立體幾何空間距離問(wèn)題

立體幾何空間距離問(wèn)題空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn)，其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離.●難點(diǎn)磁場(chǎng)(★★★★)如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中點(diǎn).求：(1)Q到BD的距離；(2)P到平面BQD的距離.P為RT△ABC所在平面α外一點(diǎn),∠ACB=90°(如圖)(1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距離及PC和α所成的角

（2）若PC=24，P到AC，BC的距離都是6√10，求P到α的距離及PC和α所成角

（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距離為40，求P到BC的距離●案例探究［例1］把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求：(1)EF的長(zhǎng)；(2)折起后∠EOF的大小.命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決立體幾何問(wèn)題，屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積公式.錯(cuò)解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)系.其中必須保證x軸、y軸、z軸兩兩互相垂直.技巧與方法：建系方式有多種，其中以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡(jiǎn)單.解：如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a,則A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,a),E(0,－a,a),F(a,a,0)∴∠EOF=120°［例2］正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，求異面直線A1C1與AB1間的距離.命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得.錯(cuò)解分析：本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為O1B是A1C與AB1的距離，這主要是對(duì)異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距離.技巧與方法：求異面直線的距離，有時(shí)較難作出它們的公垂線，故通常采用化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如圖，連結(jié)AC1，在正方體AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1與平面AB1C間的距離等于異面直線A1C1與AB1間的距離.連結(jié)B1D1、BD，設(shè)B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，連結(jié)B1O，則平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O作O1G⊥B1O于G，則O1G⊥平面AB1C∴O1G為直線A1C1與平面AB1C間的距離，即為異面直線A1C1與AB1間的距離.在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1==∴O1G=，即異面直線A1C1與AB1間距離為.解法二：如圖，在A1C上任取一點(diǎn)M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，連結(jié)RN，∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，設(shè)A1R=x,則RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，∴MR=x,RN=NB1=(0＜x＜1∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最小值即異面直線A1C1與AB1距離為.●錦囊妙計(jì)空間中的距離主要指以下七種：(1)兩點(diǎn)之間的距離.(2)點(diǎn)到直線的距離.(3)點(diǎn)到平面的距離.(4)兩條平行線間的距離.(5)兩條異面直線間的距離.(6)平面的平行直線與平面之間的距離.(7)兩個(gè)平行平面之間的距離.七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離.在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn).求點(diǎn)到平面的距離：(1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離.(3)體積法.求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小的.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.(★★★★★)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面角(如圖)，M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值為，那么點(diǎn)M到直線EF的距離為()2.(★★★★)三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,設(shè)平面A1BC1與平面ABC的交線為l，則A1C1與l的距離為()A. B. C.2.6 D.2.4二、填空題3.(★★★★)如左下圖，空間四點(diǎn)A、B、C、D中，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于a，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為_(kāi)________.4.(★★★★)如右上圖，ABCD與ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度數(shù)為30°，那么EF與平面ABCD的距離為_(kāi)________.三、解答題5.(★★★★★)在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖：(1)求證：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離；(3)求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離.6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，點(diǎn)E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=a,求：(1)截面EAC的面積；(2)異面直線A1B1與AC之間的距離；(3)三棱錐B1—EAC的體積.7.(★★★★)如圖，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A1A與AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.(1)求點(diǎn)A到平面B1BCC1的距離；(2)當(dāng)AA1多長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)A1到平面ABC與平面B1BCC1的距離相等.8.(★★★★★)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=AD=a,∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a.