動(dòng)力氣象-第三章(尺度分析與方程簡(jiǎn)化)

第三章尺度分析與基本方程組的簡(jiǎn)化尺度分析大尺度運(yùn)動(dòng)方程組簡(jiǎn)化★大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)★無量綱方程及動(dòng)力學(xué)參數(shù)引言

大氣運(yùn)動(dòng)方程組是非常復(fù)雜的，它是具有6個(gè)變量的非線性偏微分方程組，因此在研究具體的大氣運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，需要對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。

所謂簡(jiǎn)化就是在運(yùn)用運(yùn)動(dòng)方程之前，針對(duì)所研究的運(yùn)動(dòng)形勢(shì)的特點(diǎn)，正確區(qū)分影響運(yùn)動(dòng)過程的主要因素和次要因素，然后略去方程中次要項(xiàng)，而保留其中主要項(xiàng)。目的：對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，突出主要因子，研究運(yùn)動(dòng)的主要特征。途徑：分析各因子（各項(xiàng)）大小，大——重要；——次要簡(jiǎn)化的方程一方面在數(shù)學(xué)形式上變得簡(jiǎn)單和容易處理，另一方面突出了某種運(yùn)動(dòng)型式的本質(zhì)特征，其結(jié)果便于從物理上進(jìn)行解釋和在實(shí)際工作中應(yīng)用。一、尺度分析特征尺度是指某種特定型式運(yùn)動(dòng)的空間范圍和時(shí)間區(qū)間以及氣象要素或者其他特性的一般大小。各物理場(chǎng)變量的時(shí)空變化有一個(gè)范圍，具有代表意義的量值——特征值——尺度。例：水平風(fēng)速在5~25m/s之間，特征值(U)取為10m/s。u=Uu*，v=Uv*，則U~101m/s，u*和v*為數(shù)值在0.5~2.5之間的無量綱量。將任一物理量q寫作：

q=Qq*

其中：Q—特征量，表示該物理量的一般大??；常量；有量綱。

q*

—無量綱量，量級(jí)在100，表示該物理量的具體大?。蛔兞?；沒有量綱。這里的q是廣義的，不僅包括氣象要素，還包括方程各項(xiàng)。比較物理量的大小，可比較特征量的大小。

特征尺度的選取和記號(hào)

運(yùn)動(dòng)的水平尺度L：對(duì)于波狀式的運(yùn)動(dòng)取其1/4的波長(zhǎng)，對(duì)于渦旋運(yùn)動(dòng)則取其半徑；

鉛直（垂直）尺度D：是指系統(tǒng)的垂直厚度；

時(shí)間尺度

：系統(tǒng)發(fā)生到消亡所經(jīng)歷的時(shí)間；

水平速度尺度U：是指水平速度的量級(jí)；

垂直速度尺度W：則是指垂直尺度的量級(jí)。

特征尺度的選取和記號(hào)尺度分析法的基本規(guī)定

(1)速度（水平、垂直）變化尺度與速度尺度相同：

hU

～

zU

～

U，

hW

～

zW

～

W

(2)經(jīng)過時(shí)間尺度

，物理量F的時(shí)間變化尺度

tF與水平變化尺度

hF相同：

tF

～

hF

(3)氣壓和密度的水平變化尺度比其本身的尺度小，但是氣壓和密度的垂直變化尺度與其本身的尺度相當(dāng)：

hP＜P，

h

＜

；

zP～P，

z

～

。時(shí)間尺度：運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)演變經(jīng)歷一個(gè)階段所需要的特征時(shí)間，用符號(hào)τ表示。τ=L/C，如果τ=L/U，則稱為平流時(shí)間尺度。尺度分析數(shù)量級(jí)運(yùn)算規(guī)則大氣運(yùn)動(dòng)的尺度分類水平氣壓梯度力是一真實(shí)力，它應(yīng)是運(yùn)動(dòng)方程中的主要項(xiàng)。觀測(cè)表明，在水平特征尺度相差很大的氣旋、反氣旋和龍卷、颮線、颶風(fēng)（臺(tái)風(fēng)）中的水平氣壓變動(dòng)尺度可達(dá)到同樣的量級(jí)，使得它們的水平氣壓梯度相差好幾個(gè)量級(jí)。說明大氣運(yùn)動(dòng)的特征與水平尺度關(guān)系密切，因此常根據(jù)運(yùn)動(dòng)的水平特征尺度對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分類。通常分為大、中、小尺度運(yùn)動(dòng)。各類運(yùn)動(dòng)的特征尺度—基本物理量各類運(yùn)動(dòng)的特征尺度—輔助物理量在中緯度大尺度大氣運(yùn)動(dòng)，各物理量的特征量為：

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對(duì)方程組進(jìn)行尺度分析水平尺度：大尺度為106m；中尺度為105m；小尺度為104m。時(shí)間尺度：大尺度為105s；中尺度為104s；小尺度為103s。基本方程的簡(jiǎn)化方法1.零級(jí)簡(jiǎn)化方程零級(jí)簡(jiǎn)化：保留方程中數(shù)量級(jí)最大的各項(xiàng)，而其他項(xiàng)都略去不計(jì)。2.一級(jí)簡(jiǎn)化方程一級(jí)簡(jiǎn)化：除保留方程中數(shù)量級(jí)最大的各項(xiàng)外，還保留比最大項(xiàng)小一個(gè)量的各項(xiàng)。運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析（不考慮摩擦力）二、大尺度運(yùn)動(dòng)方程組簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析（不考慮摩擦力）運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析（不考慮摩擦力）連續(xù)方程的尺度分析熱力學(xué)方程簡(jiǎn)化（絕熱）熱力學(xué)方程簡(jiǎn)化（絕熱）28零級(jí)簡(jiǎn)化方程（只保留量級(jí)最大項(xiàng)，得到的方程）為：三、大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)1.水平方向上：

