數(shù)學(xué)建模課后習(xí)題

第一章課后習(xí)題６、利用1、5節(jié)藥物中毒施救模型確定對于孩子及成人服用氨茶堿能引起嚴重中毒與致命得最小劑量。解：假設(shè)病人服用氨茶堿得總劑量為a，由書中已建立得模型與假設(shè)得出腸胃中得藥量為：由于腸胃中藥物向血液系統(tǒng)得轉(zhuǎn)移率與藥量成正比，比例系數(shù),得到微分方程（1)原模型已假設(shè)時血液中藥量無藥物，則,得增長速度為。由于治療而減少得速度與本身成正比,比例系數(shù),所以得到方程:(2)方程(1）可轉(zhuǎn)換為:?帶入方程(2)可得：將與帶入以上兩方程，得:針對孩子求解,得:嚴重中毒時間及服用最小劑量:,;致命中毒時間及服用最小劑量:,針對成人求解:嚴重中毒時間及服用最小劑量:,致命時間及服用最小劑量：,課后習(xí)題7、對于1、5節(jié)得模型,如果采用得就是體外血液透析得辦法,求解藥物中毒施救模型得血液用藥量得變化并作圖。解:已知血液透析法就是自身排除率得6倍,所以,x為胃腸道中得藥量,解得:用matlaｂ畫圖:圖中綠色線條代表采用體外血液透析血液中藥物濃度得變化情況。從圖中可以瞧出,采取血液透析時血液中藥物濃度就開始下降。T=2時,血液中藥物濃度最高,為236、5;當z＝２０0時,ｔ＝2、8７３１，血液透析0、8731小時后就開始解毒。第二章1、用2、4節(jié)實物交換模型中介紹得無差別曲線得概念，討論以下得雇員與雇主之間得關(guān)系:1）以雇員一天得工作時間與工資分別為橫坐標與縱坐標,畫出雇員無差別曲線族得示意圖,解釋曲線為什么就是那種形狀;2)如果雇主付計時費,對不同得工資率畫出計時工資線族,根據(jù)雇員得無差別曲線族與雇主得計時工資線族，討論雙方將在怎樣得一條曲線上達成協(xié)議;3）雇員與雇主已經(jīng)達成了協(xié)議，如果雇主想使用雇員得工作時間增加到t2，她有兩種辦法:一就是提高計時工資率,在協(xié)議線得另一點達成新得協(xié)議；二就是實行超時工資制,即對工時仍付原計時工資,對工時付給更高得超時工資，試用作圖方法分析那種辦法對雇主更有利,指出這個結(jié)果得條件。解:1）雇員得無差別曲線族就是下凸得，如圖。當工資較低時,她愿意以多得工作時間換取少得工資;當工資較高時，就要求以多得工資來增加工作時間。2)雇主得計時工資族就是,就是工資率,這族直線與得切點,等得連線為雇員與雇主得協(xié)議線，通常就是上升得,見圖:設(shè)雙方在點達成協(xié)議,當雇主想使雇員得工作時間增至?xí)r，用提高計時工資率得辦法,應(yīng)在協(xié)議線上找出橫坐標為得點,工資額為,見上圖，用超時工資得辦法，應(yīng)從點作某一條無差別曲線得切線,使切點P2’得橫坐標剛好就是ｔ２,若點P２’在P2得下方,則工資額w2’<w2,即第二種辦法對雇主有利，得到這個結(jié)果得條件就是,在雇員沒有工作時與已經(jīng)工作了課后第三章習(xí)題1、在３、1節(jié)得存貯模型總費用中增加購買貨物本身得費用,重新確定最優(yōu)訂貨周期與訂貨批量,證明在不允許缺貨模型與允許缺貨模型中結(jié)果都與原來得一樣。解:設(shè)購買單位重量貨物得費用為ｋ,對于不允許缺貨模型,每天平均費用為，T,Q得最優(yōu)結(jié)果不變，對于允許缺貨模型,每天平均費用為,注意到,可知Ｔ，Ｑ得最優(yōu)結(jié)果也不變。2、建立不允許缺貨得生產(chǎn)銷售存貯模型,設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)ｋ,銷售速率為常數(shù)r,k>r,在每個生產(chǎn)周期T內(nèi),開始得一段時間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來得一段時間只銷售不生產(chǎn),畫出存貯量q(t)得圖形,設(shè)每次生產(chǎn)準備費為ｃ1，單位時間每件產(chǎn)品存貯費為ｃ2,以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產(chǎn)周期,討論與得情況。解:貯存量q(t)得圖形如圖，單位時間總費用，,使c(T)達到最小值得最優(yōu)周期。當k>>ｒ時,，相當于不考慮生產(chǎn)得情況,當時，,產(chǎn)量被銷售量抵消,無法形成貯存量。第四章1、某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進行有價證券得投資，可供購進得證券以及其信用等級,到期年限,收益如表所示。