銀川市一中2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期期中考試卷附答案解析

銀川市一中2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期期中考試卷

一、單選題

1.已知命題P：VxeR,%2_》+1?0,下列1夕形式正確的是（）

A.-ip:3x()￡R,使得x；—%+120B.-np:3x0eR,使得片一%+1<O

22

C.—1夕:VxGR,%—x+1<0D.x-x+l<0

,2,2

2.橢圓工+二=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（)

1625

A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±9,0)D.(0,±9)

3.設(shè)耳、鳥分別是雙曲線VJ1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上,且四|=5,則|尸周=（）

4

A.1B.3C.3或7D.1或9

X2y2

4.“-3V2Z<4”是“方程+1表示橢圓”的（）條件

4-772〃7+3

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

5.甲、乙兩名同學(xué)在5次體育測試中的成績統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示,若甲、乙兩人的平均成績分別是展甲日乙,

則下列結(jié)論正確的是（）

甲乙

8-

28

I5

A.期：<x乙；乙比甲成績穩(wěn)定B.期3>%乙；甲比乙成績穩(wěn)定

C.期3>X乙；乙比甲成績穩(wěn)定D.期3<X乙；甲比乙成績穩(wěn)定

6.袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是

黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球.在上述事件中，是對立事件

的為（）

A.①B.②C.③D.@

7.若從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為（）

8.在古代，直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦''.三國時(shí)期吳國

數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖"（如圖）證明了勾股定理，證明方法敘述為：“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之

為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)這里的“實(shí)”可以理解為面積.這個(gè)證明過程體

現(xiàn)的是這樣一個(gè)等量關(guān)系：“兩條直角邊的乘積是兩個(gè)全等直角三角形的面積的和（朱實(shí)二），4個(gè)全等的直角三

角形的面積的和（朱實(shí)四）加上中間小正方形的面積（黃實(shí)）等于大正方形的面積（弦實(shí)）”.若弦圖中“弦實(shí)”

為16,“朱實(shí)一''為2有，現(xiàn)隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆（大小忽略不計(jì)），則其落入小正方形內(nèi)的概率為（）

9.圓A的半徑為4,圓心為A（—1,0）,8（1,0）是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，p是圓上任意一點(diǎn)，線段8P的垂直平分線

與半徑AP相交于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡方程為（）

2222

A.—+^—=1B.x2+y2=16C.—+—=1D.(x+1)2+y2=16

3443V77

10.已知P為橢圓異A=1上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M,〃分別為圓（X+3）2+y2=1和圓*一3）2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),

則I尸的最小值為（）

A.6B.7C.10D.13

22

11.雙曲線C:千-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,過點(diǎn)耳且斜率為6的直線與雙曲線的左

右兩支分別交于Ao兩點(diǎn)，若|QP|=|QE|,則雙曲線c的離心率為（）

VB+1D屈-1

A.V?B.V6

F-■-T~

12.橢圓￡+5=1的焦點(diǎn)分別為耳,鳥，弦AB過耳，若八486的內(nèi)切圓面積為力,AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

別為（玉,凹）和（W，%），則M的值為（）

39

A.6B.一C.一D.3

22

二、填空題

13.雙曲線工-丁=1的漸近線方程為_______.

9-

14.某中學(xué)共有360名教師，其中一線教師280名，行政人員55人，后勤人員25人，采取分層抽樣，擬抽取

一個(gè)容量為72的樣本，則一線教師應(yīng)該抽人.

15.天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率為40%,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨

的概率.可利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生。到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，如果我們用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,

9,0表示不下雨，順次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)如下：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113137989

,這三天中恰有兩天下雨的概率約為.

x

16.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：5之+3=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡、鳥，直線/過鳥，且和橢

圓C交于4夕兩點(diǎn)，/房=￡,△A/聲與居的面積之比為3：1,則橢圓C的離心率為_____________.

I叫I3

三、解答題

17.已知。<3,設(shè)p：X1-(3+a)x+3tz<0,g：x2+4x-5>0.

