概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件與概率§1.1隨機(jī)事件

§1.2等可能概型

§1.3頻率與概率

§1.4概率的公理化定義與性質(zhì)§1.5條件概率與隨機(jī)事件的獨(dú)立性§1.6全概率公式與貝葉斯公式§1.1隨機(jī)事件

一、隨機(jī)試驗(yàn)二、樣本空間三、隨機(jī)事件四、隨機(jī)事件之間的關(guān)係和運(yùn)算一、隨機(jī)試驗(yàn)概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象——在個(gè)別試驗(yàn)中呈現(xiàn)不確定的結(jié)果,而在大量重複試驗(yàn)中結(jié)果呈現(xiàn)某種規(guī)律性的現(xiàn)象.這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.例擲一顆骰子,對(duì)比兩種結(jié)果:骰子下落,出現(xiàn)6點(diǎn),（大量重複拋擲,出現(xiàn)6點(diǎn)的可能性為六分之一）.以下現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象:⑴拋一枚均勻硬幣100次,出現(xiàn)正面向上的次數(shù)恰為35次;⑵嬰兒出生時(shí)的性別;⑶在鬧市區(qū)的某個(gè)街口,在一個(gè)給定時(shí)間段內(nèi)發(fā)生交通擁堵的現(xiàn)象.為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察,這個(gè)過程叫做試驗(yàn).概率論所討論的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn),它具有以下三個(gè)特點(diǎn):⑴在相同的條件下試驗(yàn)可以重複進(jìn)行;⑵每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多重可能性,但是試驗(yàn)之前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;⑶在試驗(yàn)前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪種結(jié)果.例以下幾個(gè)試驗(yàn)都是隨機(jī)試驗(yàn):⑴擲一枚均勻硬幣三次,觀察正面向上的次數(shù);⑵觀察某交通路口在一個(gè)小時(shí)內(nèi)的汽車流量;⑶從某廠生產(chǎn)的相同型號(hào)的燈泡中抽取一個(gè)，測試它的壽命;⑷向一個(gè)直徑為50cm的靶子射擊，觀察彈著點(diǎn)的位置.二、樣本空間將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與集合對(duì)應(yīng)起來:一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為;樣本空間是試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合,集合中的元素就是樣本點(diǎn).全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間,記為,也即樣本空間可以是有限集,可數(shù)集,一個(gè)區(qū)間（或若干區(qū)間的並集）.在前面的例子中:⑴拋一枚均勻硬幣三次,觀察正面向上的次數(shù),則｛正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反｝⑵觀察某交通路口在一個(gè)小時(shí)內(nèi)的汽車流量,則⑶從某廠生產(chǎn)的相同型號(hào)的燈泡中抽取一個(gè),測試它的壽命,則樣本空間可表示為⑷向一個(gè)直徑為50cm的靶子射擊,觀測彈著點(diǎn)的位置,則樣本空間可以如下表示:三、隨機(jī)事件從兩個(gè)角度來定義:概率論的角度;集合的角度.在概率論中,把試驗(yàn)的結(jié)果稱為事件,每次試驗(yàn)中,可能發(fā)生也可能不發(fā)生,而在大量試驗(yàn)中,具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事件.從集合的角度:一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集稱為一個(gè)隨機(jī)事件.用大寫字母等來表示隨機(jī)事件.例如拋一枚均勻硬幣三次,觀察正面向上的次數(shù),則｛正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反｝記｛出現(xiàn)一次正面｝,則是該隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果,有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生,但它的發(fā)生具有某種規(guī)律性.所以是一個(gè)隨機(jī)事件.又｛出現(xiàn)一次正面｝｛正反反、反正反、反反正｝，也是樣本空間的一個(gè)子集.稱某事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)該集合所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn).當(dāng)?shù)谝淮握?第二、三次反面這一樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)時(shí),就表示事件發(fā)生了.在隨機(jī)事件中,有的可以看成是由某些事件複合而成

的,而有些事件則不能分解為其他事件的組合,這種不能分解成其他事件組合的隨機(jī)事件稱為基本事件.例擲一粒骰子,觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),令

｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為｝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)｝則就是一個(gè)基本事件,而是一個(gè)複合事件.它由,複合而成.一般地說,只含有一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件稱為必然事件.包含所有的樣本點(diǎn),因此每次試驗(yàn)中必有中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn),故是必然事件.每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件.空集中不包含任何樣本點(diǎn),因此是不可能事件.為討論問題方便,將上述兩個(gè)事件也當(dāng)作隨機(jī)事件,作為兩個(gè)極端情況.在前面的例子中,隨機(jī)試驗(yàn)是擲一粒骰子,觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),記｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小於7｝,｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大於7｝,樣本空間所以是必然事件;是

不可能事件.與有著緊密的聯(lián)繫,如果某一結(jié)果必然發(fā)生,那麼其反面就一定不發(fā)生.例（續(xù)）比較“擲一粒骰子”、“擲兩粒骰子”和“擲十粒骰子”.事件｛點(diǎn)數(shù)之和小於7｝在三種不同情形下,該事件分別是必然事件,隨機(jī)事件以及不可能事件.因此隨機(jī)事件都是相對(duì)於一定的試驗(yàn)條件而言,條件變了,事件的性質(zhì)也就變了.四、事件之間的關(guān)係與運(yùn)算⑴事件的包含若事件的發(fā)生必然導(dǎo)致事件的發(fā)生,則稱事件包含在事件中.記作

