初中數(shù)學(xué)三角形、四邊形、圓的輔助線做法

初中數(shù)學(xué)三角形、四邊形、圓的輔助線做法

三角形部分

1.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不

出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線

段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)

證題.

例:如圖，已知。、￡為44?。內(nèi)兩點(diǎn)，求證：AB+AOBD

+DE+CE.

證法（一）：將。E向兩邊延長(zhǎng)，分別交力8、4c于Af、N

在中，AM+AN>MD+DE+NE①

在ABDM中，MB+MD>BD②

在△CEN中，CN+NE>CE③

①+②+③得

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

：.AB+AC>BD+DE+CE

證法（二）延長(zhǎng)交4C于尸,

延長(zhǎng)C￡交"于G,

在NWB尸和4G尸C和△GQE中有，

①AB+AF>BD+DG+GF

@GF+FC>GE+CE

@DG+GE>DE

.?.①+②+③有

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+

DE

：.AB+AC>BD+DE+CE

注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過(guò)引輔助

線，把求證的量(或與求證有關(guān)的量)移到同一個(gè)或幾個(gè)三角

形中去然后再證題.

練習(xí)：已知：如圖。為"8C內(nèi)任一點(diǎn)，

求證：L(AB+BC+AC)<R4+PB+PC<AB+BC+AC

2.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的

不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)

造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處

在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.

例:已知。為△/8C內(nèi)任一點(diǎn)，求證：ZBDC>ABAC

證法（一）：延長(zhǎng)8。交4C于￡,

■:/BDC是AEDC的外角，

：.ZBDC>ZDEC

同理：ADEC>ABACB

：.ZBDC>ABAC

證法（二）：連結(jié)力。并延長(zhǎng)交8C于歹

???N8Z邛是△48。的外角，

/.ZBDF>/BAD

同理NCQb>ACAD

/.ZBDF+ZCDF>ABAD+ACAD

即：ZBDOZBAC

3.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.

例:已知，如圖，力。為△A8C的中線且Nl=Z2,N3=Z

4,

求證：BE+CF>EF

證明：在。4上截取=連結(jié)NE、NF,貝

在ABDE和△%￡)￡中，

DN=DB

Zl=Z2

ED=ED

：.4BDE式ANDE

:,BE=NE

同理可證：CF=NF

在△￡FN中，EN+FN>EF

：.BE+CF>EF

4.有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全

等三角形.

為△48C的中線，且N1

Z4,求證：BE+CF>EF

證明：延長(zhǎng)ED到“，使DM=DE,連結(jié)CM、FM

ZXBDE和△cnw中，

BD=CD

Zl=Z5

ED=MDM

:.4BDEmACDM

:.CM=BE

又?.?Nl=Z2,N3=Z4

N1+N2+N3+Z4=180°

AZ3+N2=90。

即b=90。

ZFDM=ZEDF=90°

/\EDF和中

ED=MD

/FDM=/EDF

DF=DF

MEDF^AMDF

：,EF=MF

?.,在△CM/中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此題也可加倍尸。證法同上）

5.在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形.

例:已知，如圖，4）為A46C的中線，求證：/8+4O24D

證明：延長(zhǎng)4□至￡使?！?4僅連結(jié)

?.z。為△力5c的中線

：.BD=CD

A

在A4C。和△匹。中

\,*DC

BD=CD\/

Zl=Z2E

AD=ED

：.^ACD^/\EBD

叢ABE中有>/￡

：.AB+AC>2AD

6.截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法

截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；

補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法.

當(dāng)已知或求證中涉及到線段。、b、c、d有下列情況之一時(shí)用

此種方法：

①a〉b

②a土b=c

③a土方=c±d

E例:已知.如圖，在△力BC中，AB>AC,Zl=Z2,P為AD

上任一點(diǎn)，

求證：AB-AOPB-PC

證明：⑴截長(zhǎng)法：在Z3上截取ZN=NC連結(jié)PN

在△ZPN和中，

AN=AC

Zl=Z2

AP=AP

：.AAPNmAAPC

：.PC=PN

"：/\BPN中有PB-PC〈BN

：.PB-PC<AB-AC

⑵補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC至M使=連結(jié)PW

在AABP和中

AB=AM

Zl=Z2

AP=AP

：."BPm"MP

：.PB=PM

又：在△PCN中有CM>PM-PC

：,AB-AC>PB-PC

練習(xí)：1.已知，在A48C中，人=60。皿C￡是A48C的角

平分線，并且它們交于點(diǎn)。

求證：AC=AE+CD

2.已知，如圖，AB//CDZ1=Z2,Z3=Z4.