(1)若p是F的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若p是g的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.如圖，點(diǎn)"，居分別是橢圓。：1+與=1(。>〃>0)的左、右焦點(diǎn).點(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn)，且滿足A耳_LX

a~b~

軸，ZAgf；=30。，直線Ag與橢圓C相交于另一點(diǎn)a

(1)求橢圓C的離心率e；(2)若ABF,的周長為4g，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

19.某校為了解學(xué)生對食堂的滿意程度，做了一次問卷調(diào)查，對三個(gè)年級(jí)進(jìn)行分層抽樣，共抽取40名同學(xué)進(jìn)行

詢問打分，將最終得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],分成6段，并得到

如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù);

（2）若從打分區(qū)間在160,70）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩位同學(xué)，求抽出的兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)來自打分區(qū)間

[65,70）的概率.

20.某市2月份到8月份溫度在逐漸上升，為此居民用水也發(fā)生變化，如表顯示了某家庭2月份到6月份的用

水情況.

月份X23456

用水量y（噸）4.55677.5

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求關(guān)于x的線性回歸方程亍=殘+。.

（2）為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，該市自來水公司規(guī)定若每月每戶家庭用水不超過7噸，則水費(fèi)為2.5元/噸；若

每月每戶家庭用水超過7噸，則超出部分水費(fèi)為3元/噸.預(yù)計(jì)該家庭8月份的用水量及水費(fèi).

.七（七-可（力-9）

參考公式：回歸方程$=去+￡中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為B=用丁-------------

以七一可2

/=1

〃__

/=1八一

-----------,a=y—bx?

%2“一）一

Ei=l

x2y1[/

2L如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：萬=1(">8>0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A,B,\OA\+\OB\=3,

OAB的面積為1.

（1）求。的方程；

（2）若M,N是橢圓。上的兩點(diǎn)，魚MN/IAB,記直線8M,AN的斜率分別為人，^（左右彳。）,證

明：4M2為定值.

22

22.已知橢圓=+)=1(a〉。>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓

(廠友)

經(jīng)過點(diǎn)及，+.

I2)

(1)求橢圓〃的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線I：x=6+〃與橢圓〃相交于45兩點(diǎn)，且以線段引為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)G求A3C面

積的最大值.

解析

銀川市一中2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)(理)上學(xué)期期中考試卷

一、單選題

2

1.已知命題P：VxeR,x-x+l>().下列rP形式正確的是()

A.-np:Hx0eR,使得*一天+120B.玉0eR,使得片一天)+1<0

22

C.「〃：VxeR,x_x+i<oD.-i〃：VxeR,%-%+1<0

【答案】B

【分析】全稱命題的否定是特稱命題，否定量詞，否定結(jié)論.

【詳解】否定量詞，否定結(jié)論，即玉”R,使得片一天)+1<0.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

22

2.橢圓工+工=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

1625

A.(±3,0)B.(O,±3)C.(±9,0)D.(0,±9)

【答案】B

【解析】

22

根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1,則其焦點(diǎn)在)'軸上，且/=25，/=16,

1625

則°=3,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±3)，故選B.

2

3.設(shè)耳、鳥分別是雙曲線V—\=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|P周=5,則歸圖=()

A.1B.3C.3或7D.1或9

【答案】C

【解析】

由雙曲線的定義得，||尸團(tuán)一歸瑪||=2,又因?yàn)殛東=5,則|Pq=.3或7,故選C.

22

4.“-3<戰(zhàn)4”是“方程=二+^^=1表示橢圓”的（）條件

4一根m+3

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

X2V21

【分析】求出方程一^+3一二1表示橢圓的充要條件是一3<m<4且加由此可得答案.

4-mm+32

4一〃z〉0

y22J

【詳解】因?yàn)榉匠?+上V-=1表示橢圓的充要條件是《機(jī)+3>0，解得一3〈〃2〈4且加。彳，

4-mm+3.2

4一"2W機(jī)+o3

22

所以是“方程」—+工—=1表示橢圓”的必要不充分條件.

4-mm+3

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了由方程表示橢圓求參數(shù)的范圍，考查了充要條件和必要不充分條件，本題易錯(cuò)點(diǎn)警示:漏掉

4—根￥〃2+3,本題屬于基礎(chǔ)題.