.⑵事件的相等若事件包含事件,且事件也包含事件,則稱事件和事件相等,記作.⑶事件的和（並）當(dāng)且僅當(dāng)事件或至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),稱事件與事件的和事件發(fā)生,記該事件為.事件的和可推廣至有限和或者可列和的情形.事件至少有一個(gè)發(fā)生,記為事件至少有一個(gè)發(fā)生,記為稱的和事件發(fā)生;稱的和事件發(fā)生.⑷事件的交（積）當(dāng)且僅當(dāng)事件及事件同時(shí)發(fā)生時(shí),稱事件與事件的交事件發(fā)生,記該事件為.事件的交可推廣至有限交或者可列交的情形.事件同時(shí)發(fā)生,記為事件同時(shí)發(fā)生,記為稱的交事件發(fā)生;稱的交事件發(fā)生.⑸事件的差當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生而事件不發(fā)生,稱事件與事件的差事件發(fā)生,記該事件為.例拋二枚均勻硬幣,

=｛正正、正反、反正、反反｝｛第一次出現(xiàn)正面｝=｛正正、正反｝,｛第二次出現(xiàn)正面｝=｛正正、反正｝,則與的和事件={第一次或第二次出現(xiàn)正面},也即

｛正正、正反、反正｝.與的交事件={第一次第二次都出現(xiàn)正面},也即

｛正正｝.與的差事件={第一次正面且第二次反面},也即

｛正反｝.⑹互不相容事件則稱事件與互不相容（互斥）.如果,如果一組事件中的任意兩個(gè)事件都互不相容,那麼稱該事件組是兩兩互不相容事件組.（任意一個(gè)基本事件組總是兩兩互不相容事件組）.⑺對(duì)立事件稱為事件的對(duì)立事件（逆、餘）,記為事件

由定義容易得到下列關(guān)係:是互斥事件是對(duì)立事件⑻事件的運(yùn)算法則

①交換律

②結(jié)合律

③分配律

④對(duì)偶律性質(zhì)④可推廣到個(gè)事件的情形:例1設(shè)｛第個(gè)元件正常工作｝,試用事件之間的關(guān)係表示由個(gè)電子元件串聯(lián)或並聯(lián)所構(gòu)成的系統(tǒng)能正常工作的事件.解串聯(lián)系統(tǒng):並聯(lián)系統(tǒng):例2設(shè)｛第個(gè)元件正常工作｝,試用事件之間的關(guān)係表示下圖所描述的電子線路能正常工作這一事件.解例3設(shè)為三個(gè)事件,用事件的運(yùn)算關(guān)係表示下列事件:⑴發(fā)生,和不發(fā)生;⑵中至少有一個(gè)發(fā)生;解由事件的關(guān)係及運(yùn)算,容易得到⑶中不多於一個(gè)發(fā)生;⑷中至少有兩個(gè)發(fā)生.⑴⑵⑶⑷例4某城市的供水系統(tǒng)由甲、乙兩個(gè)水源與三部分管道1,2,3組成,每個(gè)水源都足夠該城市用水.用表示第號(hào)管道正常這一事件.試用來表示“城市供水正?！焙汀俺鞘袛嗨边@兩個(gè)事件.水源甲水源乙城市解供水正常:城市斷水例5某工程隊(duì)承包了3幢樓房,設(shè)事件表示“第幢樓房經(jīng)驗(yàn)收合格”,試用表示下列事件:⑴只有第一幢樓合格;⑵恰有一幢樓合格;⑶至少有一幢樓合格;⑷至多有一幢樓合格.解⑴⑵⑶⑷例6化簡下列各式:§1.2等可能概型

一、古典概型二、幾何概型一、古典概型隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小常用區(qū)間中的數(shù)值加以刻劃.這個(gè)數(shù)值稱為概率,記為規(guī)定:在現(xiàn)實(shí)問題中,有很大一類隨機(jī)現(xiàn)象具有一些共同的特徵.可以直接計(jì)算出事件的概率.比如:⑴100只燈泡,從中任取一個(gè)檢查其品質(zhì),則100個(gè)燈泡被抽取的機(jī)會(huì)相同;⑵拋一枚均勻的硬幣,出現(xiàn)正面和反面的機(jī)會(huì)相同.

這兩個(gè)試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是:①每次試驗(yàn)只有有限種可能的試驗(yàn)結(jié)果,即樣本點(diǎn)總數(shù)有限;②每次試驗(yàn)中各基本事件出現(xiàn)的可能性是相同的.在概率論中,把具有上述兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)叫做古典型試驗(yàn)，它的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型.在古典概型中,記為樣本點(diǎn)總數(shù),為事件所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),則規(guī)定事件的概率為