求證：BC=AB+CD

7.條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形.

例:已知于4,BCBD于B

求證：AD=BC

證明：分別延長(zhǎng)'、CB交于點(diǎn)E

\'AD±ACBC±BD

：.ZCAE=ZDBE=90°

在△QBE和△0￡中

ZDBE=ZCAE

BD=AC

ZE=Z￡

4DBE義ACAE

：.ED=EC,EB=EA

：.ED-EA=EC-EB

：.AD=BC

8.連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)解決問(wèn)

題.

例:已知，如圖，AB//CD,AD//BC

求證：AB=CD

證明：連結(jié)力。域8。）J

'：AB//CD,AD//BCB%

AZI=Z2

在A44C和△CD4中，

Zl=Z2

AC=CA

Z3=Z4

△ABgACDA

：.AB=CD

練習(xí)：已知，如圖，AB=DC,AD=BC,DE=BF,

求證：BE=DF

D)

B

9.有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。可歸結(jié)

為“垂直加平分出等腰三角形

例:已知，如圖，在&A48C中，AB=AC,ZBAC=90°,Z

1=Z2,的延長(zhǎng)線于￡

求證：BD=2CE

證明：分別延長(zhǎng)歷i、CE交于F

■:BE1CF

：.ZBEF=ZBEC=90°

在2BEF和aBEC中

Zl=Z2

BE=BE

NBEF=/BEC

:.△BEFmABEC

:?CE=FE=LCF

2

,：/BAC=90。，BE_LCF

：.ABAC=ZCAF=90°

Z1+ABDA=90。

Z1+NBFC=90。

/BDA=ZBFC

在AABD和△力CF中

ABAC=/CAF

/BDA=ZBFC

AB=AC

：.AABDmLACF

:.BD=CF

:,BD=2CE

練習(xí)：已知，如圖，/ACB=3/B,N1=N2,CO_L4。于僅

求證：AB-AC=2CD

10.當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接

起來(lái)構(gòu)造全等三角形.

例:已知，如圖，AC.8。相交于O,^AB=DC,AC=BD,

求證：/力=ZD

證明：（連結(jié)3C,過(guò)程略）

11.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題

提供條件.

例:已知,如圖，AB=DC,N4=/D

求證：ZABC=ZDCB

證明：分別取A。、8c中點(diǎn)N、M

連結(jié)NB、NM、NC（過(guò)程略）

12.有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題.

