2023年中考數(shù)學重難點復(fù)習-角度問題（旋轉(zhuǎn)綜合題）

2023年中考數(shù)學重難點專題復(fù)習-角度問題(旋轉(zhuǎn)綜合題)

一、解答題

1.取一副三角板按圖①拼接，固定三角板AQC,將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為4的

角(0。＜0445。)得到丫48。'，如圖所示.

試問：

(1)當a為多少度時，能使得圖②中A3DC；

(2)當旋轉(zhuǎn)至圖③位置，此時a又為多少度圖③中你能找出哪幾對相似三角形，并求其中一對的相似比；

(3)連接80,當0。＜。＜45。時，探尋ND8C+NC4C+N3DC值的大小變化情況，并給出你的證明.

2.【問題背景】如圖1,點E、F分別在正方形A8CD的邊BC、C。上，ZEAF=45°,連接EF,我們可以

通過把../3E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。到△ADG,容易證得：EF=BE+DF.

⑴【遷移應(yīng)用】如圖2,四邊形A3CD中，AB=AD,/B4)=90。，點E、尸分別在邊8C、CD上，ZEAF=45°,

若NB、ND都不是直角，且/8+/。=180。，試探究￡尸、BE、。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)【聯(lián)系拓展】如圖3,在43C中，/R4C=90°,4?=AC,點。、E均在邊BC上，且ND4E=45。.猜

想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系(直接寫出結(jié)論，不需要證明).

3.拋物線y=a/+bx經(jīng)過點A(4,0),B(2,2),連結(jié)OB,AB.

⑴求a、b的值；

(2)求證：AOAB是等腰直角三角形；

(3)將40AB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)135。得到△OAB,寫出AB的中點P的出標.試判斷點P是否在此拋

物線上，并說明理由.

4.(1)如圖1,。是等邊AABC內(nèi)一點，連接04、OB、0C,且。4=3,0B=4,0C=5,將△54。繞點

8順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接0D.

求：①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)—;

②線段0D的長；

③求NBOC的度數(shù).

(2)如圖2所示，。是等腰直角△4以；(NABC=90。)內(nèi)一點，連接OA、OB、0C,將ABAO繞點8順

時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCZ),連接00.當OA、OB、0C滿足什么條件時，NOOC=90。？請給出證明.

5.如圖，在RSABC中，ZABC=90°,BC=4,tanA=—,將△A8C沿CB方向平移得到△DEF.

3

備用圖

(1)當4OEF重疊部分的面積是△ABC面積一半時，求4ABC平移的距離；

(2)當。F的中點M恰好落在N4C5的平分線上時，

①求AABC平移距離；

②將△力EF繞點E旋轉(zhuǎn)后得到AGE，(點。的對應(yīng)點是點G,點尸對應(yīng)點是點”)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線

G”與直線AB交于點K,與直線AC交于點J,當△AKJ是以A/為底邊的等腰三角形時，請直接寫出此時

AJ的長為.

6.我們定義：如圖1,在AABC中，把A8繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0。<6(<180。)得到A8,把AC繞點4逆

時針旋轉(zhuǎn)￡得到AC,連接8C,當a+6=180。時，我們稱AAB'C是AABC的“旋補三角形”，△A8C邊B'C'

上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”.

(1)［特例感知］在圖2,圖3中，CAffC是△ABC的“旋補三角形”,A。是△A8C的“旋補中線”.

①如圖2,當△ABC為等邊三角形，且BC=6時，則4力長為.

②如圖3,當N8AC=90。，且8c=7時，則長為.

(2)［猜想論證］在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AO與2C的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.(如果你沒

有找到證明思路，可以考慮延長4?；蜓娱L8A,…)

(3)［拓展應(yīng)用］如圖4,在四邊形ABC。中，ZBCD=150°,A8=12,CD=6,以CD為邊在四邊形A8C。內(nèi)

部作等邊△PCD，連接AP,BP.若△山。是△PBC的“旋補三角形”，請直接寫出△PBC的“旋補中線”長及

四邊形ABCD的邊A。長.

7.如圖，。。為等邊△ABC的外接圓，半徑為2,點D在劣弧AB上運動(不與點A，B重合)，連接D4,

DB,DC.