用這種方式定義的概率稱為古典概率.1.從個(gè)不同的元素中,任取個(gè),有種不同取法.計(jì)算古典概率時(shí)常用的兩個(gè)思想:2.一件事情分幾個(gè)步驟完成,則互相之間用乘法,一件事情有若干種方法來完成,則互相之間用加法,這就是所謂的計(jì)數(shù)原理.例1（第7頁例1.7）一個(gè)盒子中裝有10個(gè)電晶體,其中3個(gè)是不合格品.從這個(gè)盒子中依次隨機(jī)地取2個(gè),在有放回與無放回抽樣的二種情況下求2個(gè)產(chǎn)品恰好都是不合格品的概率.解注意抽樣的區(qū)別,有放回抽樣和無放回抽樣!⑴有放回抽樣,此時(shí)兩次取到的都是不合格品的取法有種,所有取法共有種,因此所求概率為⑵無放回抽樣.此時(shí)連續(xù)兩次取到的都是不合格品的取法總數(shù)為所有取法總數(shù)為因此所求概率為又問:依次隨機(jī)取兩個(gè),恰有一個(gè)不合格的概率為多少?分析取到的產(chǎn)品中恰有一個(gè)是不合格品,將取法分為先取到不合格品和後取到不合格品兩種情況.⑴有放回抽樣,此時(shí)恰有一個(gè)不合格品的取法個(gè)數(shù)為所有可能的取法總數(shù)為因此所求概率為⑵無放回抽樣,此時(shí)恰有一個(gè)不合格品的取法個(gè)數(shù)為所有可能的取法總數(shù)為因此所求概率為當(dāng)考慮的事件與抽樣次序無關(guān)時(shí),無放回抽樣可以看作一次取出若干個(gè)樣品.本例中無放回抽樣時(shí)（此時(shí)樣本空間是不一樣的?。├?盒中裝有10件產(chǎn)品,其中有3件次品,不放回地一件一件抽取,問:第6次取出最後一個(gè)次品的概率是多少?解前5次中有2件次品而第6次取到次品的方法有種,所有的次品出現(xiàn)在不同位置上的方法有種,因此所求概率為在古典概型中顯然有例3擲兩粒骰子,求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和小於10的概率.解樣本空間共含有36個(gè)樣本點(diǎn),點(diǎn)數(shù)之和大於等於10包括樣本點(diǎn)因此所求概率為例4某城市的電話號(hào)碼升為6位數(shù)，且第一號(hào)碼為6或8.求⑴隨機(jī)抽取的一個(gè)號(hào)碼為不重複的六位數(shù)的概率；⑵隨機(jī)抽取的電話號(hào)碼末尾數(shù)是8的概率.解⑴當(dāng)首位號(hào)碼為6或8時(shí),其餘號(hào)碼有種選法,而總方案有個(gè),因此所求概率為6888共有個(gè),因此所求概率為⑵當(dāng)末尾數(shù)為8時(shí),如下圖所示,滿足條件的選取方式例5（女士品茶問題）一位常喝奶茶的女士聲稱她能辨別出沖好的奶茶是先放茶還是先放奶,並且她在10次試驗(yàn)中都正確地辨別了出來.問該女士的說法是否可信?分析同的結(jié)果,而10次都正確的結(jié)果只有先放奶後放茶，十次試驗(yàn)共有種不每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果,或者先放茶後放奶,或者

一種！解假設(shè)該女士的說法不可信,即該女士純粹是猜測,則每次試驗(yàn)的兩個(gè)可能結(jié)果是:茶+牛奶或牛奶+茶是等可能的.記｛該女士在10次試驗(yàn)中都正確的辨別出來｝,則這是一個(gè)小概率事件!“實(shí)際推斷原理”:一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不會(huì)發(fā)生的.試驗(yàn)結(jié)果相矛盾,因此假設(shè)“該女士純粹是猜測”不成立,故有理由斷言該女士的說法是可信的．因此按“實(shí)際推斷原理”事件實(shí)際不會(huì)發(fā)生,這與例6（抽獎(jiǎng)券問題）

某超市有獎(jiǎng)銷售,投放張獎(jiǎng)券,其中只有一張有獎(jiǎng).每位顧客可抽取一張.求第位顧客中獎(jiǎng)的概率（）.解由乘法原理,第個(gè)顧客抽到有獎(jiǎng)券意味著前個(gè)顧客均沒有抽到,相應(yīng)的取法個(gè)數(shù)為而總?cè)》〝?shù)為因此,所求概率為這個(gè)結(jié)果和次序無關(guān),可見抽籤是公平的.二、幾何概率例在一個(gè)均勻陀螺的圓周上均勻的刻上區(qū)間上的

各數(shù)字,旋轉(zhuǎn)該陀螺,考慮陀螺停下來時(shí)接觸地面上的點(diǎn)的刻度恰好為2的概率.以等可能性為基礎(chǔ),借助於幾何上的度量來合理地規(guī)定的概率,稱為幾何概率.

一般地,設(shè)樣本空間是某個(gè)區(qū)域（直線、平面或空間,每個(gè)樣本點(diǎn)等可能地出現(xiàn)）,規(guī)定事件的概率為這裏分別表示長度、面積或體積.例7在半圓區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn),求該點(diǎn)的連線與軸正向的夾角不超過的概率.解樣本空間為半圓區(qū)域,所以,相應(yīng)的面積為事件表示連線與軸正向的夾角不超過,則區(qū)域的面積為故所求概率為例8在單位圓的一條直徑上隨機(jī)地取一點(diǎn),試求過該點(diǎn)且與直徑垂直的弦的長度超過1的概率.

例8在單位圓的一條直徑上隨機(jī)地取一點(diǎn),試求過該點(diǎn)且與直徑垂直的弦的長度超過1的概率.