(1)求異面直線AD與PC間的距離；(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)F，使點(diǎn)A到平面PCF的距離為.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E為垂足連結(jié)QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂線定理得QE⊥BE∴QE的長(zhǎng)為Q到BD的距離在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,∴AE=在Rt△QAE中，QA=PA=c∴QE=∴Q到BD距離為.(2)解法一：∵平面BQD經(jīng)過(guò)線段PA的中點(diǎn)，∴P到平面BQD的距離等于A到平面BQD的距離在△AQE中，作AH⊥QE，H為垂足∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE∴BD⊥AH∴AH⊥平面BQE，即AH為A到平面BQD的距離.在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=∴AH=∴P到平面BD的距離為解法二：設(shè)點(diǎn)A到平面QBD的距離為h，由VA—BQD=VQ—ABD,得S△BQD·h=S△ABD·AQh=殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：過(guò)點(diǎn)M作MM′⊥EF,則MM′⊥平面BCF∵∠MBE=∠MBC∴BM′為∠EBC為角平分線，∴∠EBM′=45°,BM′=,從而MN=答案：A2.解析：交線l過(guò)B與AC平行，作CD⊥l于D，連C1D，則C1D為A1C1與l的距離，而CD等于AC上的高，即CD=,Rt△C1CD中易求得C1D==2.6答案：C二、3.解析：以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取P、Q分別為AB、CD的中點(diǎn)，因?yàn)锳Q=BQ=a,∴PQ⊥AB,同理可得PQ⊥CD，故線段PQ的長(zhǎng)為P、Q兩點(diǎn)間的最短距離，在Rt△APQ中，PQ=a答案：a4.解析：顯然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角，∠FAD=30°,過(guò)F作FG⊥平面ABCD于G，則G必在AD上，由EF∥平面ABCD.∴FG為EF與平面ABCD的距離，即FG=.答案：三、5.(1)證明：由于BC1∥AD1，則BC1∥平面ACD1同理，A1B∥平面ACD1，則平面A1BC1∥平面ACD1(2)解：設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d，則d等于D1到平面A1BC1的距離.易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，則cosA1BC1=,則sinA1BC1=,則S=,由于，則S·d=·BB1,代入求得d=,即兩平行平面間的距離為.(3)解：由于線段B1D1被平面A1BC1所平分，則B1、D1到平面A1BC1的距離相等，則由(2)知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于.6.解：(1)連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO，∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD∴EO⊥AC，即∠EOD=45°又DO=a，AC=a，EO==a，∴S△EAC=a(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線又EO∥BD1，O為BD中點(diǎn)，∴D1B=2EO=2a∴D1D=a，∴A1B1與AC距離為a(3)連結(jié)B1D交D1B于P，交EO于Q，推證出B1D⊥面EAC∴B1Q是三棱錐B1—EAC的高，得B1Q=a7.解：(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1∴BB1⊥平面A1EF即面A1EF⊥面BB1C1C在Rt△A1EB1中，∵∠A1B1E=45°，A1B1=a∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a同理A1F=a,又EF=a∴△EA1F為等腰直角三角形，∠EA1F=90°過(guò)A1作A1N⊥EF，則N為EF中點(diǎn)，且A1N⊥平面BCC1B1即A1N為點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離∴A1N=又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距離為∴a=2，∴所求距離為2(2)設(shè)BC、B1C1的中點(diǎn)分別為D、D1，連結(jié)AD、DD1和A1D1，則DD1必過(guò)點(diǎn)N，易證ADD1A1為平行四邊形.∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N∴B1C1⊥平面ADD1A1∴BC⊥平面ADD1A1得平面ABC⊥平面ADD1A1，過(guò)A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即當(dāng)AA1=時(shí)滿(mǎn)足條件.8.解：(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC從而AD與PC間的距離就是直線AD與平面PBC間的距離.過(guò)A作AE⊥PB，又AE⊥BC∴AE⊥平面PBC，AE為所求.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a∴AE=a(2)作CM∥AB，由已知cosADC=∴tanADC=,即CM=DM∴ABCM為正方形，AC=a,PC=a過(guò)A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=下面在AD上找一點(diǎn)F，使PC⊥CF取MD中點(diǎn)F，△ACM、△FCM均為等腰直角三角形∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F.

［學(xué)法指導(dǎo)］立體幾何中的策略思想及方法近年來(lái)，高考對(duì)立體幾何的考查仍然注重于空間觀點(diǎn)的建立和空間想象能力的培養(yǎng).題目起點(diǎn)低，步步升高，給不同層次的學(xué)生有發(fā)揮能力的余地.大題綜合性強(qiáng)，有幾何組合體中深層次考查空間的線面關(guān)系.因此，高考復(fù)習(xí)應(yīng)在抓好基本概念、定理、表述語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，以總結(jié)空間線面關(guān)系在幾何體中的確定方法入手，突出數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用，并積極探尋解答各類(lèi)立體幾何問(wèn)題的有效的策略思想及方法.一、領(lǐng)悟解題的基本策略思想高考改革穩(wěn)中有變.運(yùn)用基本數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化，類(lèi)比，函數(shù)觀點(diǎn)仍是考查中心，選擇好典型例題，在基本數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，歸納一套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學(xué)生歡迎的，學(xué)生通過(guò)熟練運(yùn)用，逐步內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，解決一般基本數(shù)學(xué)問(wèn)題就會(huì)自然流暢.二、探尋立體幾何圖形中的基面立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來(lái).