5.甲、乙兩名同學(xué)在5次體育測試中的成績統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如圖所示.若甲、乙兩人的平均成績分別是福G乙,

則下列結(jié)論正確的是（）

甲乙

27878

6828

2915

A.“舉<x乙；乙比甲成績穩(wěn)定

B.期>>%乙；甲比乙成績穩(wěn)定

C.期3>%乙；乙比甲成績穩(wěn)定

D.jctp<x乙：甲比乙成績穩(wěn)定

【答案】A

【分析】根據(jù)公式求出甲、乙兩人的平均分即可判別焉與顯的大小，通過觀察莖葉圖的離散程度可得乙成績更

穩(wěn)定.

春=72+77+78+86+92=8],

【詳解】

五=78+82+88+91+95=86.8,

5

m<X乙

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)分布，

甲的數(shù)據(jù)大量集中在七十幾，八十兒和九十兒各占一個(gè)，

乙的數(shù)據(jù)集中在八十幾和九十幾，所以乙比甲穩(wěn)定.

故選：A.

6.袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是

黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球.在上述事件中，是對立事件

的為()

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】事件4和8的交集為空：4與8就是互斥事件，也叫互不相容事件，強(qiáng)調(diào)的是事件不能同時(shí)發(fā)生；它們

必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件叫做對立事件，是互斥事件的特例，滿足互斥的情況，還得滿足/交8為全集；

【詳解】有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球：

①是互斥事件，但不是對立事件；

②是互斥事件，同時(shí)也是對立事件；

③既不是互斥事件，也不是對立事件；

④既不是互斥事件，也不是對立事件；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了對立事件的概念，兩個(gè)事件在時(shí)間上互斥同時(shí)還共同構(gòu)成一個(gè)全集，屬于簡單題；

7.若從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為()

4321

A.-B.-C.-D.一

5555

【答案】C

【解析】

從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，&=20

這個(gè)兩位數(shù)大于40,則十位數(shù)字為4或5,共有C\C\=8.

Q2

概率%3=手

故選C.

點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法

(1)列舉法.

(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，

常采用樹狀圖法.

(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.

（4）排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.

8.在古代，直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.三國時(shí)期吳國

數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”（如圖）證明了勾股定理，證明方法敘述為：“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之

為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí).”這里的“實(shí)”可以理解為面積.這個(gè)證明過程體

現(xiàn)的是這樣一個(gè)等量關(guān)系：“兩條直角邊的乘積是兩個(gè)全等直角三角形的面積的和（朱實(shí)二），4個(gè)全等的直角三

角形的面積的和（朱實(shí)四）加上中間小正方形的面積（黃實(shí)）等于大正方形的面積（弦實(shí)）”.若弦圖中“弦實(shí)"

為16,“朱實(shí)一''為2g,現(xiàn)隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆（大小忽略不計(jì)），則其落入小正方形內(nèi)的概率為（）

4l-y/36D1有

A?Jij.V??-----L）?|

8222

【答案】D

【解析】

?.?弦圖中“弦實(shí)”為16,“朱實(shí)一”為26

大正方形的面積為16,一個(gè)直角三角形的面積為2G

與=2百

設(shè)“勾”為X,“股”為y,則《2一'，解得一=4或％2=12.

X2+y2=16

???X<y*2=4,即X=2.y=2g...小正方形的邊長為y—x=26一2

工隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆（大小忽略不計(jì)），則其落入小正方形內(nèi)的概率為P=（26-2）2=1—苴.

162

故選D.

9.圓A的半徑為4,圓心為4（—1,0）,8（1,0）是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，尸是圓上任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線

與半徑AP相交于點(diǎn)0,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。的軌跡方程為（）

2222

A.^—+^—=1B.%2+y2=16C.-----1■上-=]D.（x+1）~+V'=16

3443）

【答案】C

【分析】數(shù)形結(jié)合利用垂直平分線的定義得到動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)A、B的距離之和為定值4（大于兩定點(diǎn)間的距離

AB=2）,符合橢圓定義，從而得到橢圓方程.