解樣本空間為單位圓直徑,故相應(yīng)的長度為2.記事件表示過點(diǎn)且與直徑垂直的弦的長度超過1,如圖

因此事件區(qū)域的長度為,

故所求概率為例9（書上例1.10）甲、乙兩船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí).假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)到達(dá).試求這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率.解設(shè)甲船到達(dá)時(shí)間為乙船兩船均?？?小時(shí).一船等待

到達(dá)時(shí)間為則,的事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)橛覉D中的帶形區(qū)域相應(yīng)的面積為矩形面積減去兩個(gè)三角形面積:所求概率為§1.3頻率與概率

稱為事件在次重複試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率.其中表示事件在次重複試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù),即頻數(shù).人們經(jīng)過長期的實(shí)踐發(fā)現(xiàn),雖然一個(gè)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生.但是在大量重複試驗(yàn)中

這個(gè)事件發(fā)生的頻率卻具有穩(wěn)定性,頻率的穩(wěn)定性在理論上已經(jīng)被證明.拋硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中的頻率試驗(yàn)者試驗(yàn)次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)頻率蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005隨著的增加,頻率在附近波動(dòng),且波動(dòng)的幅度越來越小,逐漸穩(wěn)定於.英文字母頻率的統(tǒng)計(jì)表字母頻率字母頻率字母頻率E0.1268L0.0394P0.0186T0.0978D0.0389B0.0156A0.0788U0.0280V0.0102O0.0776C0.0268K0.0060I0.0707F0.0256X0.0016N0.0706M0.0244J0.0010S0.0634W0.0214Q0.0009R0.0594Y0.0202Z0.0006H0.0573G0.0187在不變的條件下,重複進(jìn)行次試驗(yàn),事件

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)附近擺動(dòng),而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,擺動(dòng)的幅度越來越小,則稱這個(gè)常數(shù)為事件的概率,這是概率的統(tǒng)計(jì)定義.按概率的統(tǒng)計(jì)定義來求出概率是不現(xiàn)實(shí)的!在實(shí)際應(yīng)用中,往往就把頻率當(dāng)作概率來使用.頻率的穩(wěn)定性是概率的試驗(yàn)基礎(chǔ),但並不是說概率決定於試驗(yàn),一個(gè)事件發(fā)生的概率完全取決於事件本身的內(nèi)在性質(zhì),是先於試驗(yàn)而客觀存在的.概率的統(tǒng)計(jì)定義正是指明了這一點(diǎn).§1.4概率的公理化定義與性質(zhì)以上給出的概率的三種定義都具有下列三條基本性質(zhì):⑴非負(fù)性⑵規(guī)範(fàn)性⑶可加性對(duì)任意一個(gè)事件當(dāng)事件互不相容時(shí),有將上面三條性質(zhì)抽象化,得到概率的公理化定義：

給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),為相應(yīng)的樣本空間,對(duì)每一個(gè)事公理1非負(fù)性

公理2規(guī)範(fàn)性公理3可列可加性即對(duì)任意一列兩兩互不相容事件件,規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),且滿足如下公理:有則稱為事件的概率.由三條公理可以推導(dǎo)出概率的一些性質(zhì).性質(zhì)1性質(zhì)2有限可加性設(shè)為兩兩互不相容事件組,則有性質(zhì)3對(duì)任一事件有性質(zhì)4若則性質(zhì)5設(shè)為任意一事件,則性質(zhì)6設(shè)為任意兩個(gè)事件,則性質(zhì)7設(shè)為任意兩個(gè)事件,則性質(zhì)7稱為加法公式,該公式可以推廣到多個(gè)事件上.三個(gè)事件的加法公式為:例1已知事件包含事件求:解例2已知隨機(jī)事件滿足:試求:解例3已知隨機(jī)事件滿足則:

;

;

.§1.5條件概率與獨(dú)立性

一、條件概率二、隨機(jī)事件的獨(dú)立性三、獨(dú)立性在可靠性問題中的應(yīng)用四、貝努利概型與二項(xiàng)概率一、條件概率問題的提法⑴給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),是它的樣本空間,問“事件

發(fā)生的概率是多少”？⑵在上述條件下,問“已知某事件發(fā)生了,那麼事件發(fā)生的概率是多少”?例:某班有100名學(xué)生,共發(fā)了10張電影票,採取抽籤的方式.問題1:張小明拿到電影票的概率是多少?問題2:若李小亮第一個(gè)抽籤,抽中了,問張小明拿到電影票的概率是多少?若李小亮沒有抽中,張小明抽中的概率又是多少?例1盒中裝有16個(gè)球,其中6個(gè)玻璃球、2個(gè)紅色4個(gè)藍(lán)色;10個(gè)木質(zhì)球、其中3個(gè)紅色,7個(gè)藍(lán)色.現(xiàn)從中任取一球.記則總球數(shù)166個(gè)玻璃2個(gè)紅色4個(gè)藍(lán)色10個(gè)木質(zhì)3個(gè)紅色7個(gè)藍(lán)色則問:“如果已知取到的是藍(lán)色球,那麼它是玻璃球的概率”是多少？上述概率可以記為.事實(shí)上,此時(shí)的樣本空間已經(jīng)發(fā)生變化,變成為{11個(gè)藍(lán)色球}（）.所以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn):定義1.2給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),是它的樣本空間,對(duì)於

