2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 單元檢測卷（提高卷）（學(xué)生版+解析版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元檢測卷（提高卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1.（2021?云南高一期末）下列命題正確的是（）?

A.若力，則。。

B.若a>b,則比2>加2

C.若a>b,則/

D.若a>b,則Y

2.（2021?全國高一專題練習(xí)）實數(shù)。c滿足a?=2a+c-b-l且4+〃+1=0,則下列關(guān)系成立的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

3.（2022?全國高三專題練習(xí)）不等式o?-法+c>0的解集為{x|—2<x<l},則函數(shù)y=?+bx+c的圖像

大致為（）

4.（2021?江蘇高一開學(xué)考試）不等式（帆+1）』一點+m-1<0的解集為0,則，〃的取值范圍是（）

R,26

A.m<-1B.m>-----

3

「<2#）

C?m<--------D?m>---或?-----

333

5.（2021?全國高一課時練習(xí)）已知相>0,〃>0,m+〃=1,且x=〃z+—,y=n+—,則1+y的最小

mn

值是（）

A.4B.5C.8D.10

6.（2021?陜西省子洲中學(xué)高二開學(xué)考試（理））數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做尸廠”四卬汕也稱之

為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊

性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形AABC中，點O為

斜邊AB的中點，點。為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)A￡>=a,BD=b,則該圖形可以完成的無字證

明為（）

A.早2嵐(a>0,b>0)B.等wj￡l1^(a>0,b>0)

C.2Cinb~<yjab(a>0,b>0)D.a2+b2>>O,Z?>0)

a+b

21

7.（2021?全國）已知實數(shù)。>。力>1滿足a+Q5,則一+；—的最小值為（）

ab-\

A3+2&口3+4&「3+2&「3+40

A.------D.------C.------U.------

4466

8.（2020?江蘇高一單元測試）正數(shù)。力滿足=，若不等式〃+匕之-f+21+18-m對任意實數(shù)4恒成

立，則實數(shù)機的取值范圍是

A.m>3B.tn<3C.7?7<6D.m>6

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）

9.（2020?吳縣中學(xué)）當(dāng)0<x?g,若不等式Y(jié)+以+后0恒城立，則。的值可能為（）

A.B.—2-C.—1D.—3

2

10.（2020.江蘇高一月考）已知不等式底+fex+c>（1的解集為卜|一；<x<2},則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>0B.b>0C.c>0D.a+b+c>0

11.（2020?浙江省普陀中學(xué)高一月考）己知（/+從）9?+/）=（℃+慶/產(chǎn)+（6c-0）2,由此可得到不等式

（a2+h2）（c2+d2）>（ac+bd）2,當(dāng)且僅當(dāng)兒時取等號，利用此不等式求解以下問題：設(shè)a,b,c,deR,且

a2+b2-5>2ma+nb=5,則J4加+〃？的值不可能為（）

A.1B.2C.3D.4

12.（2020?江蘇省海頭高級中學(xué)高一月考）生活經(jīng)驗告訴我們，。克糖水中有人克糖（a>0,b>0,且a>b）,

若再添加C克糖（c>0）后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：?h4.-c趣h稱之為“糖水不等式”.根據(jù)生活

a+c'a

經(jīng)驗和不等式的性質(zhì)判斷下列命題一定正確的是（）■

A.若。>人>0,m>0,則小'與2的大小關(guān)系隨m的變化而變化

a+ma

一H2bb+m

B.右7M<0,貝（j—<----

aa+m

C.若a>Z?>0,c>ci>0,010^—7<

a+da+c

D.若a>0,b>0,則一定有f+&<1+白

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分。）

13.（2021.江西省石城中學(xué)（文））已知尸=/+4.+1,Q=-〃+26-4則尸、。的大小關(guān)系為.

14.（2021?黔西南州同源中學(xué)高一期末）關(guān)于x的不等式加+3x-l>0的解集是｛x|；<x<1｝則a=

15.（2021.全國高一單元測試）甲、乙兩車從A地沿同一線路到達5地，甲車一半時間的速度是。，另一

半時間的速度為力，乙車用速度。、。各行走了一半路程，且則車先到達B地.