【詳解】解：如圖，直線/為線段3P的垂直平分線,

連接BQ,由線段垂直平分線的性質(zhì)得：BQ=PQ,

而半徑AP=AQ+PQ,且A、8兩點(diǎn)為定點(diǎn)，

AQ+BQ=4>AB=2,

,由橢圓定義得：。點(diǎn)軌跡是以A、6兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4,2c=2,

a=2,c=1，；.b=5/3>

,x2y2

.1橢圓方程為：---1=1>

43

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓方程的求法，考查了直線的垂直平分線的性質(zhì)，是中檔題，也是

軌跡方程的常見題型.

22

10.已知P為橢圓言+誓=1上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M,“分別為圓0+3）2+=1和圓（X—3）2+9=4上的動(dòng)點(diǎn),

貝1]|。叫+忸2的最小值為（）

A.6B.7C.10D.13

【答案】B

【分析】先求橢圓焦點(diǎn)和定義定值，圓心、半徑，利用圓的性質(zhì)判定P與焦點(diǎn)連線時(shí)1pMi+|PN|最小，再計(jì)

算即得結(jié)果.

22

【詳解】依題意可知，橢圓會(huì)+：=1的焦點(diǎn)分別是兩圓（x+3）2+y2=l和（x—3）2+y2=4的圓心

耳（一3,0）,鳥（3,0）,根據(jù)定義|P￡|+|P閭=2a=10,兩圓半徑為耳=1,2=2,

故橢圓上動(dòng)點(diǎn)P與焦點(diǎn)連線時(shí)與圓相交于弘A'時(shí)，|PM+|PN|最小，最小值為2。一「一4=10—1-2=7.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)和橢圓的定義，屬于中檔題.解題關(guān)鍵在于兩圓圓心是橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義

和圓的性質(zhì)即解決最小距離問題.

22

11.雙曲線C:，-方=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過點(diǎn)"且斜率為6的直線與雙曲線的左

右兩支分別交于A0兩點(diǎn)，若|QH=|0E|,則雙曲線c的離心率為（）

V5+1口至T

A.幣B.V6

2--丁

【答案】C

【分析】由|明|一|%|=2a,且|0|卻2]，可得|尸耳|=勿，再結(jié)合歸闖-歸耳|=勿，可得|%|=4。，

進(jìn)而在△尸耳耳中，由余弦定理可得到齊次方程。2—〃一3a2=0,求出￡即可.

【詳解】由題意,可得|Q耳|一|。閭=勿,

因?yàn)閨QP|=|QE|，所以|尸耳|=|。6H。周=2%

y.\PF2\-\PF,\=2a,所以|P閭=4a,

在鳥中，tanNP耳E=J§,即NP耳工=],

耳巴|2-|尸瑪/4a2+4。2-16/1

由余弦定理，可得cosNP耳用=

2|明周一-2x2a義2c~~2

整理得02—ac—34=0,則3（」=。,即e2—e—3=0,解得e=H巫，

a22

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：

（1）由條件直接求出小。（或。/或仇c）,或者尋找a,c（或a/或6,c）所滿足的關(guān)系，利用

（2）根據(jù)條件列出。，c的齊次方程，利用e=一轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，解方程即可，注意根據(jù)e>l對所得解進(jìn)

a

行取舍.

12.橢圓獲+,=1的焦點(diǎn)分別為百，用，弦AB過耳，若八48瑪?shù)膬?nèi)切圓面積為乃，A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

別為（玉，X）和（W，％），則瓦一為|的值為（）

39

A.6B.—C.-D.3

22

【答案】D

【解析】

△AB用的內(nèi)切圓面積為萬

，r=1,

由題意得：a=3,b=V5>c=2

5兇監(jiān)=gx（AB+B6+A6）xl=gx4a=6

又S.B&=gx2cx|x一%|=6

山一%|=3

故選。

點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查了學(xué)生

的計(jì)算能力，本題的關(guān)鍵是求出兒鉆工的面積，易知人鉆入的內(nèi)切圓的半徑長r=l,從而借助三角形的面積,

利用等面積法求解即可，屬于中檔題.

