中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第二十二講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

第二十二講與圓有關(guān)的位置關(guān)系一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.設(shè)圓O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d.則:點(diǎn)P在圓外?____;點(diǎn)P在圓上?____;點(diǎn)P在圓內(nèi)?____.d>rd=rd<r2.確定圓的條件:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定_____圓.3.三角形的外心:三角形外接圓的圓心,三角形三邊的___________的交點(diǎn).一個(gè)垂直平分線二、直線與圓的位置關(guān)系1.三種位置關(guān)系:_____、_____、_____.2.切線的定義、性質(zhì)與判定:(1)定義:和圓有_____公共點(diǎn)的直線.(2)性質(zhì):圓的切線_______過切點(diǎn)的直徑.(3)判定:經(jīng)過半徑的外端,并且_____于這條半徑的直線是圓的切線.相交相切相離唯一垂直于垂直3.切線長定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長_____,這一點(diǎn)和圓心的連線_____兩條切線的夾角.相等平分三、三角形的內(nèi)切圓1.定義:與三角形各邊都_____的圓.2.三角形的內(nèi)心:三角形_______的圓心,是三角形三條_________的交點(diǎn).相切內(nèi)切圓角平分線【自我診斷】(打“√”或“×”)1.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到圓心的距離等于半徑時(shí),這個(gè)點(diǎn)一定在圓上,反之圓上的點(diǎn)到圓心的距離一定等于半徑.()2.當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),圓心到這條直線的距離等于半徑.()√√3.在Rt△ABC中,∠A=30°,直角邊AC=6cm,以C為圓心,3cm為半徑作圓,則☉C與AB的位置關(guān)系是相交.()4.垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).()××5.從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,它們的切線長相等.()6.任意三角形都有唯一一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓.()√√考點(diǎn)一直線與圓位置關(guān)系的判斷【示范題1】(2017·棗莊中考)如圖,在網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長均為1)中選取9個(gè)格點(diǎn)(格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)),如果以A為圓心,r為半徑畫圓,選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi),則r的取值范圍為()【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理求出各格點(diǎn)到點(diǎn)A的距離,結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,即可得出結(jié)論.【自主解答】選B.給各點(diǎn)標(biāo)上字母,如圖所示.時(shí),以A為圓心,r為半徑畫圓,選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi).【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法1.用直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷.2.用圓心到直線的距離與半徑的大小來判斷.【變式訓(xùn)練】(2017·百色中考)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,作半徑為2的圓,若直線y=-x+b與☉O相交,則b的取值范圍是()A.0≤b<2 B.-2≤b≤2C.-2<b<2 D.-2<b<2

【解析】選D.當(dāng)直線y=-x+b與圓相切,且函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限時(shí),如圖,在y=-x+b中,令x=0時(shí),y=b,則與y軸的交點(diǎn)是(0,b),當(dāng)y=0時(shí),x=b,則A的交點(diǎn)是(b,0),則OA=OB,即△OAB是等腰直角三角形.連接圓心O和切點(diǎn)C.則OC=2.則OB=OC=2,即b=2;同理,當(dāng)直線y=-x+b與圓相切,且函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限時(shí),b=-2.則若直線y=-x+b與☉O相交,則b的取值范圍是-2<b<2.考點(diǎn)二切線的性質(zhì)與判定