例:已知，如圖，Zl=Z2,P為BN上一點(diǎn),JaPDLBC

于。AB+BC=2BD,

求證：ZBAP+ZBCP=180°

證明：過(guò)尸作于￡

*：PD1BC,Zl=Z2

：,PE=PD

在RtABPE和RtABPD中

BP=BP

PE=PD

：,Rt/\BPE^Rt/\BPD

：.BE=BD

■:AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE

:?AE=CD

■:PE1BE,PDVBC

ZPEB=ZPDC=90°

在△PE/和△POC中

PE=PD

Z.PEB=/PDC

AE=CD

:APEAmAPDC

:./PCB=AEAP

'：ZBAP+ZEAP=180。

：.ZBAP+ZBCP=180。

練習(xí)：1.已知，如圖，P4、PC分別是△力外角/MZC與N

NC4的平分線，它們交于P,

PD1BM于M、PF1BN于F、求證：8P為NM8N的平分線

2.已知，如圖，在八48。中，Z^5C=100°,ZACB=20°,CE

是/4C6的平分線，。是4C上一點(diǎn)，若NC6Q=20。，求N

CED的度數(shù)。

13.有等腰三角形時(shí)常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

例:已知，如圖，AB=AC,8Z5_L4C于。，

求證：/BAC=2NDBC

證明：（方法一）作/a4C的平分線交BC于E,則N1

=22=L2/BAC

y^'：AB=AC

：.AEVBC

：.Z2+ZACB=90°

\'BD1AC

：.ZDBC+ZACB=90°

/.Z2=ZDBC

：.ZBAC=2ZDBC

（方法二）過(guò)/作4￡_18。于￡（過(guò)程略）

（方法三）取8C中點(diǎn)￡;連結(jié)（過(guò)程略）

⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線

例:已知，如圖，△ZBC中，AB=AC,D為8c中點(diǎn),DE±

AB于E,DFLAC^F,

求證：DE=DF

證明：連結(jié)力D

???。為中點(diǎn),

：.BD=CD

又

：.AD平分NA4c

DELAB,DFYAC

：.DE=DF

⑶將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題

例:已知，如圖，AJ8C中，AB=AC,在8Z延長(zhǎng)線和4C上

各取一點(diǎn)￡、，使=求證：EF1BC

證明：延長(zhǎng)BE到N,使力N=Z8,連結(jié)CN,貝IJ48=4N=4C

ZB=ZACB,ZACN=ZANC

'：ZB+ZACB+ZACN+/ANC=180°

：.2ZBCA+2ZACN=180°

/BCA+N/CN=90。/

即NBCN=90。U/XI

:?NC【BC

'：AE=AF

：?/AEF=ZAFE

又,：/BAC=ZAEF+ZAFE

ZBAC=ZACN+ZANC

：.ZBAC=2ZAEF=2ZANC

：.ZAEF=ZANC

：.EF//NC

：.EFVBC

⑷常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線

例:已知，如圖，在△ABC中，AB=AC,。在上，E在

4C延長(zhǎng)線上，且連結(jié)交8C于尸

求證：DF=EF

證明：（證法一）過(guò)。作。N〃力￡,交BC于N,貝IJN0N8=

ZACB,/NDE=ZE,

?：AB=AC,

：.ZB=/ACB

:./B=/DNB

：.BD=DN

又?：BD=CE8

?"ECBA

在ADNF和△EC/7中'

Zl=Z2A

/NDF=/E^\c

DN=EC、

:.△DNFQ4ECF

:?DF=EF

（證法二）過(guò)E作EM〃々交8c延長(zhǎng)線于〃,則/成歸=

/B（過(guò)程略）

⑸常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線

例:已知，如圖，入48。中，AB=AC,￡在力。上，D在B4

延長(zhǎng)線上，且4。=/瓦連結(jié)?！?/p>

求證：DELBC

證明：（證法一）過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC交于F,貝IJ

/AFE=NB

:./B=/C

：.ZAFE=ZAEF

\'AD=AE

???/AED=/ADE

又AAFE+NAEF+ZAED+/ADE=180°

：.2ZAEF+2ZAED=90°

即/小。=90。

：.DELFE

又,：EF〃BC

：.DEYBC

（證法二）過(guò)點(diǎn)。作。N〃BC交CZ的延長(zhǎng)線于N,（過(guò)程略）

（證法三）過(guò)點(diǎn)4作交。后于（過(guò)程略）

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形一一等邊三角形

例:已知，如圖，△48。中，AB=AC,ZBAC=80°,P為

形內(nèi)一點(diǎn)，若乙如。=10。ZPCB=300求/為8的度數(shù).