二、填空題

2

13.雙曲線上-丁=1的漸近線方程為

9-

【答案】±x-3y=0

2

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在橫軸上雙曲線的漸近線方程的形式直接求出雙曲線工-V=1的漸近線方程.

9

【詳解】通過雙曲線方程可知：雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，。=3/=1,所以雙曲線三-丁=1的漸近線方程為:

9

h1

y=±-x=>y=±—x=>±x-3y=0.

故答案為±x-3y=0

【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線的漸近線方程，通過雙曲線方程判斷雙曲線的焦點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

14.某中學(xué)共有360名教師，其中一線教師280名，行政人員55人，后勤人員25人，采取分層抽樣，擬抽取

一個(gè)容量為72的樣本，則一線教師應(yīng)該抽人.

【答案】56

【分析】用樣本容量乘以一線教師所占的比例，即為所求.

2807

【詳解】一線教師占的比例為二=一

3609

7

故應(yīng)抽取的一線教師人數(shù)為72x—=56.

9

故答案為：56.

15.天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率為40%,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨

的概率.可利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生。到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，如果我們用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,

9,0表示不下雨，順次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)如下：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113137989

,這三天中恰有兩天下雨的概率約為.

【答案】30%

【分析】由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三

天中恰有兩天下雨的可以通過列舉得到共5組隨機(jī)數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果.

【詳解】由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，

在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191、271、932、812、393、137.

共6組隨機(jī)數(shù)，

,所求概率為4=30%.

故答案為：30%.

【點(diǎn)睛】本題考查模擬方法估計(jì)概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解這種題目的主要依據(jù)是等可能事件的概率，注意列舉

法在本題的應(yīng)用.

16.己知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：=1（。＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、直線1過鳥，且和橢

F2,

IA用二3

圓。交于48兩點(diǎn),Wl-5△A耳區(qū)與486月的面積之比為3：1,則橢圓C的離心率為

【答案】受

2

【分析】設(shè)用=3x,忸制=5x,|A閭=3y,忸周=y,根據(jù)橢圓的定義可得％,進(jìn)而得出耳尸?

為等腰直角三角形，從而求得離心率.

由點(diǎn)8作軸，同時(shí)也過點(diǎn)A向1軸引垂線,

5./醫(yī)：S%心=3:1,且AOF2BPF2

.?」9I：忸國=3:1,

^\AF2\=3y,\BF2\=y,

由|然|+|町|=|跖|+忸閭=2a,

?,.3x+3y=5x+y,「?x=y,

所以|州|+|47^=51+丁=5工+1=6%,

所以|A6|=3x,A耳鳥為等腰三角形，

.'.\AI^—3x+x-4x,|Bfj|=5x,

.?.|AG『+|A8「=|8￡「，.?.A耳8為直角三角形,

.?.A4_LA&,二A4耳鳥為等腰直角三角形,

：.OFX=OA^~AF.，

OF{=c,AF1=a,

血

一

即e二￡二2

a

也

故答案為：2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的離心率問題，關(guān)鍵是利用橢圓的定義判斷出4A耳心為等腰直角三角形,

考查了計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題

17.已知。<3,設(shè)p：f_(3+a)x+3a<0,q：x2+4x-5>0.

(1)若P是F的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若p是。的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)a<-5；(2)1<?<3

【分析】(1)解不等式x2—(3+a)x+3a<0,可得命題p所對應(yīng)的集合A,解不等式丁+4工一5>0，可

得命題g所對應(yīng)的集合8，由P是^4的必要不充分條件，可得rqnp,且°推不出M,從而可得QBA，

進(jìn)而建立不等關(guān)系，可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)由p是°的充分不必要條件，可得P=q,且g推不出。從而可得AB,進(jìn)而建立不等關(guān)系，可求

出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】(1)因?yàn)閤?—(3+a)x+3a=(x——3)<。，且a<3,

所以a<無<3,記集合A={x[a<x<3},

又因?yàn)?4x-5>0，所以x<-5或x>l,

記集合B={x[x<-5或x>l},則為8={x|-54x41},

因?yàn)?是rq的必要不充分條件，所以rqnp,且。推不出rq,

所以48A,即{m一54%41}{x[a<x<3},

—5〉a

所以《，即”<一5.

a<3

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<-5.

