m—hC.m<hD.無法確定

6.梯形ABC。中，A8如<7,48=5,8。=3啦，/8。。=45（）,/。。4=60°,則“'的長(zhǎng)度是（）

A.7+-V3B.8C.9-D.8+V3E.8+3-\/3

32

（美國(guó)高中考試題）

7.如圖，在等腰梯形ABCQ中，AC=BC+AD,則NO8c的度數(shù)是（）

A.3O0B.45(,C.6O0D.9O0

（陜西省中考試

第8題圖

8.如圖，在直角梯形A8C。中，AD//BC,AB1BC,AD=2,BC=OC=5,點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則

當(dāng)以+PD取最小值時(shí)，/XAPO中邊AP上的高為（）

A.—V17B.—V17C.—V17D.3

171717

（鄂州市中考試題）

9.如圖，在等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD,點(diǎn)尸為BC邊上一點(diǎn)，PELAB,PF±CD,

BG1CD,垂足分別為E,F,G.求證：PE+PF=BG.

（哈爾濱市中考試題）

10.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,E,F分別為AB,AC中點(diǎn)，8。與EF相交于G.

求證：GF^^BC-AD）.

11.如圖，等腰三角形ABC中，4B=AC,點(diǎn)E,尸分別是48、4c的中點(diǎn)，CEJ_8/于點(diǎn)O.

求證：（1）四邊形E8CF是等腰梯形；

（2）EF2+BC2=2BE2.（深圳市中考試題）

12.如圖1,在等腰梯形A8CZ）中，AD//BC,E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作E/H8C交C。于點(diǎn)F,AB

—4,BC=6,ZB—60°.

（1）求點(diǎn)E到8c的距離；

（2）點(diǎn)尸為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過尸作PMLEF交BC于點(diǎn)M,過M作MN//AB交折線ADC

于點(diǎn)N,連接尸M設(shè)EP=x.

①當(dāng)點(diǎn)N在線段AO上時(shí)（如圖2）,△尸MN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△「〃義的周長(zhǎng)；

若改變，請(qǐng)說明理由.

②當(dāng)點(diǎn)N在線段QC上時(shí)（如圖3）,是否存在點(diǎn)尸，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所

有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（江西省中考試題）

B級(jí)

1.如圖，在梯形ABC￡>中，AB//DC,AD=BC,A8=10,CD=4,延長(zhǎng)BQ到E,使。E=QB,作

EFLAB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則AF=

（山東省競(jìng)賽試題）

第1題圖

2.如圖，在梯形A8C￡?中，AD俗C,AB=DC=\Ocm,4c與8。相交于G,且NAGD=60°,設(shè)E

為CG中點(diǎn)，尸是AB中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)為.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

3.用四條線段：。=142=13,c=9,d=7作為四條邊，構(gòu)成一個(gè)梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位

線的長(zhǎng)的最大值為.（湖北賽區(qū)選拔賽試題）

4.如圖，梯形ABC。的兩條對(duì)角線AC,8。相交于。點(diǎn)，且AO：C0=3：2,則兩條對(duì)角線將梯形

分成的四個(gè)小三角形面積之比為SMOD:SAOOC：SACOB:SMOB=.（安徽省中考試題）

第4題圖第5題圖第6題圖

5.如圖，在四邊形4BC。中，AD//BC,E是48的中點(diǎn)，若△￡>￡：（?的面積為S,則四邊形ABCZ）的

面積為（）

579

A.—SB.2SC.—SD.—S

244

（重慶市競(jìng)賽試題）

6.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,ZB=20°,ZC=70°,E,M,F,N分別為A8,BC,CD,

D4的中點(diǎn)，已知BC=7,MN=3,則E尸的值為（）

,1

A.4B.4-C.5D.6

2

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7.如圖，梯形ABC。中，AB//DC,E是AO的中點(diǎn)，有以下四個(gè)命題：①若AB+￡）C=BC,則/BEC

=90°；②若/BEC=90°,則AB+OC=BC；③若BE是NABC的平分線，則/8EC=90°；

④若A8+OC=BC,則CE是NOCB的平分線淇中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（重慶市競(jìng)賽試題）

8.如圖，四邊形A8CD是一梯形，AB//CD,ZABC^90°,AB9cm,BC^Scm,CD=7an,M是

AO的中點(diǎn)，從M作AO的垂線交BC于M則BN的長(zhǎng)等于（）

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.2.5cm

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

9.如圖，在梯形A8CO中，AB//DC,M是腰8c的中點(diǎn)，求證：S四邊形=削?AD

（山東省競(jìng)賽試題）

10.如圖，在梯形ABC。中,AO〃BC,分別以兩腰AB,CD為邊向兩邊作正方形力BGE和正方形DC/7F,

設(shè)線段AD的垂直平分線I交線段EF于點(diǎn)M求證：點(diǎn)M為EF的中點(diǎn).