16.（202（）.全國高一課時練習(xí)）已知都是正實數(shù)，求z=（x+2y）—I—的最值.

I九y）

甲、乙兩位同學(xué)分別給出了兩種不同的解法：?

甲:z=（x+2y）（Z+3]=2+^+^+8..18,.

（xy）yx

乙:z=（x+2y）（2+±）.2^^.2^^=16,

①你認(rèn)為甲、乙兩人解法正確的是.

②請你給出一個類似的利用均值不等式求最值的問題，使甲、乙的解法都正確:.

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或演算步驟。）

17.（2021?湖南邵陽市?高一期末）已知函數(shù)y=-2/+3x-l.

（1）求解不等式y(tǒng)>。的解集；

（2）當(dāng)x>0時，求函數(shù)y=-21+3人一的最大值,以及y取得最大值時x的值.

X

42

18.(2021?全國高一專題練習(xí))對于題目：己知6>0,n>0,且/M=1,求A=m+2〃+—+—最小值.

mn

42

同學(xué)甲的解法：因為m>0,〃>0,所以一>0,->0,從而：

mn

4242ITI2

m+2〃4---1—二("74—)+(2〃H—)22/n---F2.2n—=8.

mnmn、根，〃

所以4的最小值為8.

同學(xué)乙的解法：因為m>0,〃>0,

所以〃z+2/i+±+2-m+2n++=3。"+2n)>6ylm-2n=6&.

tnntnn

所以A的最小值為6枝.

①請對兩位同學(xué)的解法正確性作出評價；?

②為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外一道題，請你解決：?

已知〃>0,b>0,且(。+l)(b+2)=6,求8=。+/?4-----1-----的最小值.

。+1b+2

x~+2艾+4

19.(2021?內(nèi)蒙古赤峰市?高一期末(文))已知函數(shù)丁=

x+2

(1)求函數(shù)y在區(qū)間［-覃］上的最值；

(2)若關(guān)于x的方程V+2x+4-以=0在區(qū)間(0,3)內(nèi)有兩個不等實根，求實數(shù)。的取值范圍.

20.（2020?上海高三專題練習(xí)）某航運公司用300萬元買回客船一艘，此船投入營運后，每月需開支燃油

費、維修費、員工工資，已知每月燃油費7000元，第〃個月的維修費和工資支出為600（〃-1）+3000元.

（1）設(shè)月平均消耗為y?元，求y與〃（月）的函數(shù)關(guān)系：

（2）投入營運第幾個月，成本最低？（月平均消耗最小）

（3）若第一年純收入50萬元（已扣除消耗），以后每年純收入以5%遞減，則多少年后可收回成本？

X2-X-2>0（A）

21.（2018?上海市三林中學(xué)）已知關(guān)于x的不等式組、，.二）y

2x-+（2Z+5）x+5Z<0（B）

（1）求解不等式（8）的解集;?

（2）若不等式組的整數(shù)解集M中有且只有一個元素，求實數(shù)火的取值范圍及相應(yīng)的集合M.

22.（2021?全國高一專題練習(xí)）對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點作如下定義：若苫>:，那么稱

ba

點（a,6）是點（G"）的“上位點”.同時點（c,d）是點（a,6）的“下位點”；

（1）試寫出點（3,5）的一個“上位點”坐標(biāo)和一個“下位點”坐標(biāo)；

（2）已知點（。,6）是點（c,4）的“上位點”，判斷點P（a+c,力+d）是否既是點（c,d）的“上位點”，又是點（a,。）的

“下位點”，證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)正整數(shù)〃滿足以下條件：對集合卜|0<f<2019/eZ｝內(nèi)的任意元素m,總存在正整數(shù)%,使得點（〃,%）

既是點（2019,間的“下位點”，又是點（2020,機+1）的“上位點”，求正整數(shù)〃的最小值.

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元檢測卷（提高

卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（2021?云南高一期末）下列命題正確的是（）

A.若a>b,則ac>力c

B.若a>。，則a。。>be2

C.若a>b,則

D.若a>b,則/

【答案】C

【分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和特值法，即可求解.