任意兩個(gè)事件,其中,稱為已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率.容易得到:⑴⑵條件概率也是概率,滿足概率的公理化定義中的三條公理,即:⑴公理1非負(fù)性⑵公理2規(guī)範(fàn)性⑶公理3對(duì)可列個(gè)兩兩不相容事件可列可加性相仿可以得到如下性質(zhì):以及等類似七條性質(zhì).例25個(gè)乒乓球,其中3個(gè)新的,兩個(gè)舊的.每次取一個(gè).無放回地取兩次.記求:解例3某建築物按設(shè)計(jì)要求使用壽命超過50年的概率為0.8,超過60年的概率為0.6.該建築物經(jīng)歷了50年後,它將在10年內(nèi)倒塌的概率有多大?解:該建築物的壽命在5

0年以上;:該建築物的壽命在60年以上.則所求概率為例4設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件,且求解因例5設(shè)為事件,且則下列選項(xiàng)成立的是[].(A)(B)(C)(D)正確答案(B)例6設(shè)為事件,且則下列選項(xiàng)成立的是[].(A)(B)(C)(D)正確答案(C)例7設(shè)為對(duì)立事件,且則下列各式中錯(cuò)誤的是[].(A)(B)(C)(D)正確答案(A)則

.例8設(shè)是隨機(jī)事件,與互不相容，注意到.由條件概率公式:當(dāng)（或）時(shí),有或變形後有或上式稱為概率的乘法公式.乘法公式可推廣到多個(gè)事件上去,例如,三個(gè)事件的乘法公式為例910個(gè)考題中,4難6易.三人參加抽題（不放回）,甲先、乙後、丙最後.記事件分別表示三人各抽到難題.試求:解二、事件的相互獨(dú)立性定義1.3稱兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的,如果思考:相互獨(dú)立與互不相容有何區(qū)別?上式等價(jià)於（當(dāng)）.獨(dú)立性的直觀意義是一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率.上式也等價(jià)於（當(dāng)）.獨(dú)立性往往蘊(yùn)含在事物的內(nèi)部.例10一副撲克牌共52張,現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一張.記驗(yàn)證:事件與是相互獨(dú)立的.解因從而有即:事件與是相互獨(dú)立的.或者例11拋一枚均勻硬幣2次,第一次正面向上,第二次正面向上,驗(yàn)證:事件與是獨(dú)立的.解試驗(yàn)的樣本空間為正正,正反,反正,反反則可見即事件與是獨(dú)立的.例12甲、乙兩人同時(shí)向一敵機(jī)射擊，二人擊中的概率分別為0.6和0.5.求敵機(jī)被擊中的概率.解設(shè)甲擊中目標(biāo),乙擊中目標(biāo),則相互獨(dú)立.所求概率為定理若下列四對(duì)事件與;與;與;與中有一對(duì)相互獨(dú)立,則另外三對(duì)也相互獨(dú)立.即有相應(yīng)可列出其他等式.例12也可用下麵的方法求之:定義1.4稱事件組是相互獨(dú)立的,如果有四個(gè)等式都成立.獨(dú)立性的定義可推廣到個(gè)事件上去.特別地,當(dāng)事件相互獨(dú)立時(shí),有上述定理也可以推廣.例13設(shè)某型號(hào)的高射炮,每一門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中敵機(jī)的概率為0.6.現(xiàn)若干門炮同時(shí)發(fā)射（每門一發(fā)）.問:至少需要配置多少門高射炮,才能以99%的把握擊中敵機(jī)?解記第門炮擊中敵機(jī)敵機(jī)被擊中.則由題意,即:至少需要配備6門炮,才能以99%的把握命中敵機(jī).例14設(shè)兩兩相互獨(dú)立的事件滿足:且已知?jiǎng)t

.

解記,則由獨(dú)立性和加法公式解得例15設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率

相等,則

.解由題意知,又記則三、獨(dú)立性在可靠性問題中的應(yīng)用一個(gè)產(chǎn)品或一個(gè)元件、一個(gè)系統(tǒng)的可靠性可以用可靠度來刻劃.所謂可靠度指的是產(chǎn)品能正常工作的概率.以下討論中,假定一個(gè)系統(tǒng)中的各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的.兩個(gè)基本模型:⑴串聯(lián)系統(tǒng)設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由個(gè)元件串聯(lián)而成,第個(gè)元件的可靠度為,則系統(tǒng)的可靠度為⑵並聯(lián)系統(tǒng)設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由個(gè)元件並聯(lián)而成,第個(gè)元件的可靠度為,則系統(tǒng)的可靠度為例15求下麵混聯(lián)繫統(tǒng)的可靠度,其中每個(gè)元件的可靠度都是.1234解系統(tǒng)的可靠度為四、貝努利概型與二項(xiàng)概率如果在一個(gè)試驗(yàn)中,我們只關(guān)心某個(gè)事件發(fā)生與否,那麼稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn).此時(shí)試驗(yàn)的結(jié)果可以看成只有兩種:發(fā)生或者不發(fā)生.相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努利概型.如果把貝努利試驗(yàn)重複獨(dú)立地做次,則稱這次試驗(yàn)為重貝努利試驗(yàn).在重貝努利試驗(yàn)中,我們主要研究事件發(fā)生的次數(shù)以及事件恰好發(fā)生次的概率.問題的一般提法:設(shè)在單次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為,將此試驗(yàn)重複獨(dú)立地進(jìn)行次,問事件恰好發(fā)生次的概率（記為）是多少？定理重貝努利試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為這裏.由於因此稱為二項(xiàng)概率.例16一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2.若一週五個(gè)工作日裏每天是否發(fā)生故障是相互獨(dú)立的.試求一周內(nèi)發(fā)生了三次故障的概率.解此為的二項(xiàng)概率,因此所求概率為例17某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重複射擊,每次射擊命中目