解法一：以48為一邊作等邊三角形，連結(jié)C￡

貝叱氏4￡=N/8E=600

AE=AB=BE

*：AB=AC

：.AE=AC/ABC=/ACB

：.ZAEC=ZACE

ZEAC=ZBAC-ZBAE=80°-60°=20°

/.ZACE=1（180°-ZEJQ=80°

2A

/ACB=1（180°-ZBJQ=50°

/BCE=/ACE-/ACB

=80°-50°=30°

,?Z.PCB=30。

:./PCB=NBCE

VZABC=ZACB=50°,NABE=60。

/.NEBC=/ABE-/ABC=60°-50°=10°

ZPBC=10。

ZPBC=ZEBC

在△P8C和△E8C中

NPBC=ZEBC

BC=BC

/PCB=/BCE

:.△PBCQ/\EBC

:.BP=BE

\'AB=BE

:?AB=BP

：.ZBAP=ZBPA

*.*ZABP=ZABC-/PBC=50。-100=40°

APAB=1(180°-/ABP尸70°

解法二：以力。為一邊作等邊三角形，證法同一。

解法三：以3。為一邊作等邊三角形△8CE,連結(jié)力瓦則

EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°

'：EB=EC

E

在6C的中垂線上

同理力在8。的中垂線上-乙二

?-EA所在的直線是BC的中垂線

:.EAIBC

NAEB=L2ZBEC=30°=ZPCB

由解法一知：NABC=50。

:?/ABE=ZEBC-ZABC=\O°=ZPBC

'：/ABE=ZPBC,BE=BC,ZAEB=ZPCB

：.AABE絲APBC

：.AB=BP

：.ZBAP=ZBPA

ZABP=ZABC-ZPBC=50°-10。=40。

r.APAB=1(180°-ZJ^P)=1(180°-40°)=70°

14.有二倍角時(shí)常用的輔助線

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

例:已知，如圖，在△48。中，Zl=Z2,/ABC=2/C,

求證：AB+BD=AC

證明：延長(zhǎng)力8到&使8￡=30,連結(jié)OE

則N3￡D=NBDE

"：/ABD=NE+ZBDE

：.ZABC=2ZE

'：ZABC=2ZC

/.ZE=ZC

在AAED和△4CQ中

ZE=ZC

Z1=Z2

AD=AD

：.AAED咨AACD

：,AC=AE

?：AE=AB+BE

：.AC=AB+BE

即AB+BD=AC

⑵平分二倍角

例:已知，如圖，在A43C中，8OJL4C于。ABAC=2Z

DBC

求證：ZABC=ZACB

證明：作NA4c的平分線力￡交8C于笈則/創(chuàng)￡=ZCAE

=ZDBC

,：BD1AC

A

AZCBD+ZC=90°/K

：.ZCAE+ZC=90°BE'

ZAEC=180。-ZCAE-ZC=90°

：.AELBC

ZABC+ZBAE=90°

,：ZCAE+ZC=90°

/BAE=ZCAE

ZABC=ZACB

⑶加倍小角

例:已知，如圖，在A48C中，8O_L4C于。，ZBAC=2Z

DBC

求證：ZABC=ZACB

證明：作/必O=NQBC,8產(chǎn)交NC于尸（過(guò)程略）

A

F

,D

15.有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)

起來(lái).

例:已知，如圖，△ABC中，AB=AC,ZBAC=nO°,EF為

的垂直平分線，EF交BC于F,交AB于E

求證：BF=；FC

證明：連結(jié)"，則"=8/

ZB=ZFAB

'：AB=ACA

"B=/C

,/ZBAC=120°

Z.ZB=ZCZBAC=^(180°-ABAC)=30。

NE4B=30。

ZE4C=ZBAC-/E4B=120°-30°=90°

又???NC=300

：.AF=L2FC

:?BF=WFC

練習(xí)：已知，如圖，在A48C中，NC力8的平分線/。與8C

的垂直平分線。E交于點(diǎn)。于MONL4C延長(zhǎng)線

于NA

求證：BM=CNBA^\C

16.有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.

例:已知，如圖，在A4BC中，/B=2/C,6c于。

求證：CD=AB+BD

證明：（一）在。。上截取。E=連結(jié)NE,則”=4E

:./B=NAEBAA

??Z=2NC，/、

EDB

NAEB=2/C

又,：/AEB=ZC+ZEAC

:?NC=NEAC

又?：CD=DE+CE

：.CD=BD+AB

（二）延長(zhǎng)CB到f使。尸=OC連結(jié)"則（過(guò)程

略）

17.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.

例:已知，如圖，在A46C中，BC=2AB,ZABC=2ZC,BD

=CD

求證：△/BC為直角三角形

證明：過(guò)。作。交/。于連結(jié)3￡,貝IJ8E=C￡,

：.ZC=ZEBC

N4BC=2/C

：.ZABE=ZEBC

'：BC=2AB,BD=CD

:?BD=AB

在AABE和△QBE中

AB=BD

ZABE=ZEBC

BE=BE

???AABEQADBE

：.ABAE=/BDE

,：/BDE=90°

NBAE=90°

即△ZBC為直角三角形

18.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾

股定理證題.