(2)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，則有P=4,且q推不出仍

所以AB,即{x[a<x<3}{目光<-5或x>l},

a<3

所以〈,即1WQ<3.

a>\

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1<a<3.

r22

18.如圖，點(diǎn)片，鳥分別是橢圓C:一+=v=1(。>〃>0)的左、右焦點(diǎn).點(diǎn)2是橢圓。上一點(diǎn)，且滿足AF.lx

a"b

軸，NAg耳=30。，直線Ag與橢圓。相交于另一點(diǎn)8

（1）求橢圓C的離心率e；

（2）若的周長為4壞，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

瓜22

【答案】（1）21；（2）土+匕=1

332

【分析】（1）通過求解直角三角形，得到月|=2空，恒鳥|=￥^,結(jié)合橢圓定義即可求得離心率;

（2）通過橢圓定義，結(jié)合三角形的周長，求出a,再利用離心率和/="+。2,即可得解.

【詳解】（1）RtZXAKE中，44耳片=30。，⑶周=2c,

由日耨即冬噂，解得|吠季

即迫」解得|A馬=3^

cos30°

函’2\AF2\

,由橢圓的定義，得2a=|A制+|人用=￥^+￥^,即a=6c，

離心率g=—=；

a3

(2)Am的周長=|"；|+忸制+|AB|=|g|+忸制+|Ag|+忸閭=4a=4j§,

a=A/3，

e———???c=11??〃=/—c>2=2,

a3

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

32

【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中涉及到橢圓的定義，考查了學(xué)生對這些知識(shí)的掌

握能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.某校為了解學(xué)生對食堂的滿意程度，做了一次問卷調(diào)查，對三個(gè)年級(jí)進(jìn)行分層抽樣，共抽取40名同學(xué)進(jìn)行

詢問打分，將最終得分按［60,65）,［65,70）,［70,75）,［75,80）,［80,85）,［85,90］,分成6段，并得到

如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；

（2）若從打分區(qū)間在［60,70）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩位同學(xué)，求抽出的兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)來自打分區(qū)間

［65,70）的概率.

14

【答案】（1）a=0.04,中位數(shù)為77.5；（2）—.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1,由Q】（02-儆女05（蝴51x=

求得a,然后利用中位數(shù)公式求解.

（2）先分別得到打分區(qū)間在［60,65）和打分區(qū)間在［65,70）的同學(xué)的人數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】（1）因?yàn)轭l率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1,

所以（0.（）1+0.02+a+0.06+0.05+（）.02）x5=1,

解得a=0.04,

所以中位數(shù)為75+80=77.5；

2

（2）打分區(qū)間在［60,65）的同學(xué)共有10x0.01x5=2人，分別記為A3,

打分區(qū)間在［65,70）的同學(xué)共有40x0.02x5=4人，分別記為a,b,c,d,

從這6人中隨機(jī)抽出兩位同學(xué)，共有以下15種情況：

AB,Aa,Ah,Ac,Ad；Ba,Bb,Be,Bel-ah,",ad；he,bd；cd

其中，至少有一位同學(xué)來自打分區(qū)間［65,70）共有14種情況：

Aa,Ab,Ac,Ad；Ba>Bb,Be,Bd；ab,皿，ad；be,bd；cd

14

所以至少有一位同學(xué)來自打分區(qū)間［65,70）的概率為P=百.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用頻率分布直方圖：

求概率根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1求解；

求中位數(shù)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和的;對應(yīng)點(diǎn)求解；

求平均數(shù)根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形橫坐標(biāo)中點(diǎn)與其概率之積的和求解；

20.某市2月份到8月份溫度在逐漸上升，為此居民用水也發(fā)生變化，如表顯示了某家庭2月份到6月份的用

水情況.

月份無23456

用水量y(噸)4.55677.5

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求￥關(guān)于％的線性回歸方程$=去+6.

(2)為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，該市自來水公司規(guī)定若每月每戶家庭用水不超過7噸，則水費(fèi)為2.5元/噸；若

每月每戶家庭用水超過7噸，則超出部分水費(fèi)為3元/噸.預(yù)計(jì)該家庭8月份的用水量及水費(fèi).

