高中數(shù)學(xué)人教版(A版)必修-第一冊(cè)(2019)-3.2.1-單調(diào)性與最大小值-公開課

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲岛贾菽橙?～24時(shí)氣溫曲線圖024681012141618202224510152025303540T（℃）(14，36.8）(4，25.1）t(h)觀察圖像，結(jié)合已學(xué)過(guò)的函數(shù)觀點(diǎn),你能說(shuō)出這一天的氣溫變化規(guī)律嗎？觀察圖像，說(shuō)出函數(shù)的變化規(guī)律.oxyxxf=)(oxyoxy問題1:根據(jù)上面的描述,對(duì)比函數(shù)f(x)=x與f(x)=x2在區(qū)間（-∞，+∞）上的變化規(guī)律，說(shuō)出它們的不同點(diǎn)？探究一oxyxxf=)(oxy探究一問題2:請(qǐng)歸納函數(shù)f(x)=x,f(x)=2x+1和函數(shù)f(x)=x2(x>0)的共同特征.oxy2x+1xf=)(x1f(x1)x2f(x2)xyo試用符號(hào)語(yǔ)言表述函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).xf(x1)f(x2)x1x2oy類比增函數(shù)的描述方法，試用符號(hào)語(yǔ)言表述函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).1.增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋桑喝绻麑?duì)于定義域Ｉ內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(increasingfunction).2.減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋桑喝绻麑?duì)于定義域Ｉ內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)(decreasingfunction).3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.杭州某日0～24時(shí)氣溫曲線圖024681012141618202224510152025303540T（℃）(14，36.8）(4，25.1）t(h)問題3：觀察圖象，說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)

.02-1xy1431-2-3235探究一判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)定義域?yàn)閇0,+∞)的函數(shù)f(x)，滿足f(n)<f(n+1)，n=0,1,2,3,…，則稱函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)．(

)變式：函數(shù)f(x)在D

上是增函數(shù)，若任意x1,x2∈D，f(x1)>f(x2)，則有x1_____x2

(2)對(duì)于定義域內(nèi)的區(qū)間D,若任意x1,x2

∈D,當(dāng)x1>x2,都有

f(x1)>f(x2),則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).(

)>(3)若任意x1,x2

∈D,都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)],>0,則函數(shù)f(x)

在D上是增函數(shù).(

)

例1:用定義證明:函數(shù)f(x)=2x+1在其定義域上是增函數(shù).探究二

例1:用定義證明:函數(shù)f(x)=2x+1在其定義域上是增函數(shù).探究二

證明：在區(qū)間（-∞，+∞）上任取兩個(gè)自變量值x1,x2,設(shè)x1<x2,取值f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2=2(x1-x2)作差變形∵x1<x2

∴x1-x2<0∴2(x1-x2)<0∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<

f(x2)定號(hào)∴函數(shù)f(x)=2x+1在其定義域上是增函數(shù).

下結(jié)論探究三

例2.物理學(xué)中的玻意耳定律

是常數(shù)且告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)P將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明.探究四

“函數(shù)在定義域

上是減函數(shù)”，這個(gè)說(shuō)法正確嗎？并給出理由.

xyo請(qǐng)寫出的單調(diào)區(qū)間________[注意]一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“,”連接．如函數(shù)y＝在(－∞，0),(0，＋∞)上單調(diào)遞減，卻不能表述為：函數(shù)y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上單調(diào)遞減．02-1xy1431-2-3235通過(guò)觀察圖1，可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像上有一個(gè)最高點(diǎn)（0，0）即當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)的圖像有最高點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)函數(shù)f(x)有最大值。圖102-1xy1431-2-3235通過(guò)觀察圖2，可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像上有一個(gè)最低點(diǎn)（0，0）即當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)的圖像有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)函數(shù)f(x)有最小值。圖2題型一利用圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指出其在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù):分析:若函數(shù)為我們熟悉的函數(shù),則直接給出單調(diào)區(qū)間,否則應(yīng)先畫出函數(shù)的草圖,再結(jié)合圖象“升降”給出單調(diào)區(qū)間.解:(1)函數(shù)y=3x-2的單調(diào)區(qū)間為R,其在R上是增函數(shù).(2)函數(shù)y=-的單調(diào)區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均為增函數(shù).解題方法（利用圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性:(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性由系數(shù)k決定:當(dāng)k>0時(shí),該函數(shù)在R上是增函數(shù);當(dāng)k<0時(shí),該函數(shù)在R上是減函數(shù).(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性以對(duì)稱軸x=-為分界線.由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為[1,2].題型二利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值

例2

已知函數(shù)y=-|x-1|+2,畫出函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的最值情況,并寫出值域.由圖象知,函數(shù)y=-|x-1|+2的最大值為2,沒有最小值.所以其值域?yàn)?-∞,2].解題方法（用圖象法求最值的3個(gè)步驟）(1)畫出f(x)的圖象;(2)利用圖象寫出該函數(shù)的最大值和最小值.解:(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無(wú)最大值.題型三證明函數(shù)的單調(diào)性

例3求證:函數(shù)f(x)=x+在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù).證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).故函數(shù)f(x)=x+在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù).[跟蹤訓(xùn)練三]1.求證：函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是增函數(shù)．題型四利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例4

已知函數(shù)f(x)=x+.(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.解:(1)設(shè)x1,x2是區(qū)間[1,2]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.當(dāng)1≤x1<x2≤2時(shí),x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù).(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值為f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值為4,最大值為5.

[跟蹤訓(xùn)練四]題型五函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例5

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),試比較f(a2-a+1)與f的大小.[跟蹤訓(xùn)練五]1.已知g(x)是定義在[-2,2]上的增函數(shù),且g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.

1.某租賃公司擁有汽車100輛,當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí),可全部租出,當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí),未租出的車將會(huì)增加一