【詳解】

ll]a>b,c=O,可得ac=/?c,ac-bct故A,B錯，

由y=x3在R上遞增，可得”>b,即有a”凡故c對，

由0=1為=-1,得〃2=從,故D錯，

故選：C

2.（2021?全國高一專題練習(xí)）實數(shù)a,h,c滿足笳=2a+c—6-1且a+〃+l=O,則下列

關(guān)系成立的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

【分析】

利用（a-=cN0判斷從c的關(guān)系。利用減元思想得b-a=廿+b+1判斷a力的關(guān)系

【詳解】

由。2=2。+。-1-1可得（。-1）2=。-6*0,利用完全平方可得

所以cN。，由4+62+1=0可得a=-〃-i,

、1.3

b—ci=b~+/?+1=（Z?H—）4—>0,:.b>a,

24

綜上。之人>。,

故選：D

3.（2022?全國高三專題練習(xí)）不等式-法+c>0的解集為則函數(shù)

丫=3?+法+C的圖像大致為（

【分析】

山一元：次不等式的解集形式確定。的正負(fù)，。力,C的關(guān)系，得函數(shù)零點，然后確定函數(shù)圖

象.

【詳解】

??,不等式62一汝+°>0的解集為{劃一2vxvl},

-2+1=2

ab=-a

-2x1=—,c=-2a,

a

a<0

a<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a(x2-x-2),圖象開口向下,兩個零點為2,-1.

故選：C.

4.（2021?江蘇高一開學(xué)考試）不等式-痛+機-1<0的解集為0,則機的取值范

圍是（）

A.m<—1B.mz也

3

c.旌-亞c、25/3_p.2\/3

D.m>----或mW-----

333

【答案】B

【分析】

不等式（m+1）》2-，歡+相-1<0的解集為0,可轉(zhuǎn)化成不等式（加+1）/一〃a+，〃-120恒成

立，然后討論二次項系數(shù)和判別式可得結(jié)論.

【詳解】

因為不等式（"+l）f-如+〃7-1V。的解集為0，

J不等式+一如+加一120恒成立

①當(dāng)m+1=0,即"?=_i時，不等式化為戶2對，解得后2,不是對任意恒成立，舍去；

②當(dāng)用+1#）,即m#一1時，對任意要使（加+1）產(chǎn)一郎+〃2-120,只需〃?+1>0且

A=（-/n）2-4（/n+l）（/n-l）<0,解得加之^.

綜上，實數(shù)機的取值范圍是，"22叵.

3

故選：B.

5.（2021?全國高一課時練習(xí)）已知加>0,〃>0,m+〃=1且尤=〃2+工，y=n+—,

mn

則1+y的最小值是（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【分析】

由已知可得X+>=膽+,+〃+1=1+,+,=1+['+1]（機+〃），化簡后利用基本不等式求

mnmn\mn）

其最小值.

【詳解】

依題意有x~{~y=m+n-\-------1—

mn

=1+（—+—|（/?t4-n）

\mn）

nm

=3+—+—

tnn

>3+2=5>

當(dāng)且僅當(dāng)機=〃=;時取等號.

故選：B.

6.（2021?陜西省子洲中學(xué)高二開學(xué)考試（理））數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做/5”‘力卬而?！凹印苯?

也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于

這種證明方法的特殊性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，

在等腰直角三角形A4BC中，點。為斜邊A8的中點，點。為斜邊上異于頂點的一個動

點，設(shè)AO=a,BD=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

c

A.a+>y[ab(a>0,b>0)a+b

B.<m>o,b>o)

2~2~

c.衛(wèi)■4疝3＞o力＞0）

D.ci2+b2>2\[ab(a>0,Z?>0)

a+b

【答案】B

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分別表示OC和co,根據(jù)長度關(guān)系，判斷選項.

【詳解】

由圖可知，OC=gAB=^^,OD=\OB-BU\=---b=

在Rt/\OCD中,CD=^]OC2+OD2=顯然OCWCO,

即止

2

故選：B.

、21

7.（2021?全國）已知實數(shù)。＞0力＞1滿足a+Q5,則一+；—的最小值為（）

ab—1

A3+2夜D3+4夜「3+20八3+4上

4466

【答案】A

【分析】

所求士2+士1的分母特征，利用々+Q5變形構(gòu)造〃+S-1）=4,再等價變形

ab-\

:（2+不二）g+3-1）］,利用基本不等式求最值.