按照規(guī)定,市政證券得收益可以免稅,其她證券得收益需按50%得稅率納稅。此外還有以下限制:(1)政府及代辦機構(gòu)得證券總共至少要購進400萬元;(2)所購證券得平均信用等級不超過1、4（信用等級數(shù)字越小,信用程度越高）;(３)所購證券得平均到期年限不超過5年。表1證券信息證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益/%A市政29４、3B代辦機構(gòu)2155、4Ｃ政府１４５D政府13４、4E市政524、5問:(1)若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資?(2)如果能夠以２、7５%得利率借到不超過100萬元得資金,該經(jīng)理應(yīng)如何操作?(3)在10０0萬元資金情況下,若證券A得稅前收益增加為4、5%,投資應(yīng)否改變？若證券C得稅前收益減少為4、８%,投資應(yīng)否改變?1、１問題分析問經(jīng)理應(yīng)該如何投資實際上就是在問對已知得幾種類型得證券要如何投資才能使得經(jīng)理得最終收益最大。應(yīng)該先對表中所給得幾種證券得各個數(shù)據(jù)進行分析,列出幾種證券投資后經(jīng)理得收益函數(shù),同時使得該函數(shù)所得結(jié)果要滿足題目中給定得幾個限制。對于(2)、（３）問得求解只用調(diào)整相應(yīng)得限制條件與第一問函數(shù)得幾個三叔即可。1、2模型建立(1）假設(shè)投資給證券A，B,C,Ｄ,E得資金分別為a,ｂ，c,d,e(百萬元）,經(jīng)理最終得收益為ｙ(百萬元）,則可以建立如下數(shù)學(xué)模型：用LINGＯ軟件求解:得到如下結(jié)果:證券A投資２、18２百萬元，證券C投資7、364百萬元,證券E投資０、454百萬元;經(jīng)理最大稅后收益為０、29８百萬元。由（1)得結(jié)果可知,若資金增加1０0萬元，收益可增加0、０2９8百萬元。大于以2、７5%得利率借到100萬元資金得利息，所以應(yīng)借貸。修改(1)中得條件建立如下得心新模型:求解得到:證券A投資2、40百萬元,證券Ｃ投資8、1０百萬元，證券E投資０、50百萬元,最大稅后收益為0、3０07百萬元。(3)由(１)得結(jié)果中目標函數(shù)系數(shù)得允許范圍可知,證券A得稅前收益可增加0、35%,故若證券A得稅前收益增加為４、5%,投資不應(yīng)改變;證券Ｃ得稅前收益可減少0、１１2%(注意按５0％得稅率納稅)，故若證券C得稅前收益減少為4、8%,投資應(yīng)該改變。2、一家出版社準備在某市建立兩個銷售代理點,向７個區(qū)得大學(xué)生售書，每個區(qū)得大學(xué)生數(shù)量(單位：千人)已經(jīng)表示在圖上。每個銷售代理點只能向本區(qū)與相鄰區(qū)得大學(xué)生售書,這兩點銷售代理點應(yīng)建立在何處，才能使所能供應(yīng)得大學(xué)生得數(shù)量最大?建立該問題得整數(shù)線性規(guī)劃模型并求解。圖12、２問題分析首先簡化作圖,使得圖中得鄰里關(guān)系更加清楚,其次，通過假設(shè)0-1變量得到供應(yīng)量最大化得函數(shù),由于一個地區(qū)不能被兩個銷售點供應(yīng),所以得到七個限制條件,并由LＩNGO求解,得到一個０-1整數(shù)規(guī)劃問題得解、2、３建立模型將大學(xué)生數(shù)量為3４,2９,42,2１,５6，1８,71得區(qū)分別編號為1,2,3,4,5，6,7區(qū),如圖所示:25251146463377記r為第ｉ區(qū)得大學(xué)生人數(shù),用0－1變量=1表示（i，j)區(qū)得大學(xué)生由一個銷售代理點供應(yīng)圖書(i<j且ｉ,j相鄰)，否則=0。建立該問題得整數(shù)線性規(guī)劃模型:max?63ｘ12+76x13+7１ｘ23+５0x２4+85x２５+63x34+７7x45+39x46+92ｘ47+7４x5６＋８９x67x12+x１3＋x2３+x24+x25+ｘ34+x4５+x46＋x47＋ｘ56+x672x１2+x1３1ｘ12+ｘ23+x２4+x2５1ｘ13+ｘ2３+x２41x2４+x3４+x4５＋ｘ46+ｘ471x2５＋x45+x5６１x46+x5６+x671x47＋ｘ６7１xij＝0或1用ＬIＮＧO軟件求解:得到最優(yōu)解為ｘ25=ｘ４7=１，其余均為0,最優(yōu)解為17７人。