標(biāo)的概率為,求此人第四次射擊恰好第二次命中的概率.解依題意,知前三次擊中一次,第四次擊中,則前三次恰好擊中一次的概率是因此,所求概率為例18設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為如果射擊5000次,試求至少兩次命中目標(biāo)的概率.解此為的二項(xiàng)概率.由計(jì)算公式:例19考試靠懵行不行.對(duì)於每一個(gè)學(xué)生而言,求學(xué)過程中會(huì)面對(duì)很多次的考試,如果平時(shí)不努力學(xué)習(xí),想憑運(yùn)氣靠懵來通過考試,這究竟行不行呢?假設(shè)一門課程的考試試題全部是選擇題,共有50道題,每道題有4個(gè)選項(xiàng),只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.答對(duì)30個(gè)以上則通過該門課程考試.某個(gè)學(xué)生完全以懵的方法來參加考試,那麼他通過考試的概率有多大?§1.6全概公式與逆概公式一、全概公式二、逆概公式一、全概率公式例15個(gè)乒乓球，其中三個(gè)是新的,兩個(gè)是舊的.每次取一個(gè),無放回地取兩次.求第二次取到新球的概率.解記第一次摸到新球,第二次摸到新球,則特點(diǎn)的發(fā)生受多種因素影響,這些因素將分成幾個(gè)部分,每個(gè)部分的概率可由乘法公式計(jì)算得到,各因素綜

合就得到的概率.公式具有普遍性.定義設(shè)事件組滿足下列兩個(gè)條件:⑴事件組兩兩互不相容;⑵則稱事件組是樣本空間的一個(gè)劃分（或稱構(gòu)成一個(gè)完備事件組）.全概公式設(shè)事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組,且都具有正概率,則對(duì)任何一個(gè)事件,有

例2設(shè)有一倉庫內(nèi)有10箱同類規(guī)格的產(chǎn)品.其中有5箱、3箱及2箱產(chǎn)品依次是甲廠、乙廠和丙廠生產(chǎn)的.且甲乙丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別是現(xiàn)從中任取一箱,再從中任取一件產(chǎn)品,求取得正品的概率.解以分別表示取到的是甲廠、乙廠或丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,表示取到的是合格品,則事件組

構(gòu)成一個(gè)完備事件組.且又所以,由全概公式得例3有朋自遠(yuǎn)方來,他乘坐火車、輪船、汽車或飛機(jī)的概率分別為0.3,0.2,0.1和0.4.而坐火車遲到的概率為0.25,坐船為0.3,坐汽車為0.1,坐飛機(jī)則不會(huì)遲到.問

此人最終可能遲到的概率是多少?解以表示此人分別坐火車、輪船、汽或飛機(jī)到達(dá),則再以表示此人最終遲到,則由全概公式得:例4在例2中,若取到的是正品,問：它是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少?所求即為例5在例3中,若這個(gè)人最後遲到了,問：他是坐輪船來的概率是多少?所求即為二、逆概公式如果隨機(jī)事件構(gòu)成完備事件組,且都有正概率,則對(duì)任何一個(gè)事件有例6某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的不合格率為,但是沒有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗(yàn).有人聲稱發(fā)明了一種儀器可以用來檢驗(yàn),誤判的概率僅為5%,試問,廠長能否採用他發(fā)明的儀器.解以表示經(jīng)檢驗(yàn)為次品,表示實(shí)際上是正品,則

我們來求以下概率：我們還可以求,等,但是顯然廠長最關(guān)心的是第一個(gè)事件的概率.例7甲乙丙三人向同一飛機(jī)射擊,他們擊中的概率分別

為.若只有一人擊中,飛機(jī)墜毀的概率是0.2;若二人擊中,則飛機(jī)墜毀的概率是0.6;若三個(gè)人全擊中,飛機(jī)必然墜毀.求飛機(jī)墜毀的概率;若飛機(jī)墜毀,求在墜毀前被命中一彈的概率.解以表示3人中有i人擊中敵機(jī),再以表示飛機(jī)墜毀事件,則若飛機(jī)墜毀,則墜毀前被命中一彈的概率為例8一項(xiàng)血液化驗(yàn)以0.95的概率將病毒攜帶者的血清樣本檢測為陽性;但也有0.01的概率將健康人的血清樣本檢測出陽性.假設(shè)該種病毒攜帶率為0.005,求已知一個(gè)個(gè)體在檢測出是陽性的條件下,該個(gè)體確實(shí)帶有此病毒的概率.解以表示個(gè)體被檢測出陽性,表示是攜帶者,則

因此所求概率為解題關(guān)鍵

尋找完備事件組.例9求橋式系統(tǒng)的可靠度.設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由5個(gè)元件組成,連接的方式如圖所示,每個(gè)元件的可靠度為且每個(gè)元件是否能正常工作是相互獨(dú)立的,試求這個(gè)橋式系統(tǒng)的可靠度.31245解以事件表示元件5正常工作,表示系統(tǒng)正常工作,則和構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分,且⑴當(dāng)發(fā)生時(shí),整個(gè)系統(tǒng)可視為一個(gè)混聯(lián)繫統(tǒng).