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

11.已知一個(gè)直角梯形的上底是3,下底是7,且兩條對(duì)角線的長(zhǎng)都是整數(shù)，求此直角梯形的面積.

(“東方航空杯”上海市競(jìng)賽試題)

12.如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)丁=^^>0?>0)的圖象經(jīng)過矩形。48。的邊8。的

X

三等分點(diǎn)(DF=1BD)交AB于E,AB=12,四邊形OEB尸的面積為16.

3

(1)求左值.

(2)已知C(13,0),點(diǎn)尸從A出發(fā)以0.5c〃次速度沿A3、8。向。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從C同時(shí)出發(fā)，以

1.5c〃zZs的速度沿CO,OA,AB向B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).從運(yùn)

動(dòng)開始，經(jīng)過多少時(shí)間，四邊形PQCB為等腰梯形(如圖2).

(3)在(2)條件下，在梯形PQCB內(nèi)是否有一點(diǎn)使過M且與尸8,C。分別交于S,T的直線

把PQC8的面積分成相等的兩部分，若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)及CM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

圖1圖2

專題21梯形

例1a+b

例2⑴上底角為120°,下底角為60°；

⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰長(zhǎng);

⑶能拼出菱形，以下圖形供參考：

例37。"提示：過A作AE〃比(交C8延長(zhǎng)線于E,則S.EC=Stw源BS

例4(1)如圖a,若E為4力中點(diǎn)，則/BEC=90。且CE,BE分別平分NBC。，NABC；

⑵如圖4在2c上取一點(diǎn)M,使AB=MB,連結(jié)AMOM，則NAMD=90。；

⑶如圖c,將a,6組合，則四邊形GE//M為矩形.

ABABAB

.?.當(dāng)P為A。中點(diǎn)時(shí)，可以證明NBPC=90。；在AO上截取AP=A8,可以證明NBPC=90。，故滿足條

件/BPC=90。的點(diǎn)尸有2個(gè).

例5⑴連結(jié)SC,PB.；.Z\0C￡),40A8均為等邊三角形，S,P,Q分別為0D04BC中點(diǎn)，

.?.5。=；8。=$。=5「=;＞。.故45尸。為等邊三角形.

1]33

(2)VSB=^DO+OB=拳CS=WB，BC=7.

/\SPQ的邊長(zhǎng)SQ=￡BC=,，SASP2=錯(cuò)誤!x(錯(cuò)誤!)2=錯(cuò)誤!.

(3)設(shè)CQ=a,AB=伙a＜份,BC2=SC2+BS2=(錯(cuò)誤!a)2+0+錯(cuò)誤!)2=^z2+/+出,

???腿加2=錯(cuò)誤!(次+必+〃).又錯(cuò)誤匚錯(cuò)誤!，則&A8=錯(cuò)誤!必

又粉黑=%則SAAO.=%".，8x錯(cuò)誤!(a2+H+/)=7x錯(cuò)誤!

即2a2—5帥+2/=0,化簡(jiǎn)得￡=去故8AB=1:2.

例6如圖，分別過E,EC,P作A8的垂線，垂足依次為R,S,T,Q,則PQ就是點(diǎn)尸到AB的距離，且

有ER〃PQ〃C7〃尸S,故四邊形ERSF為直角梯形，PQ=^(ER+FS).

D

G

E

-n-

RQTB

易證照△AERGRLMAT,RiABFS學(xué)RtACBT,:?ER=AT,FS=BT,XAT+BT=AB=ER+FSf

故PQ=；AB.

A級(jí)

1.6002.33.6cm4.8y[2cm25.B6.D7.C

8.C提示:如圖，作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)。，連結(jié)。。交BC于E,連結(jié)A。交8c于P,過。作

DFLAP于E故PA+PD此時(shí)最小.

由2E=AO=2,EC=3,則可得：DE=4,.,.￡＞。=8,則4。,=2匹.

又?.?AO'-QF=AZ＞。。,則DF=-^[\1.

9.提示：過P點(diǎn)作PQLBG于Q,證明PE=8Q.

10.提示：連結(jié)￡>/并延長(zhǎng)交于BC于H,則G尸=羨8，，AD=CH.11.略

12.(1)V3

⑵①當(dāng)點(diǎn)N在線段4。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PMN形狀不發(fā)生改變，其周長(zhǎng)為小+巾+4.

②當(dāng)點(diǎn)在線段0c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PMN的形狀發(fā)生改變，但DVWC恒為等邊三角形，過E作EGL8C于

G。

當(dāng)FM=PN時(shí)，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2；

當(dāng)時(shí)，x=EP=GM=6-1-￡=5-6；

當(dāng)PN=MN時(shí),x=EP=GM=6-1-1=4

B級(jí)

1.42.5cm

3.10.5提示：以7,14作兩底的梯形中位線最長(zhǎng)

4.6：4：6：95.B6.A7.D

8.C提示：連結(jié)4V,DN,則4笈+8*=。儲(chǔ)