例:已知，如圖，在△/8C中,ZJ=90°,。石為8C的垂直

平分線

求證：5￡2-JE2=JC2

證明：連結(jié)C￡,貝IJ8E=C￡

*.*ZJ=90°

：.AE2+AC2=EC2

,,.AE^AC2=BP

:.B產(chǎn)-AE2=AC

練習(xí)：已知，如圖，在△/8C中，NB4c=90。,AB=AC,P

為BC上一點(diǎn)

22

求證：PB+PC=2R4B/~4。

19.條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中.

例:已知，如圖，在A44C中，Z5=45°,ZC=30°,AB=e,

求4c的長(zhǎng).

解：過(guò)4作/O_L5C于。

ZB+ZBAD=90°,

'：Z5=45°,/B=/BAD=45。,

：,AD=BD

"：AB2=AD2+BD2,AB=42

：.AD=\

VZC=30°,ADLBC

：.AC=2AD=2

四邊形部分

20.有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形

例:已知，如圖，R4BC,ZACB=90°,CDLAB^D,AE

平分NC46交CO于凡過(guò)F作FH〃AB交BC于H

求證：CE=BH

證明：過(guò)尸作?！?C交力8于R則四邊形儀8〃為平行四

邊形

:./B=/FPA、BH=FPJk

VZACB=90°,CDLAB

AZ5+ZC45=45°,ZB+ZCAB=90°

Z5=NB

/.Z5=ZF/M

又?.?N1=N2,AF=AF

；?/\CAF空/\R4F

：.CF=FP

VZ4=Z1+Z5,Z3=Z2+ZB

，Z3=Z4

：.CF=CE

：.CE=BH

練習(xí)：已知，如圖，AB//EF//GH,BE=GC

求證：AB=EF+GH

A

21.有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段.

例:已知，如圖，在中，AB=2BC,M為48中點(diǎn)

求證：CMLDM

證明：延長(zhǎng)。M、C8交于N

,/四邊形ABCD為平行四邊形

：.AD=BC,AD//BC

：.ZA=/NBAZADN=ZN

又TAMMBM

：.AD=BN

：.BN=BC

?：AB=2BC、AM=BM

:.BM=BC=BN

AZI=Z2,/3=NN

VZ1+N2+N3+/N=180°,

AZI+Z3=90。

CMLDM

22.有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.

例:已知，如圖，E為矩形力8CO的邊力。上一點(diǎn)，且8E=

ED,。為對(duì)角線5。上一點(diǎn)，PFLBE于F,PG±ADTG

求證：PF+PG=AB

證明：證法一：過(guò)尸作于H則四邊形4HPG為矩

形

：.AH=GPPH//AD

：./ADB=NHPB

":BE=DE

:?/EBD=/ADB

：.NHPB=/EBD

又V/PFB=/BHP=90。

:APFB義4BHP

：.HB=FP

：.AH+HB=PG+PF

即AB=PG+PF

證法二：延長(zhǎng)GP交8C于N,則四邊形/8NG為矩形，（證

明略）

23.直角三角形常用輔助線方法：

⑴作斜邊上的高

例:已知，如圖，若從矩形ABCD的頂點(diǎn)。作對(duì)角線BD的垂

線與的平分線交于點(diǎn)￡

求證：AC=CE

證明：過(guò)力作4/，員）,垂足為￡貝IJ4尸〃EG

:?/FAE=/AEG

???四邊形力8C。為矩形

，Z.BAD=90°OA=OD

???ABDA=NCAD

■:AFLBD

:/ABD+ZADB=ZABD+ZBAF=90°

/BAF=/ADB=/CAD

?.[￡為N5/O的平分線

/BAE*DAE

，Z.BAE-ZBAF=ZDAE-ZDAC

即

：.ZCAE=ZAEG

：.AC=EC

⑵作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線:

①有斜邊中點(diǎn)時(shí)

例:已知，如圖，AD、6￡是八48c的高,廠是。￡的中點(diǎn),

G是48的中點(diǎn)

求證：GFA.DE

證明：連結(jié)G￡;GD

??Z。、是△/BC的高，G是48的中點(diǎn)

：.GE=LAB,GD=LAB

2'2

GE=GD

???/是的中點(diǎn)

：.GF±DE

②有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)

例:已知，如圖，在△Z8C中，。是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且。力

_L8力于力，AC=JBD

求證：ZACB=2ZB

證明：取8。中點(diǎn)￡,連結(jié)力則4E=BE=凈。

.\Z1=/B

\'AC=L2BD

：.AC=AEBD

ZACB=Z2

VZ2=Z1+/B

AZ2=2Z5

/./ACB=2/B

24.有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn).

