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第五章常微分方程數(shù)值解

待求解的問題：一階常微分方程的初值問題:

解的存在唯一性（“常微分方程”理論）：只要f(x,y)在[a,b]

R1上連續(xù)，且關于y

滿足Lipschitz

條件，即存在與x,y無關的常數(shù)L

使對任意定義在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，則上述IVP存在唯一解。--------Euler’sMethod§5.2歐拉方法§1Euler’sMethodTaylor展開法Matlab程序：functionE=euler10(a,b,N,y0)h=(b-a)/N;y=zeros(1,N+1);x=zeros(1,N+1);y(1)=y0;x=a:h:b;fori=1:N

y(i+1)=y(i)+h*(y(i)-2*x(i)/y(i))endE=[x’,y’];Matlab程序：functionE=euler10(a,b,N,y0)h=(b-a)/N;y=zeros(1,N+1);x=zeros(1,N+1);y(1)=y0;x=a:h:b;fori=1:Ny(i+1)=y(i)+h*(y(i)-2*x(i)/y(i))endE=[x’,y’];運行：E=euler10(0,1,10,1)Matlab程序：functionE=euler10(fun,a,b,N,y0)h=(b-a)/N;y=zeros(1,N+1);x=zeros(1,N+1);y(1)=y0;x=a:h:b;fori=1:Ny(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i))endE=[x’,y’];functionz=f(x,y)z=y-2*x/y;運行：E=eluer10(@f,0,1,10,1)定義在假設yn=y(xn)，即第

n

步計算是精確的前提下，考慮公式或方法本身帶來的誤差:Rn=y(xn+1)

yn+1,稱為局部截斷誤差。說明

顯然，這種近似有一定誤差，而且步長越大，誤差越大，如何估計這種誤差y(xn+1)

yn+1

？§1Euler’sMethod在xn點用一階向前差商近似一階導數(shù)Euler’smethodxn+1點向后差商近似導數(shù)比Euler方法增加的步驟上機程序編寫要求完成一個程序，這個程序可以實現(xiàn)如下功能：可以實現(xiàn)Euler方法+后退Euler方法+梯形格式+改進的Euler格式+Euler兩步格式；可以根據(jù)客戶需要選擇哪些方法；可以對

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