4ab-\

【詳解】

解：因為。＞0,b＞l滿足々+Q5,

21211

貝戶+「7=（_+17）［。+（6—1小7

ab-\ab-\LJ4

當(dāng)且僅當(dāng)空二D=旦時取等號，

ab-\

故選：A.

【點睛】

本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、

湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，

做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用

基本不等式的前提.

8.(2020?江蘇高一單元測試)正數(shù)。力滿足9〃+h=a〃，若不等式a+ZjN—f+2x+18-m對

任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)膽的取值范圍是

A.m>3B.m<3C.m<6D.m>6

【答案】A

【分析】

利用基本不等式求得a+b的最小值，把問題轉(zhuǎn)化為加2/(x)恒成立的類型，求解Ax)的最

大值即可.

【詳解】

?,-9a+b=ab.

19

—+:=1,且〃力為正數(shù)，

ab

,,，、,19、，八b9a\lb9a

:.a+b=(a+/?)(—+—)=10H1--..10+2.-----=16,

ababNab

當(dāng)且僅當(dāng)2=半，即a=4,人=12時，(〃+。),“加=16,

ab

若不等式a++2x+18-"z對任意實數(shù)x恒成立，

則162-J?+2X+18-%對任意實數(shù)x恒成立，

即機2-f+2x+2對任意實數(shù)x恒成立，

—x~+2x+2=—(x-1)~+3?3,

m>3,

故選：A

【點睛】

本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.)

9.（2020.吳縣中學(xué)）當(dāng)0<x?5,若不等式/+6+120恒城立，則。的值可能為（）

A.—B.—2C.—1D.—3

2

【答案】ABC

【分析】

分離參數(shù)可得aW-x-J,求出g（x）=r-1在區(qū)間（0,；上的最大值即可求解.

【詳解】

當(dāng)0<x?g,若不等式/+or+120恒城立，

等價于-X-』在區(qū)間上恒成立，

x12」

設(shè)且⑴-一日出）

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得g（x）在（0，；單調(diào)遞增，

所以g（xLx=-；-2=-g.

所以心二，

故選：ABC

10.（2020.江蘇高一月考）已知不等式nY+Zzr+oO的解集為卜|一；<》<2卜則下列結(jié)

論正確的是（）

A.a>0B.b>0C.c>0D.a+b+c>0

【答案】BCD

【分析】

對A,根據(jù)一元二次方程與一元二次函數(shù)的關(guān)系即可判斷；對B,C,利用韋達定理即可判

斷；對D,根據(jù)韋達定理以及b>0,即可求解.

【詳解】

解：對A,:不等式以2+%x+c>o的解集為卜1一萬<x<，

故相應(yīng)的二次函數(shù)丫=以?+法+c的圖象開口向下，

即。<0,故A錯誤；

對B,C,出題意知：2和-萬是關(guān)乎x的方程or?+6x+c=0的兩個根，

則有￡=2x（一■-）=—1<0,—=2+（--）=—>0,

a2a22

又?.?"（），故b>0,c>0,故B,C正確；

對D,,.,￡=-1,

a

:.a+c=O,

又?.力>0,

:.a+h+c>0,故D正確.

故選：BCD.

11.（2020?浙江省普陀中學(xué)高一月考）已知（（+6）92+&2）=（的+加）2+（A-十）2,由此

可得到不等式（a2+〃）（c2+/）w（ac+/）2,當(dāng)且僅當(dāng)歷="4時取等號，利用此不等式求解

以下問題：設(shè)a,b,c,dwR,且〃+從=5,2ma+nb=5,則J4,叩+"的值不可能為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】AB

【分析】

宜接利用所給不等式得（/+/）（4療+/R（2am+尿/，而/+/=5,2ma+nb=5,從而

可得結(jié)論

【詳解】

由已知可得（a?+b2）（4m2+n2）>（2am+bri）2,

ffija2+b2=5,2ma+nb=5,

所以2石,故，4"?2+，的值不可能為1,2,

故選：AB.