例:已知,如圖，正方形中，M為力8的中點(diǎn),MN1MD,

BN平6/CBE并交MN于N

求證：MD=MN

證明：取的中點(diǎn)P,連結(jié)貝ijQP=*=p。

;四邊形Z8CQ為正方形

：.AD=AB,ZA=ZABC=90°

/.Z1+ZAMD=90°,又DMLMN

/.Z2+/AMD=90°

AZI=Z2

,?，M為，8中點(diǎn)

:.AM=MB=LAB

2

：.DP=MBAP=AM

ZAPM=ZAMP=45°

：./DPM=135。

，：BN平分/CBE

:./CBN=45。

：.ZMBN=ZMBC+/CBN=90。+45°=135°

即/。RW=NA/8N

：.ADPM@AMBN

:,DM=MN

注意：把〃改為力3上任一點(diǎn)，其它條件不變，結(jié)論仍然成

立。

練習(xí)：已知，。為正方形力的。。邊的中點(diǎn)，。為。。上

一點(diǎn)，且力尸=PC+3CnQPC

求證：NBAP=2/QAD/1

AB

25.利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí),可以把圖形的

某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方

法.

旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過(guò)旋轉(zhuǎn)集中起來(lái)，從而為證

題創(chuàng)造必要的條件.

旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.

例:已知，如圖，在A48C中，AB=AC,ZBAC=900,D為

BC邊上任一點(diǎn)

求證：2AD2=BD2+CD2

證明：把A48。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得A4CE

：.BD=CE/B=/ACE

,：/B4c=90。

：.ZDAE=90°

A

222

DE=AD+A￡^=2ADE

VZB+ZACB=90°BDc

Z.ZDCE=90°

CD2+CE2=DE2

：.2Aa=Ba+CD2

注意：把繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。也可，方法同上。

練習(xí)：已知，如圖，在正方形Z8CQ中，￡為力。上一點(diǎn)，BF

平分/CBE交CD于FKU7~f

求證：BE=CF+AE左

BC

26.有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把這條線段延長(zhǎng)，

構(gòu)造全等三角形.

例:如圖，在正方形力8。中，￡、廠分別是C。、。力的中點(diǎn),

BE與CF交于P點(diǎn)

求證：AP=AB

證明：延長(zhǎng)C/交B4的延長(zhǎng)線于K

;四邊形46CQ為正方形

：.BC=AB=CD=DA/BCD=ZD=/BAD=90。

???￡、/分別是8、DA的中點(diǎn)

CE=L2CDDF=A2F=LAD

CE=DF

:.△BCEEACDF

：.ZCBE=ZDCF

'：ZBCF+/DCF=90。

：.ZBCF+ZCBE=90°

,BEICF

又?：/D=/DAK=90°DF=AFZ1=Z2

：.4CDFQ/\KAF

，CD=KA

：.BA=KA

又.；BE1CF

：.AP=AB

練習(xí)：如圖，在正方形力8C。中，。在CO上，AD

且。0=。。，P在8C上，且4P=CQ+C0

求證：4。平分ND4PB00

27.從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行

四邊形和一個(gè)三角形.

例:已知，如圖，等腰梯形48CZ）中，AD//BC,AD=3,AB

=4,BC=7

求N8的度數(shù)

解：過(guò)力作力￡〃。。交8C于民則四邊形為平行四邊

形

:,AD=EC,CD=AE

"：AB=CD=4,

AD=3,BC=7

：.BE=AE=AB=4

?,.△/BE為等邊三角形

ZB=60°

28.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)

化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形.

