空間直線與平面的幾種解題方法

平面的根本性質(zhì)總的來說，平面的根本性質(zhì)包括三條公理和三條推論，如下：公理1如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)。公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是一條直線。公理3經(jīng)過不在同一直線上的三點有且只有一個平面〔簡稱：不共線的三點確定一個面〕。推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面。推論2經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。推論3經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。2.斜二測畫法用斜二測畫法作空間幾何體直觀圖的一般步驟：〔1〕畫軸。畫x、y、z三軸交原點O，使xOy＝45°xOz＝90°；〔2〕畫底面。在相應(yīng)軸上取底面的邊，并交于底面各頂點；〔3〕畫側(cè)棱或橫截面?zhèn)冗?，使其平行于z軸；〔4〕成圖。連接相應(yīng)端點，去掉輔助線，將被遮擋局部改為虛線等?？臻g：一、線線〔相交、平行、異面〕二、線面線面平行：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平行。性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么它和交線平行。線面垂直：平面外一條直線和平面中的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個平面垂直；推論：如果一條直線和一個平面a垂直，那么這條直線和所有與平面α平行的平面垂直；如果一條直線l和一個平面垂直，那么所有與直線l平行的直線都和這個平面垂直。三、面面面面平行①如果一平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩平面是平行的。②垂直于同一直線的兩平面平行；③平行于同一平面的兩平面平行。性質(zhì)①兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線與另一平面平行②兩個平行平面和第三個平面相交，那么交線平行；③一直線垂直于兩平行平面中的一個，那么它也垂直于另一個平面。三者之間的轉(zhuǎn)化為解題的根本步驟：線線平行→線面平行→面面平行。線面平行：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行。如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F(xiàn)在BD上，且B1E＝BF.求證：EF∥平面BB1C1C.

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面的射影垂直。假設(shè)PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO面面垂直①兩個平面所成的二面角是直二面角，那么兩個平面垂直.②如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.性質(zhì):如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.線面垂直：見例題解題關(guān)鍵：面面垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直二面角的求法A：定義法：在二面角的棱上取一個特殊點，由此點出發(fā)在二面角的兩個面內(nèi)分別作棱的垂線；B：垂線法：利用面的垂線〔垂線的夾角等于二面角或二面角的補角〕C：垂面法：即在二面角的棱上取一點，過此點作平面，使垂直于二面角的棱，那么與二面角的兩個面的交線所成的角就是該二面角的平面角。D：面積射影法：如圖5，△ABC在半平面內(nèi),△ABC在平面內(nèi)的射影為△A1B1C1那么二面角的大小.E：三垂線法：如圖1，C是二面角的面內(nèi)的一個點，于O，只需作OD⊥AB于D，連接CD，用三垂線定理可證明∠CDO就是所求二面角的平面角。F：平行線法：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角?？臻g中的角主要包括兩條異面直線所成的角〔平移直線〕、直線與平面所成的角〔做垂線解三角形〕和二面角等。圖1P圖5lCBA圖4B1AA1BlEF如圖6，矩形ABCD中,AB=6,BC=,沿對角線BD將折起,使點A移至點P,且P在平面BCD內(nèi)的射影為O,且O在DC上.〔1〕求證:PD⊥PC；〔2〕求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；

如圖6，平面外的△A1B1C1在內(nèi)的射影是邊長為1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面與平面所成銳二面角的大小.DAM圖6ECBC1A1B1HG異面直線夾角的求法平移法轉(zhuǎn)化為平面角點面距離1.體積法如圖〔1〕四邊形ABCD是梯形，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝1/2，求點A到平面SDC的距離。2.轉(zhuǎn)化法〔轉(zhuǎn)化為過這個點的面的平行線上的任一個點到面的距離〕如圖,在直二面角D-AB-E中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,AE=EB,F為CE上的點,且,求點D到平面ACE的距離.異面直線的距離①直接法：此法叫定義法，即根據(jù)定義作出異面直線的公垂線段，但難度較大；②轉(zhuǎn)化法：線線距→線面距;線線距→線面距→點面距;線線距→面面距③轉(zhuǎn)