(1)求證：OC是NAO8的平分線；

(2)四邊形AO8C的面積S是線段。C的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理

由；

(3)若點M,N分別在線段CA,C8上運動(不含端點)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點。運動到每一個確定的位置,

△OMN的周長有最小值f,隨著點。的運動，r的值會發(fā)生變化，求所有，值中的最大值.

8.如圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網(wǎng)格中，43c的頂點均在格點(網(wǎng)格線的交點)上.

(1)將一ABC向上平移4個單位得到△AgG,畫出△4片￡.

⑵將(1)中的△ABC繞點C1逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△4BK-畫出2G.此時，4G與AC的位置關(guān)

系是.

9.綜合與實踐

問題情境

在，ABC中，ZABC=90°,8A=3C,點仞是直線AC上一動點.連接MB,將線段MB繞點例逆時針旋

轉(zhuǎn)90。得到MD.

操作證明

(1)如圖1,當點M與點A重合時，連接OC,判斷四邊形A8CQ的形狀，并證明；

(2)如圖2,當點M與點C重合時，連接。B,判斷四邊形ABOC的形狀，并證明；

(3)探究猜想：當點M不與點A,點C重合時.

①試猜想DC與BC的位置關(guān)系，并利用圖3證明你的猜想；

②直接寫出A8,C。和AM之間的數(shù)量關(guān)系.

10.理解：數(shù)學興趣小組在探究如何求加"15。的值，經(jīng)過思考、討論、交流，得到以下思路:

思路一如圖1,在R/A48C中，ZC=90°,/ABC=30。，延長C8至點￡),使BC=BA,連接AD設(shè)AC=1,

|2—yf^

則BD=BA=2,BC=S/3.tanD=tan\50=--------------7==----尸-------T=-

2+J3(2+后(2-揚

tanaztanB

思路二利用科普書上的和(差)角正切公式：tan(a±p)=-----------4.假設(shè)a=60。，0=45。代入差角

1千tanatans

八iiu。ZXMO/U。、tan60-tan45V3-1/-

正切公式：tan\5=tan(60-45)=--------------=----產(chǎn)=2一，3.

1+tan60tan451+J3

思路三在頂角為30。的等腰三角形中，作腰上的高也可以…

思路四…

請解決下列問題(上述思路僅供參考).

(1)類比：求出S”75。的值;

(2)應(yīng)用：如圖2,某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點4,測得A,C兩點間距

離為60米，從4測得電視塔的視角(NC4O)為45。，求這座電視塔的高度；

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⑶拓展：如圖3,直線y=與雙曲線>=一交于A,8兩點，與y軸交于點C,將直線A8繞點C旋轉(zhuǎn)

45。后，是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點P的坐標；若不能，請說明理由.

11.如圖1,拋物線>=攣x+2?與x軸相交于4,B兩點(點A在點B的右側(cè))，與y軸交于點C,

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點。是拋物線的頂點，連接AQ、BD.

(1)求△45。的面積；

(2)如圖2,連接AC、8C,若點P是直線AC上方拋物線上一動點，過P作交AC于點E,作PQ〃y

軸交AC于點。，當VPQE周長最大時，將VPQE沿著直線AC平移，記移動中的VPQE為,連接

CP',求VPQE的周長的最大值及CP'+尸￡+；的最小值；

(3)如圖3,點G為x軸正半軸上一點，且OG=OC,連接CG,過G作AC于點”，將CGH繞息O

順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<180°),記旋轉(zhuǎn)中的二CG"為△C'G'"',在旋轉(zhuǎn)過程中，直線C'G',G'H'分別與直

線AC交于點N,2XG仙W能否成為等腰三角形？若能直接寫出所有滿足條件的a的值；若不能，請說

12.如圖①，/QPN的頂點P在正方形A8C。兩條對角線的交點處，NQPN=a,將NQPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)過程中NQPN的兩邊分別與正方形ABC。的邊AO和C。交于點E和點產(chǎn)(點尸與點C,。不重合).