例:已知，如圖，在梯形中，AD//BC,AB=AC,Z

BAC=90°,BD=BC,BD交4c于O

求證：CO=CD

證明：過(guò)4、。分別作4EJ_8C,DFLBC,垂足分別為￡、F

則四邊形/石尸。為矩形

：.AE=DF

'：AB=AC,AE1,BC,ZBAC=90°,

：.AE=BE=CE=^2BC,/ACB=45°

，：BC=BD

：.AE=DF=L2BD

又?；DF±BC

：.ZDBC=30°

'：BD=BC

:./BDC=/BCD=1(180°-ZZ)5C)=75°

/DOC=/DBC+NACB=300+45°=75°

/BDC=/DOC

：.CO=CD

29.從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成

平行四邊形和三角形.

例:已知，如圖，等腰梯形力8CQ中，AD//BC,ACLBD,

AD+BC=10,DE1.BC于E

求DE的長(zhǎng).

解：過(guò)。作DF〃4C,交BC的延長(zhǎng)線于月則四邊形4CQ

為平行四邊形

：.AC=DF,AD=CF

???四邊形力為等腰梯形

：.AC=DB

：.BD=FD

DEIBC

:?BE=EF=LBF

2

=L(BC+CF)=L(BC+AD)

=1x10=5

2

,/AC//DF,BDLAC

：.BD.LDF

'：BE=FE

：?DE=BE=EF=LBF=5

答：QE的長(zhǎng)為5.

30.延長(zhǎng)梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.

例:已知，如圖，在四邊形/8CQ中，有力8=。。，ZB=Z

C,AD<BC

求證：四邊形/8C。等腰梯形

證明：延長(zhǎng)CD,它們交于點(diǎn)￡

/B=/C

：.EB=EC

又.：AB=DC

；?AE=DE

/EAD=/EDA

'：ZE+ZEAD+/EDA=180。

ZB+ZC+ZE=180°

:?/EAD=/B

：.AD//BC

\"AD^BC,NB=/C

???四邊形力BCD等腰梯形

（此題還可以過(guò)一頂點(diǎn)作或CQ的平行線；也可以過(guò)4、

。作3c的垂線）

31.有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形

轉(zhuǎn)化成平行四邊形.

例:已知,如圖，梯形力6CQ中，AD//BC,E為CQ中點(diǎn)，EF

于方

求證：S梯形48。=

證明：過(guò)￡作用可〃4伐交力。的延長(zhǎng)線于交BC于N,

則四邊形ABNM為平行四邊形

'：EFA-ABKD.

SDABNM=ABEF

'：AD//BCBNc

/.ZM=ZMNC

又?：DE=CEZ1=Z2

：./\CEN^/\DEM

：.S/\CEN=S/\DEM

工S梯形ABCD=S五邊形ABNED+SACEN=S五邊形ABNED

+S4DEM=S梯形ABCD=EFAB

32.有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)

與另一底的延長(zhǎng)線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形.

例:已知,如圖，直角梯形力8c。中，AD//BC,于4,

DE=EC=BC

求證：ZAEC=3ZDAE

證明：連結(jié)并延長(zhǎng)交力。的延長(zhǎng)線于N

\'AD//BC

/.Z3=NN

XVZ1=Z2ED=EC

:.△DEN"ACEB

:.BE=ENDN=BC

'：ABLAD

:?AE=EN=BE

：./N=/DAE

：.ZAEB=ZN+NDAE=2/DAE

■:DE=BCBC=DN

：.DE=DN

：.ZN=Z\

VZ1=Z2AN=ADAE

：.Z2=/DAE

：.NAEB+N2=2/DAE+ZDAE

即NZ￡C=3ND4￡

33.梯形有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線.

例:已知,如圖，梯形/8C。中，AD//BC,AD<BC,E、尸分

別是4。、8C的中點(diǎn)，且E/U8C

求證：ZB=ZC

證明:過(guò)E作EM//AB,EN//CD,交BC于A/、N,則得MBWE,

口NCDE

：,AE=BM,AB//=EM,DE=CN,CD=NE

?:AE=DE

：.BM=CN

又"：BF=CF

:,FM=FN

又VEFLBC

:?EM=EN

AZI=Z2

■:AB〃EM,CD//EN

；./l=/BZ2=ZC

:?/B=ZC

34.有線段中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定

理的