２３４1４２相應(yīng)的可靠度為⑵當(dāng)不發(fā)生時(shí),系統(tǒng)可視為下圖所表示的混聯(lián)繫統(tǒng):２３1４相應(yīng)的概率為因此,系統(tǒng)的可靠度為例10從1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù),記為,再從正整數(shù)1,中隨機(jī)取一個(gè)數(shù),記為,求概率.解事件是樣本空間的一個(gè)完備事件組,且

例11一男子在某城市的一條街道遭到背後的襲擊和搶劫,他斷言兇犯是黑人.然而,當(dāng)調(diào)查這一案件的警

察在可比較的光線條件下,多次重新展現(xiàn)現(xiàn)場情況時(shí),發(fā)現(xiàn)受害者正確識(shí)別襲擊者膚色的概率只有80%.假定兇犯是本地人,而在這個(gè)城市人口中,90%是白人,10%是黑人,且假定白人和黑人的犯罪率相同.⑴問:在這位男子斷言兇犯是黑人的情況下,襲擊他的兇犯確實(shí)是黑人的概率是多大?⑵問:同樣的斷言下,襲擊者是白人的概率是多大?因此所求概率為解以表示男子斷言兇犯是黑人,表示是白人,則

一些統(tǒng)計(jì)學(xué)家和心理學(xué)家利用概率論的知識(shí)給出了一種調(diào)查方法,被調(diào)查者只需要不記名地回答下列幾個(gè)問題,而且只需回答“是”或“否”.問題1:你的生日是否為單數(shù)?問題2:你是否接觸過不健康的文字或視頻等資訊?被調(diào)查者在沒有外人的情況下,從一個(gè)裝有黑球和白球的箱子中隨機(jī)抽取一球,看過顏色後放回,若抽出白球則回答問題1,若抽出黑球則回答問題2.例12敏感問題調(diào)查箱中黑球所占比例是已知的,由於調(diào)查者無法獲知被調(diào)查者回答的是哪個(gè)問題,所以可以有效地消除被調(diào)查者的顧慮,從而保證調(diào)查數(shù)據(jù)的真實(shí)可靠性.假設(shè)在一次實(shí)際調(diào)查中,箱子裏有30個(gè)黑球和20個(gè)白球,調(diào)查結(jié)束時(shí)收到1583份有效答卷,其中389張回答“是”,試估算中學(xué)生中接觸不健康資訊的頻率是多少?解以表示回答的是“是”,表示回答問題i,則即而即為所求,由全概公式例13張亮上概率統(tǒng)計(jì)課,在某周的時(shí)候,他可能跟上課程也可能跟不上課程.如果某周他跟上課程,那麼下周他繼續(xù)跟上課程的概率為0.9;如果某周他沒有跟上課程,那麼他下周跟上課程的概率僅為0.3.現(xiàn)在假定:在第一周上課前,他是跟上課程的.問:⑴經(jīng)過2周的學(xué)習(xí),他仍能跟上課程的概率有多大?⑵經(jīng)過周的學(xué)習(xí)（）,他仍能跟上課程的概率有多大?解

以表示在第周他能跟上課程,則所以,2周以後他能跟上課程的概率為:§2.1隨機(jī)變數(shù)許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)密切聯(lián)繫,也有些隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果從表面上看並不與實(shí)數(shù)相聯(lián)系.下麵我們通過實(shí)例對(duì)這二種不同的情況來引進(jìn)隨機(jī)變數(shù)的概念.例1設(shè)有同類產(chǎn)品100件,其中5件次品、95件正品.現(xiàn)從中任取20件產(chǎn)品,問抽到的次品數(shù)是多少？“次品數(shù)”的值在試驗(yàn)前無法給出確定的數(shù)值,但是對(duì)於每一次的抽取結(jié)果,次品數(shù)又是完全確定的,是由試驗(yàn)的結(jié)果來決定取什麼值,不同的結(jié)果對(duì)應(yīng)不同的取值.因此次品數(shù)是一個(gè)變數(shù)，稱之為隨機(jī)變數(shù).本例中,記次品數(shù)為,則可能取值為0,1,2,3,4,5.