【考情分析】切線的性質(zhì)與判定是中考命題的熱點(diǎn),兩者單獨(dú)考查或者綜合考查,常常結(jié)合直角三角形、勾股定理、相似三角形等進(jìn)行命題,呈現(xiàn)形式多樣化,有選擇題、填空題和解答題.命題角度1:切線的性質(zhì)【示范題2】(2017·東營中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作☉O的切線DE,交AC于點(diǎn)E,AC的反向延長線交☉O于點(diǎn)F.(1)求證:DE⊥AC.(2)若DE+EA=8,☉O的半徑為10,求AF的長度.【思路點(diǎn)撥】(1)欲證明DE⊥AC,只需推知OD∥AC即可.(2)過點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H,構(gòu)建矩形ODEH,設(shè)AH=x.則由矩形的性質(zhì)推知:AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在Rt△AOH中,由勾股定理知:x2+(x-2)2=102,通過解方程得到AH的長度,結(jié)合OH⊥AF,得到AF=2AH=2×8=16.【自主解答】(1)∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DE是☉O的切線,OD是半徑,∴DE⊥OD,∴DE⊥AC.(2)如圖,過點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H,則∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,∴四邊形ODEH是矩形,∴OD=EH,OH=DE.設(shè)AH=x.∵DE+EA=8,OD=10,∴AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在Rt△AOH中,由勾股定理知:AH2+OH2=OA2,即x2+(x-2)2=102,解得x1=8,x2=-6(不合題意,舍去).∴AH=8.∵OH⊥AF,∴AH=FH=AF,∴AF=2AH=2×8=16.命題角度2:切線的判定【示范題3】(2017·德州中考)如圖,已知Rt△ABC,∠C=90°,D為BC的中點(diǎn).以AC為直徑的☉O交AB于點(diǎn)E.(1)求證:DE是☉O的切線.(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的長.【思路點(diǎn)撥】(1)連接OE,CE.利用圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)證明∠OED=90°,證得答案.(2)先證明△BEC∽△BCA,再利用相似三角形的性質(zhì)證明.【自主解答】(1)如圖所示,連接OE,CE.∵AC是☉O的直徑,∴∠AEC=∠BEC=90°.∵D是BC的中點(diǎn),∴ED=BC=DC.∴∠1=∠2.∵OE=OC,∴∠3=∠4.∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD.∵∠ACD=90°,∴∠OED=90°,即OE⊥DE.又∵E是☉O上一點(diǎn),∴DE是☉O的切線.(2)由(1)知∠BEC=90°.在Rt△BEC與Rt△BCA中,∠B為公共角,∴△BEC∽△BCA.∴即BC2=BE·BA.∵AE∶EB=1∶2,設(shè)AE=x,則BE=2x,BA=3x.又∵BC=6,∴62=2x·3x.∴x=,即AE=.命題角度3:切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用【示范題4】(2017·濟(jì)寧中考)如圖,已知☉O的直徑AB=10,弦AC=8,D是的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)E.(1)求證:DE是☉O的切線.(2)求AE的長.【思路點(diǎn)撥】(1)連接OD,由D為弧BC的中點(diǎn),得到兩條弧相等,進(jìn)而得到兩個(gè)同位角相等,確定出OD與AE平行,利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到OD與OE垂直,即可得證.(2)過O作OF垂直于AC,利用垂徑定理得到F為AC中點(diǎn),再由四邊形OFED為矩形,求出FE的長,由AF+EF求出AE的長即可.【自主解答】(1)連接OD,∵D為的中點(diǎn),∴∴∠BOD=∠BAE,∴OD∥AE,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∴DE是☉O的切線.(2)過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F,∵AC=8,∴AF=CF=AC=×8=4,∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,∴四邊形OFED是矩形,∴FE=OD=AB.∵AB=10,∴FE=5,∴AE=AF+FE=4+5=9.命題角度4:切線長定理【示范題5】(2015·新疆中考)一個(gè)圓球放置在V形架中如圖(1),圖(2)是它的平面示意圖,CA與CB都是☉O的切線,切點(diǎn)分別是A,B,如果☉O的半徑為2cm且AB=6cm,求∠ACB的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】連接OC交AB于點(diǎn)D,利用切線長定理,等腰三角形的性質(zhì)求得線段BD的長度,解直角△BOD,得到∠BOC的度數(shù),再利用切線的性質(zhì)求出∠ACB的度數(shù).【自主解答】連接OC交AB于點(diǎn)D,∵CA與CB都是☉O的切線,切點(diǎn)分別是A,B,∴OB⊥BC,且OC垂直平分AB,∴DB=AB=3cm,∴sin∠BOD=∴∠BOD=60°,∴∠BCO=30°,∴∠ACB=2∠BCO=60°.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】1.若已知直線與圓的公共點(diǎn),則采用判定定理法,其基本思路是:當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時(shí),連接過這點(diǎn)的半徑,證明這條半徑與直線垂直即可,可簡述為:有切點(diǎn),連半徑,證垂直.2.若未知直線與圓的交點(diǎn),則采用數(shù)量關(guān)系法,其基本思路是:過圓心作直線的垂線段,證明垂線段的長等于圓的半徑,可簡述為:無切點(diǎn),作垂線,證相等.【變式訓(xùn)練】1.(2017·連云港中考)如圖,線段AB與☉O相切于點(diǎn)B,線段AO與☉O相交于點(diǎn)C,AB=12,AC=8,則☉O的半徑長為________.【解析】連接OB,設(shè)☉O的半徑長為r,∵AB與☉O相切于點(diǎn)B,∴∠ABO=90°;在Rt△ABO中,OB2+AB2=OA2,∴r2+122=(r+8)2,解得r=5.

答案:52.(2017·懷化中考)如圖,已知BC是☉O的直徑,點(diǎn)D為BC延長線上的一點(diǎn),點(diǎn)A為圓上一點(diǎn),且AB=AD,AC=CD.(1)求證:△ACD∽△BAD.(2)求證:AD是☉O的切線.【證明】(1)∵AB=AD,∴∠B=∠D,∵AC=CD,∴∠CAD=∠D,∴∠CAD=∠B,∵∠D=∠D,∴△ACD∽△BAD.(2)連接OA,∵OA=OB,∴∠B=∠OAB,∴∠OAB=∠CAD,∵BC是☉O的直徑,∴∠BAC=90°,∴OA⊥AD,∴AD是☉O的切線.考點(diǎn)三三角形的外接圓或內(nèi)切圓【示范題6】(2017·武漢中考)已知一個(gè)三角形的三邊長分別為5,7,8,則其內(nèi)切圓的半徑為()

【自主解答】選C.如圖,AB=7,BC=5,AC=8,設(shè)內(nèi)切圓的半徑長為r,切點(diǎn)為G,E,F,作AD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)BD=x,則CD=5-x.由勾股定理可知:AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,∴AD=4,∵BC·AD=(AB+BC+AC)·r,∴【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】三角形外心的性質(zhì)(1)三角形的外心是外接圓的圓心,它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.(2)三角形的外接圓有且只有一個(gè),即對(duì)于給定的三角形,其外心是唯一的,但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè),這些三角形的外心重合.【變式訓(xùn)練】1.(2017·廣州中考)如圖,☉O是△ABC的內(nèi)切圓,則點(diǎn)O是△ABC的()A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)【解析】選B.內(nèi)心到三角形三邊距離相等,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.2.(2017·眉山中考)如圖,在△ABC中,∠A=66°,點(diǎn)I是內(nèi)心,則∠BIC的大小為()A.114° B.122° C.123° D.132°【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)I是內(nèi)心,所以∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,因此∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180