4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式課件（1）-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷探索等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過程，類比推理得出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)；（2）通過例題的運(yùn)算，學(xué)會運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；（3）通過等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和公式的簡單運(yùn)用，體會從特殊到一般的思想方法，提高分析問題、解決問題的能力.【問題1】前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，等差數(shù)列的研究路徑是什么？【追問】如何研究等差數(shù)列的性質(zhì)？背景——定義——表示——性質(zhì)——應(yīng)用.研究數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)就是研究它的組成要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)都是通過“運(yùn)算”得出的.本節(jié)課繼續(xù)用運(yùn)算來研究等差數(shù)列的重要性質(zhì)——等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.問題情境印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇跡之一，傳說當(dāng)時陵寢中有一個等邊三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層(如下圖)．你知道這個圖案中一共有多少顆寶石嗎？問題2：這其實(shí)就是我們所熟悉的高斯算法的故事，高斯是如何快速求出1+2+3+4+…+100的和的？S100=1+2+3+4+…+100=？等差數(shù)列1，2，···，n，···的前100項(xiàng)和1+100=1012+99=1013+98=10150+51=101=50×101=5050計算：S100=1+2+3+4+…+100=？高斯Gauss.C.F

（1777~1855）高斯,德國數(shù)學(xué)家.與阿基米德,牛頓并稱為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家,有“數(shù)學(xué)王子”之稱.a1+a100=101a2+a99=101a3+a98=101a50+a51=101=50×101=5050S100=(a1+a100)+

(a2+a99)+…+

(a50+a51)an=n首尾配對法

通過配對湊成相同的數(shù)，變“多步求和”為“一步相乘”，即將“不同數(shù)的求和”轉(zhuǎn)化為“相同數(shù)的求和”【追問1】高斯在求和過程中利用了數(shù)列的什么性質(zhì)？【追問2】高斯求和法的實(shí)質(zhì)是什么？將100個不同的數(shù)的求和通過配對轉(zhuǎn)化成了50個相同的數(shù)的求和，變“多步求和”為“一步相乘”，即化“不同數(shù)的求和”為“相同數(shù)的求和”.【追問3】你能用這種方法求數(shù)列

的前101項(xiàng)和嗎？【問題3】你能用上述方法求數(shù)列

的前n項(xiàng)和嗎？【追問1】在對項(xiàng)數(shù)n分奇偶討論求和的過程中，遇到的難點(diǎn)是什么？【追問2】如何確定中間的項(xiàng)？【問題4】在求前n個正整數(shù)的和時，對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論得到的結(jié)果是一樣的，那么怎樣避開分類討論實(shí)現(xiàn)“配對”，將“不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”呢？“奇數(shù)加奇數(shù)、偶數(shù)加偶數(shù)”都可以變成偶數(shù)，根據(jù)這個性質(zhì)讓它自己和自己配對.倒序相加法

Sn=a1+a2+…+an-1+an

Sn=an+an-1+…+a2+a1

【問題5】你能將上述方法推廣到求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？【追問1】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有什么特點(diǎn)？只要知道首項(xiàng)和末項(xiàng)就可以求得前n項(xiàng)和.用首末兩項(xiàng)的平均數(shù)代替原來的每一個數(shù)，從而將加法簡化為乘法.就是等差數(shù)列前n項(xiàng)的平均數(shù)的n倍.這也是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的另一種形式.也可以通過轉(zhuǎn)化為基本量a1和d利用求和公式和每項(xiàng)具體化【追問2】只要知道等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，數(shù)列就完全確定了，那么你能根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差得到它的前n項(xiàng)和公式嗎？【問題6】根據(jù)前面的推導(dǎo)過程，你能說出等差數(shù)列

的前n項(xiàng)和公式與梯形的面積

公式有什么聯(lián)系嗎？方程思想

在研究等差數(shù)列時，對