12.（2020?江蘇省海頭高級中學(xué)高一月考）生活經(jīng)驗告訴我們，a克糖水中有h克糖（eO,

Q0,且a>6）,若再添加c克糖（c>0）后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：—

a+ca

趣稱之為“糖水不等式”.根據(jù)生活經(jīng)驗和不等式的性質(zhì)判斷下列命題一定正確的是（）

A.若。〉8>0,機>0,則小絲與2的大小關(guān)系隨機的變化而變化

a^ma

--nbb+m

B.若a>0>0,m<0,則一<----

aa+m

C.若a>/?>0,c>d>0貝!!<--

9a+da+c

D.若a>0,b>0,則一定有

【答案】CD

【分析】

根據(jù)“糖水不等式”，即可判斷A；

舉反例，如4=3/=1,〃?=-2,即可判斷B；

若”>5>0,c>d>0,則c-d>0,4+d>b+d>0,再根據(jù)“糖水不等式”即可判斷C；

利用不等式的性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】

解：對于A,根據(jù)“糖水不等式“，若a>b>0,根>0,則處故A錯誤；

a+ma

對于B,當(dāng)a=3,b=l,〃?=-2時，2=與題設(shè)矛盾，故B錯誤；

a3a+ma

對于C,若a>b>0,c>d>0f則c-d>0,a+d>〃+d>。，

根據(jù)“糖水不等式“，二空,即號〈生，故C正確；

a"+,d++cc-da+da+d-

對于D,若,則10,1+4+b>1+力>0,

匚―1111

所以------<,-------<--,

1+。+〃1+〃1+Q+Z71+匕

所以>故D正確.

三、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分,

第二空3分。)

13.(2021?江西省石城中學(xué)(文))已知P=〃+4a+l,Q=-/+3-4則尸、。的大小

關(guān)系為.

【答案】P^Q

【分析】

利用作差法，計算P-Q配方后利用平方數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

因為尸=，/+4"+1,Q=-t>2+2b-4,

P-Q=cr+4a+\-(-b2+2b-4)

=a2+4a+\+b2-2b+4

=(a+2)2+(Z?-l)2

當(dāng)a=—2且b=l時，等號成立，

所以P2Q

故答案為：P>Q.

14.(202卜黔西南州同源中學(xué)高一期末)關(guān)于》的不等式62+3》-1>0的解集是3；—<1}

貝lja=.

【答案】-2

【分析】

將不等式解集轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，然后根據(jù)韋達定理求出方程中的參數(shù)“，可得結(jié)果.

【詳解】

???不等式以2+3*—1>0的解集為{x[g<x<1},

；?；，1為方程加+3x-l=O的兩個根，且。<(),

根據(jù)韋達定理：41+1=-士3①:1、1=-上1②

2a2a

由①②解得：a=-2

故答案為：-2.

15.(2021?全國高一單元測試)甲、乙兩車從A地沿同一線路到達8地，甲車一半時間的

速度是“，另一半時間的速度為。，乙車用速度。、。各行走了一半路程，且則一

車先到達8地.

【答案】甲

【分析】

分別求出甲、乙車到達指定地點的時間為而、壇，作商后利用基本不等式即可比較出而、%

的大小.

【詳解】

112

解:設(shè)兩地的路程為1,那么甲車到達指定地點的時間為《，則彳而。+彳而2=1?.而=--：

22a+h

11

22

--a+

乙乍到達指定地點的時間為生，壇+(a>0,b>0);

4〃

2^//;

加_4ab4ab

a2+h2+2ah，v+護..2曲(當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時不等式取“=”)；

t乙(a+b)2

f甲4R?

??廠”TTTTT=1，由標(biāo)"知加<方乙；

t乙2ab+2ab

故答案為：甲.

(24、

16.(2020?全國高一課時練習(xí))已知.都是正實數(shù)，求z=(x+2y)—+一的最值.

5y)

甲、乙兩位同學(xué)分別給出了兩種不同的解法：

甲:z=(x+2y)(2+W]=2+”+”+8.」8,

(xy)yx

乙：z=(x+2y)(2+3)..27^^?2^^=16,

①你認(rèn)為甲、乙兩人解法正確的是.

②請你給出一個類似的利用均值不等式求最值的問題，使甲、乙的解法都正確:.

【答案】甲答案不唯一,見解析

【分析】

①甲正確，乙的解法中兩次利用均值不等式時取等號的條件不相同，得到答案.