(1)如圖①，當a=90。時，DE,DF,A。之間滿足的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖②，將圖①中的正方形ABCZ)改為/AOC=120。的菱形，其他條件不變，當a=60。時，(1)中的結(jié)

論變?yōu)椤?+。尸=界￡>,請給出證明；

(3)在(2)的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中NQPN的邊尸Q與射線A。交于點E,其他條件不變，探究在整個運

動變化過程中，DE,DF,AO之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明.

13.在四邊形ABCD中,對角線AC、8O交于點0,若四邊形ABCD是正方形，如圖1：則有AC=BD,AC±BD.

旋轉(zhuǎn)圖1中的R/ACOD到圖2所示的位置，AC'與8ZT有什么關(guān)系？(直接寫出)；

若四邊形ABC。是菱形，NABC=60。,旋轉(zhuǎn)RaCOO至圖3所示的位置，AC與又有什么關(guān)系？寫出結(jié)

論并證明.

14.菱形43co的對角線AC,3。交于點0.

(1)如圖1，過菱形ABCD的頂點A作8c于點E,交0B于點H,若AB=AC=6,求的長；

(2)如圖2,過菱形ABC。的頂點4作""，相>,且AF=A。，線段A尸交。8于點”，交BC于點E.當。,

C,尸三點在同一直線上時，求證：OH+OA=^BH；

2

(3)如圖3,菱形ABC。中，/A3C=45°,點尸為直線上的動點，連接3P,將線段8尸繞點B逆時針旋

轉(zhuǎn)60。得到線段B。，連接4Q,當線段A。的長度最小時，直接寫出/8AQ的度數(shù).

15.在平面直角坐標系中，4A08為直角三角形，點。(0,0),點4(0,3),點B在x軸的正半軸上，/OAB=30。,

點P為AB的中點.

圖1圖2

(1)如圖①，求點P的坐標；

(2)以點。為中心，順時針旋轉(zhuǎn)/AOP,得到Z4OP/,記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<?<180°),點A,P的對應(yīng)點分

別為A/,Pi.

①如圖②，線段04交線段AB于點M,線段。P/交線段AB于點M當ZOMN為等腰三角形時，求點4

的坐標；

②直線。4交直線A3于點M,直線OB交線段A8于點N,當ZOMN為等腰三角形時，求a的度數(shù)(直接

寫出結(jié)果即可).

16.先閱讀命題及證明思路，再解答下列問題.

命題：如圖1,在正方形ABC。中，已知：ZEAF=45°,角的兩邊AE、AF分別與BC、CZ)相交于點E、F,

連接所.求證：EF=BE+DF.

證明思路：

如圖2,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AAOE.?；AB=A。，NBA￡>=90。，與AC重合.?.?/AOC

=NB=90。，.?.NF￡F=180。，點F、D、F是一條直線.

根據(jù)SAS,得證AAEF絲△AFE,得EF=E'F=E'D+DF=BE+DF.

圖4圖5

(1)特例應(yīng)用

如圖1,命題中，如果BE=2,DF=3,求正方形ABC。的邊長.

(2)類比變式

如圖3,在正方形ABC。中，已知/E4F=45。，角的兩邊AE、AF分別與8C、8的延長線相交于點E、F,

連接EF寫出EEBE、OF之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

(3)拓展深入

如圖4,在。。中，AB、A￡＞是。。的弦，且AB=AO,M、N是。。上的兩點，NMAN=gNBAD.

①如圖5,連接MV、MD,求證：MH=BM+DH,DMA.AN；

②若點C在AOM(點C不與點A、D、N、M重合)上，連接CB、CD分別交線段AM、AN或其延長線于

點E、F,直接寫出E尸、BE、。尸之間的等式關(guān)系.

參考答案：

1.(1)15°

Q)7CBFWCAD,相似比為(2-垃):2；VEFC.sVEAO,相似比為(祈+&-2):2

⑶ZDBC+ZCAC+NBDC的值為定值105°

2.⑴EF=BE+DF,

(2)DE2=BD2+EC2

3.(1)a=-g,b=2；(2)22；(3)點/不在拋物線上.

4.(1)①60°；②4；③150°；(2)當OA、OB、OC滿足042+2。中=。。時，ZODC=90°,

5.(