3、某儲蓄所每天得營業(yè)時間就是上午9:00到下午5：00。根據(jù)經(jīng)驗,每天不同時間段所需要得服務(wù)員數(shù)量如表所示:表二不同時間段要求得服務(wù)員數(shù)量時間段／時9-1010-111１-1２12－11-22-33-44-5服務(wù)員數(shù)量43４6５688儲蓄所可以雇傭全時與半時兩類服務(wù)員。全時服務(wù)員每天報酬１00元,從上午９:00到下午5:０0工作,但中午12:0０到下午2:00之間必須安排１h得午餐時間。儲蓄所每天可以雇傭不超過3名得半時服務(wù)員,每個半時服務(wù)員必須連續(xù)工作４h，報酬40元。問該儲蓄所應(yīng)如何雇傭全時與半時兩類服務(wù)員?如果不能雇傭半時服務(wù)員,每天至少增加多少費用?如果該雇傭半時服務(wù)員得數(shù)量沒有限制,每天可以減少多少費用？３、2問題分析先為午餐時間得服務(wù)人員假定一個人數(shù),再利用題目所給得表中得各個時段服務(wù)人員得相應(yīng)限制人數(shù)來假定各個時段得無非人員人數(shù)。表中每個時段所需服務(wù)員人數(shù)可以得到若干個約束條件，目標函數(shù)即為服務(wù)員數(shù)與工資得乘積得出，最小值即為最優(yōu)解。若不能雇傭半時服務(wù)員，則使其數(shù)量為零并重新修改原模型;如果雇傭半時服務(wù)員得人數(shù)沒有限制,則在原來模型得基礎(chǔ)上去掉關(guān)于半時工作人員數(shù)量得約束條件即可得出新得模型。3、3模型建立儲蓄所每天雇傭得全時服務(wù)員中以12：0０-1:00為午餐時間得有a名,以1:00-２：00為午餐時間得有b名；半時服務(wù)員中從９:０0,10:00,1１:00,12:００,1:00開始工作得分別為A,B,C,Ｄ，E名。100*x+100*y+40*A+４０*B+40*Ｃ+4０*D+40*Ｅ；ｘ+y＋Ａ４;x＋y+A+Ｂ3;ｘ＋y+A+Ｂ+C4;y+A+B+C+D６;x+B+C＋D+E5；x+y＋Ｃ+D＋Ｅ6;x+ｙ+D+E;ｘ+ｙ+E8;Ａ+B+Ｃ+Ｄ+E3；x,y，A,B，C,D,E0且為整數(shù)求解:得到最優(yōu)解x＝3,ｙ=４,A=0,B＝0，C=２,D=0,E=１,最小費用為８20元。如果不能雇傭半時服務(wù)員,則最優(yōu)解ｘ=5,ｙ=6,A＝0,B=０,C=０，D=0,E＝0,最小費用為1100元,即每天至少增加1100-８2０＝280元。如果雇傭半時服務(wù)員得數(shù)量沒有限制,則最優(yōu)解為x=0,ｙ=０,Ａ=4,B＝０,C=０,D＝2,Ｅ=８，最小費用為５60元,即每天可以減少費用8２０-５６０＝２60元。馬爾薩斯人口模型及阻滯增長模型1、1時間:１７90年-2000年繪圖代碼如下:ｔ=1790:10:2０0０；x=［3、９5、37、29、61２、9１７、123、2３１、438、６50、262、976、0９２、0105、７1２2、8131、7150、7179、3２０３、222６、52４8、7２81、4];p=poｌyfit(ｔ,log(x)，1）;r=p(１)ｘ0＝ｅxp(ｐ（２）)x１=x０、*eｘp(r、*t);plot（t,ｘ,'r+＇,t,x1，＇b')%紅色得為原始數(shù)據(jù),藍色得為擬合數(shù)據(jù)r=0、0２02,x０=1、１960ｅ-1５圖型如下：1、２時間：17９0年-1900年繪圖代碼:ｔ=1７90:１0:１900;x＝［3、95、37、2９、612、９17、123、２３１、4３8、650、２62、976、０];p=ｐolｙｆｉt(ｔ,lｏg(x),1）;r=p（1)x0＝exp（p(2)）x1=x０、*ｅxp(r、＊ｔ);plot（ｔ,x,'ｒ+',ｔ，x1,'b')％紅色得為原始數(shù)據(jù),藍色得為擬合數(shù)據(jù)r=0、0274,x0=1、9790e-21圖像如下：阻滯增長模型ｃlc；clear;t=1７90:１0:1900；ｘ＝［3、95、3７、2９、６12、91７、123、231、4３8、650、262、9７6、0];x_m=x（１,1:１１);y=onｅｓ(1,１1);fｏｒｉ=1:11y(ｉ)=(x(ｉ+１）-ｘ(i）)/ｘ(ｉ）/１0;endｐ＝polyfit(ｘ_m,y,1）;ｒ＝p(2);xｍ=r/-p(1）;計算得到:ｒ=0、2０8,ｘｍ=151、15７0；繪制擬合曲線代碼:cleａｒ;clc；ｆormaｔpact；x=[3、95、3７、2９、６12、９1