②只需保證乙的解法中兩次利用均值不等式時取等號的條件相同即可.

【詳解】

①甲正確，乙的解法中兩次利用均值不等式時取等號的條件不相同；

②已知X,)，都是正實數(shù)，求Z=①+勿(5+￡|的最小值.

甲:z=(a+與仕+，］=1+2+q+1..4,

b)ab

乙:z=(a+6)(—i—|.2\Jab,2.=4

b)\ab

【點睛】

本題考查了均值不等式求最值，沒有考慮兩次均值不等式取等號條件不相同的情況是容易發(fā)

生的錯誤.

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解

答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(2021?湖南邵陽市?高一期末)已知函數(shù)y=-2/+3x-l.

(1)求解不等式y(tǒng)>0的解集；

(2)當(dāng)x>0時，求函數(shù)y=-21+3X7的最大值,以及y取得最大值時x的值.

X

【答案】⑴(2)y的最大值為—20+3,此時x=*.

【分析】

(1)解一元二次不等式求得不等式的解集.

(2)利用基本不等式求得了=四的最大值，以及y取得最大值時X的值.

X

【詳解】

(1)/(x)=-2x2+3x-1>0,2x2-3x+1<0,

(2x-l)(x-l)<0=>^<x<l,所以〃x)>0的解集為加.

(2)當(dāng)xe(0,+<?)時，函數(shù)y=/("=2A+3內(nèi)1=_(2x+')+3,

由］-x>0,所以2XH—N2、2x,—=2>/2,

xyx

當(dāng)且僅當(dāng)2乂=4='=立時等號成立.

x2

所以一(2x4—1+34—2A/3+3.

所以y的最大值為-2亞+3,此時x=也.

2

42

18.(2021?全國高一專題練習(xí))對于題目：已知機>0,n>0,且利/7=1,求A=〃?+2〃+—+—

mn

最小值.

42

同學(xué)甲的解法：因為〃00,〃>0,所以一>0,->0,從而：

mn

4242I4-I2

m+2774--1—=(/HH—)+(2A?H—)22hn---卜2J2n—=8.

mnmn\m\n

所以A的最小值為8.

同學(xué)乙的解法：因為相>0,/?>0,

所以6+2〃+巴+2-m+2〃+2""+2"'=3(機+2n)>6\/m2n=6&.

mnmn

所以A的最小值為6枝.

①請對兩位同學(xué)的解法正確性作出評價；

②為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外一道題，請你解決：

已知a>0,b>0,且(a+l)S+2)=6,求8=。+力+工+-^-的最小值.

。+1b+2

【答案】①甲錯誤，乙正確；②9.

【分析】

①說明甲同學(xué)多次運用基本不等式時未保證同時取“=”即可；②先將待求式分式通分再運用

題中所給等式化簡、配湊后運用基本不等式即可.

【詳解】

①甲錯誤，乙正確，甲同學(xué)連續(xù)兩次運用基本不等式，取等號的條件為加=2,〃=1,則

OT?=2*1,故不能保證可以同時取“=".

6Z?+12+12a+12

@B=a+b+=a+b+b+2a+4

(<2+1)0+2)

=3a+%+4=3(a+l)+2S+2)—3之2)6(〃+1)3+2)—3=9

3(674-1)=20+2)\a=1

當(dāng)且僅當(dāng)叱=1時，取“=”?

(Q+1)S+2)=6

19.(2021.內(nèi)蒙古赤峰市.高一期末(文))已知函數(shù)y二>十一人十".

x+2

(1)求函數(shù)y在區(qū)間［TJ上的最值；

(2)若關(guān)于x的方程/+2》+4-如:=()在區(qū)間(0,3)內(nèi)有兩個不等實根，求實數(shù)。的取

值范圍.