水平氣壓梯度力＋水平科氏力＝0—地轉(zhuǎn)平衡地轉(zhuǎn)平衡運(yùn)動(dòng)的特征：動(dòng)力學(xué)特征：水平壓力梯度力與科氏力相平衡運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：風(fēng)沿等壓線吹；背風(fēng)而立，高壓在右，低壓在左（南半球相反）。地轉(zhuǎn)風(fēng)的表達(dá)式：

南半球：在南半球：高壓—反氣旋—逆時(shí)針2.垂直方向上：

—靜力平衡

不僅適用于大尺度系統(tǒng)，還適于中小尺度系統(tǒng)。

—Z坐標(biāo)向P坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換的物理基礎(chǔ)

對(duì)上式從Z高度積分到大氣頂H：

推論：垂直氣壓梯度力＝浮力

連續(xù)方程的零級(jí)簡(jiǎn)化形式：——水平無輻散熱力學(xué)方程的零級(jí)簡(jiǎn)化形式（絕熱）：

——大尺度運(yùn)動(dòng)中溫度的局地變化

主要是由溫度平流引起的大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)大尺度零級(jí)近似方程組（無絕熱方程）中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)水平、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)水平無輻散、緩慢變化的渦旋運(yùn)動(dòng)。診斷方程、平衡簡(jiǎn)化方程組。一級(jí)近似簡(jiǎn)化方程組（保留量級(jí)最大項(xiàng)，和次一級(jí)的項(xiàng)，得到的方程）密度變化準(zhǔn)定常準(zhǔn)水平，非定常準(zhǔn)靜力平衡非平衡方程組。進(jìn)行尺度分析的步驟：1）把方程各項(xiàng)寫作“特征量×無量綱量”的形式。2）化為“無量綱方程”：用方程中某一項(xiàng)的特征量同除方程的每一項(xiàng)（量綱齊次性原理）——無量綱方程——各項(xiàng)前面的系數(shù)－無量綱（數(shù)）——體現(xiàn)各項(xiàng)的相對(duì)重要性。

四、無量綱方程與無量綱參數(shù)利用特征尺度將基本方程組進(jìn)行無量綱化。不計(jì)摩擦的局地直角坐標(biāo)系x方向的運(yùn)動(dòng)方程為：給出特征尺度引入無量綱量，記為：帶上標(biāo)

的為無量綱量，量級(jí)為1。討論各參數(shù)的物理意義？

為基別爾參數(shù)：定義為局地慣性力與科氏力的尺度之比：f0是大氣中慣性運(yùn)動(dòng)的特征頻率，所以，f0-1可以理解為慣性運(yùn)動(dòng)的特征時(shí)間尺度（

e），也是地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的特征時(shí)間尺度。討論各參數(shù)的物理意義？因此，

又可以理解為慣性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度與所研究的運(yùn)動(dòng)時(shí)間尺度之比，其大小反映運(yùn)動(dòng)變化過程的快慢程度。即

的量級(jí)表示運(yùn)動(dòng)地轉(zhuǎn)平衡近似程度。因此，當(dāng)

<<1時(shí)，

u/

t

相對(duì)于fv可以略去。討論各參數(shù)的物理意義？

為羅斯貝參數(shù)，表示為水平慣性力與科氏力的尺度之比當(dāng)R0<<1水平慣性力相對(duì)于科氏力可以略去；反之當(dāng)R0>>1，科氏力相對(duì)于水平慣性力可以略去。由于各類運(yùn)動(dòng)中的圖中水平速度變化不大，因此，R0的大小主要依賴于各種運(yùn)動(dòng)的水平尺度。大尺度運(yùn)動(dòng)中，R0<<1，科氏力是不能忽略的；小尺度運(yùn)動(dòng)中，R0<<1，科氏力可以被忽略不計(jì)。中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)：

——準(zhǔn)地轉(zhuǎn)中緯度中小尺度運(yùn)動(dòng)：

——非地轉(zhuǎn)熱帶大尺度運(yùn)動(dòng)：

——非地轉(zhuǎn)

Ri為理查遜數(shù)，這是一個(gè)與大氣層結(jié)穩(wěn)定度和風(fēng)速切變有關(guān)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

熱力學(xué)方程由位溫(

)來表示為：

令

眾所周知，層結(jié)越不穩(wěn)定、風(fēng)速越強(qiáng)，則有利于對(duì)流的發(fā)展；反之不利于對(duì)流的發(fā)展。所以，Ri當(dāng)用來表示大氣中對(duì)流（擾動(dòng)）導(dǎo)致的條件。為什么要簡(jiǎn)化基本方程組？原因：描述大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程組非常復(fù)雜物理上：影響大氣運(yùn)動(dòng)的因子很多，重點(diǎn)不突出數(shù)學(xué)上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難因此，需要簡(jiǎn)化：物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用；數(shù)學(xué)上：略去方程中相對(duì)較小的項(xiàng)，保留大項(xiàng)，使方程簡(jiǎn)單，容易求解