￡(乙-方)(》一方

參考公式：回歸方程$=去+6中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為B=上―-------------

￡(看一可,

i=l

__

Yx<y<-nxy

號(hào)----------，a=y-bx.

￡龍；_欣2

;=1

【答案】(1)9=0.8x+2.8；(2)9.2噸，24.1元.

【分析】(1)根據(jù)最小二乘法公式，計(jì)算可的結(jié)果；

(2)根據(jù)回歸直線方程預(yù)測該家庭8月份的用水量，再根據(jù)題意計(jì)算出水費(fèi).

【詳解】(1)亍=:(2+3+4+5+6)=4,歹=((4.5+5+6+7+7.5)=6,

火(天一可(y—y)=(2—4)(4.5-6)+(3-4)(5-6)+(4-4)(6-6)+(5-4)(7-6)+(6-4)(7.5-6)=8

/=1

5

,2(七一元)“=(2—4)2+(3—4)2+(4—4)2+(5—4)2+(6—4)2=10.

i=\

￡(七—可(乂一9)

8

0.8,

/.h=----------------To

J2

Ei=\U-)

￡=了-方=6-0.8x4=28

》關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.8x+2.8；

(2)當(dāng)x=8時(shí)，9=0.8x8+2.8=9.2噸，

水費(fèi)為7x2.5+（9.2—7）x3=24.1元.

???預(yù)計(jì)該家庭8月份的用水量為9.2噸，水費(fèi)為24.1元.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)最小二乘法求回歸直線方程，考查了根據(jù)回歸直線方程對總體進(jìn)行預(yù)測，屬于基礎(chǔ)題.

21.如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:二+反\（a>b>0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A,BM+|Q3|=3,

0AB的面積為1.

（1）求。的方程；

⑵若M,N是橢圓。上的兩點(diǎn)，電MNHAB,記直線8M,AN的斜率分別為勺，&（￡&。0）,證

明：勺?《為定值?

2

【答案】（1）二+丁=1；（2）證明見解析.

4

【分析】（1）求出后可得。的方程.

（2）設(shè)直線MN的方程y=-gx+加，設(shè)）,N（w，%），用此兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示4/，聯(lián)立直線MN

的方程和橢圓的方程后消去》，利用韋達(dá)定理可證勺?區(qū)為定值?也可以設(shè)“（不，乂）），求出MN的方程后再

求出N后可證人一％2為定值.

a+b—3,

【詳解】（1）解：由題意知，\1

—ab-i,

[2

丫2

由于a>0〉0,解得a=2,b=l,故C的方程為上+y2=i.

4

⑵證明：由⑴得A（2,0）,8（0,1）,直線AB的斜率為

（方法一）因?yàn)锳BHMN,故可設(shè)MN的方程為丫=一；尤+機(jī).

設(shè)”（“J,N（W，M），

1

y=——x+m,

2

聯(lián)立《2消去y，Wx2-2mx+2m2-2=0,

Xi

~r+y2=L

L4

所以％+毛=2加，從而工2=2，〃一玉.

1?1

直線的斜率心,y.-12'直線AN的斜率“一%_2-

?——鼠2—彳一1―

%%x2-2x2-2

齷+〃「/+…13“；（〃一）3；出+小

所以占必

%2—2玉（馬一2）百

；再入2一；加（工1+%）+；入2+加（加一1）；xxx2一;〃2?2m+；(2加+

xxx2-2x（XjX2-2芭

1_11

產(chǎn)2-/%J故乂W2=:為定值.

xxx2-2Xj4

2

（方法二）設(shè)〃（%，%），彳■+y；=l.

因?yàn)橛肗7/AB,所以的方程為y=一；（無一%）+%，

)=_#70)+為,

聯(lián)立《2消去y,得元2-(％+2%)%+2入0%=0,

—+y-=1,

I4-

解得x=x0（舍去）或x=2%,

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為

則上.左=/=即為定值

,22%-2與44

【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)

系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于*或y的一元二次方程，再把要求解的

目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)