19

【答案】(1)最大值為3,最小值為2；(2)6<a<—

【分析】

4

(1)整理可得/(x)=x+2+—^-2,根據(jù)基本不等式及對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.

x+2

4

(2)由題意整理可得a=x+—+2在區(qū)間(0,3)內(nèi)有兩個不等實根，設(shè)

x

g(x)=x+24+2,xe(0,3),根據(jù)根據(jù)基本不等式及對勾函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

x

【詳解】

/［、x"4-2x+4(x+2)~—2(x+2)+4-4

(1)y=---------=-----------------——=x+2+------2,

x+2x+2x+2

因為工口一1,11,所以x+2w［l,引

所以y=x+2+-^--2>2J(x+2)-^—-2=2,

x+2Vx+2

4

當(dāng)且僅當(dāng)》+2=—；時，x+2=2,即x=0時等號成立，

x+2

所以/(x)的最小值為2,

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得/(x)在［T,0)上一單調(diào)遞減，在9,1］匕單調(diào)遞增，且

7

所以函數(shù)/1)在區(qū)間［TJ上的最大值為3,最小值為2.

(2)因為關(guān)于x的方程(x+2)/(x)-avR在區(qū)間(0,3)內(nèi)有兩個不等實根，

所以f+2x+4=ar在區(qū)間(0,3)內(nèi)有兩個不等實根，

4

整理得a=x+—+2在區(qū)間(0,3)內(nèi)有兩個不等實根，

X

4

設(shè)g(%)=%+-+2,%e(0,3)

x

4I~4

則g(x)=x+—+2>2Jx--+2=6,

xvx

4

當(dāng)且僅當(dāng)工=—,即x=2時等號成立，

x

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得g。)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,3)［二單調(diào)遞增,

且xfO時，g(x)->+?,g⑶

所以a的取值范圍為(6,

【點睛】

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本不等式、對勾函數(shù)的性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，難點在于，需合理的變

形，再根據(jù)"一正"、"二定”，"三相等''進行計算求值，屬中檔題.

20.(202。上海高三專題練習(xí))某航運公司用300萬元買回客船一艘，此船投入營運后，

每月需開支燃油費、維修費、員工工資，已知每月燃油費7000元，第〃個月的維修費和工

資支出為600(〃-1)+3000元.

(1)設(shè)月平均消耗為y元，求y與〃(月)的函數(shù)關(guān)系；

(2)投入營運第幾個月，成本最低？(月平均消耗最小)

(3)若第一年純收入50萬元(已扣除消耗)，以后每年純收入以5%遞減，則多少年后可

收回成本？

【答案】⑴y=300〃+9700+,“3；(2)投入第1()()個月，成本最低；

3°°n°°0°

(3)7年后收回成本.

【分析】

(I)先求出購船費和所有支出的和，然后把購船費和所有支出費用平攤到每一個月，即可

求得平均消耗y與〃(月)的函數(shù)關(guān)系；

(2)利用基本不等式可得最值，從而求出此時〃的值，即可求解；

(3)假設(shè)x年后可收回成本，則收入是首項為50,公比為0.95的等比數(shù)列，然后建立收入

大于成本的不等式，即可求解.

【詳解】

(1)購船費和所有支出費為

3000000+7000〃+13000+3000x600+3000x2x600+…+3000x6000(n-l)J

=3000000+9700〃+300n2元，

3000000

所以月平均消耗了=300〃+9700+',

n

即月平均消耗為)'與〃的函數(shù)關(guān)系y=300〃+9700+

3°°n°°°°,n&N+

(2)由(1)y=300〃+9700+3°°°°0°22bo0〃.j222222+9700=69700,

nVn

annnnnn

當(dāng)且僅當(dāng)300〃=,即〃=KX)時等號成立，

n

所以當(dāng)投入營運100個月時，營運成本最低.

(3)假設(shè)x年后可收回成本，則收入為：

50+50(1-5%)+50(1-5%)2+???+50(1-5%)v-|=1000(1-0.95*)＞300,

解得x=7時滿足條件，x=6時不滿足條件，

故7年后可收回成本.

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，以及基本不等式求最值的應(yīng)用，著重分析問題和解答問題

的能力，屬于中檔試題.

2L(2018?上海市三林中學(xué))已知關(guān)于'的不等式組］2丁+俳+5)/5k＜。伊)

(1)求解不等式(8)的解集；

(2)若不等式組的整數(shù)解集“中有且只有一個元素，求實數(shù)2的取值范圍及相應(yīng)的集合

M.

【答案】⑴當(dāng)《＞■!時，當(dāng)k=|時，xe0；當(dāng)上＜