因此我們說:1.許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果（即隨機(jī)事件）都與實(shí)數(shù)密切相連.進(jìn)一步的例子:例2拋一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).我們看到樣本空間可以量化為一個(gè)數(shù)集:我們可以用變數(shù)

表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),就是一個(gè)隨機(jī)變數(shù).例3重貝努利試驗(yàn)中可以用變數(shù)

表示事件

發(fā)生的次數(shù).在這類隨機(jī)試驗(yàn)中樣本空間表現(xiàn)為一個(gè)數(shù)集,或者說可以用一個(gè)數(shù)來表示樣本空間中的樣本點(diǎn),用數(shù)集來表示樣本空間.還存在許多隨機(jī)試驗(yàn),它們的試驗(yàn)結(jié)果從表面上看並不與實(shí)數(shù)相聯(lián)系.例4拋一枚硬幣,其結(jié)果為{出現(xiàn)正面向上,出現(xiàn)反面向上}.樣本空間不是一個(gè)數(shù)集.但是我們可以人為地把試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來.令

從數(shù)學(xué)上看,上述對(duì)應(yīng)關(guān)係猶如一個(gè)函數(shù),即對(duì)於樣對(duì)於樣本空間本身就是一個(gè)數(shù)集的試驗(yàn),我們可以理解本空間

中任意一個(gè)元素,它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為;成是個(gè)恒等函數(shù):,對(duì)一切（比對(duì)上述幾個(gè)例子）定義2.1給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),是它的樣本空間,如果

對(duì)中的每一個(gè)樣本點(diǎn),有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)

應(yīng),那麼就把這個(gè)定義域?yàn)榈膯沃祵?shí)值函數(shù)

稱為是（一維）隨機(jī)變數(shù).一般用大寫字母表示隨機(jī)變數(shù).把隨機(jī)變數(shù)的值域記做,則引進(jìn)隨機(jī)變數(shù)後,隨機(jī)事件及其概率可以通過隨機(jī)變量來表達(dá).例1中,表示抽取的20件產(chǎn)品中的次品數(shù),抽到的20件產(chǎn)品中恰有三件是次品例2中,表示拋一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)則例4中,表示拋一枚硬幣出現(xiàn)的兩種情況,出現(xiàn)正面向上則一般地,對(duì)實(shí)數(shù)軸上任意一個(gè)集合,如果對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)事件,即那麼便用來表示事件,用來表示事件的概率.引進(jìn)隨機(jī)變數(shù)後,目的是通過隨機(jī)變數(shù)來研究隨機(jī)現(xiàn)象.站在實(shí)驗(yàn)前的立場,我們不知道實(shí)驗(yàn)結(jié)果將出現(xiàn)中的哪個(gè)樣本點(diǎn),即不知道隨機(jī)變數(shù)將會(huì)取中的哪個(gè)值.因此隨機(jī)變數(shù)的取值是隨機(jī)的,隨機(jī)變數(shù)的取值的規(guī)律性也就反應(yīng)了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.

結(jié)論:引進(jìn)隨機(jī)變數(shù)（本質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)）,借助微積分等熟悉工具來研究隨機(jī)變數(shù)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.描述這種規(guī)律性的各種表示形式稱為分佈.§2.2概率函數(shù)隨機(jī)變數(shù)離散型隨機(jī)變數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)定義2.2如果一個(gè)隨機(jī)變數(shù)只可能取有限個(gè)值或可列無限個(gè)值,那麼稱這個(gè)隨機(jī)變數(shù)為（一維）離散型隨機(jī)變數(shù).離散型隨機(jī)變數(shù)的分佈表現(xiàn)形式稱為概率函數(shù).定義2.3設(shè)且其中滿足:⑴⑵那麼稱運(yùn)算式為隨機(jī)變量的概率函數(shù)或概率分佈（律）.隨機(jī)變數(shù)的分佈律或概率函數(shù)常用表格表示.其中概率為0的不再羅列.例5設(shè)隨機(jī)變數(shù)有概率函數(shù)求常數(shù).解由級(jí)數(shù)求和公式,再由性質(zhì):例6設(shè)某射擊選手的命中率為0.6,他擊中目標(biāo)12次便停止射擊.以表示相應(yīng)的射擊次數(shù),求的概率函數(shù).

解若射擊次數(shù)為,則意味著第次擊中,

而前面的次射擊中,總共擊中11次,由二項(xiàng)概率計(jì)算公式:例7將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)盒子中（假定盒子充分大），求沒有球的盒子的個(gè)數(shù)的分佈律.解空盒數(shù)的取值為若只有一個(gè)空盒子,相應(yīng)的概率為同理,即,分佈律為例8拋擲一枚不均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為設(shè)為一直擲到正面、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù),求的概率函數(shù).解事件包含兩種情形,從第一次出現(xiàn)正面開始一直到第次都是正面,而最後一次出現(xiàn)反面;或者一開始出現(xiàn)反面一直到最後一次出現(xiàn)正面,故例9從一批含有10件正品、3件次品的產(chǎn)品中一件件地抽取,設(shè)每次取樣時(shí)各產(chǎn)品被抽到的可能性相同,在下列三種情況下,分別求出“直到取得正品為止所需抽樣次數(shù)”的概率分佈:⑴有放回抽樣;⑵無放回抽樣;⑶每次取出一個(gè)產(chǎn)品後總是放回一件正品.解⑴的可能取值為,則⑵因取後不放回,所以的最大取值為,⑶因取後放回正品,所以的最大取值為,例10已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品,3件次品;乙箱中僅裝有3件合格品.今從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱,求:⑴乙箱中次品數(shù)的概率函數(shù);⑵從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.解⑴乙箱中的次品數(shù)即為從甲箱中取到的次品數(shù),因此,概率函數(shù)為⑵設(shè)表示從乙箱中取到次品這一事件,則由全概公式:利用概率函數(shù),可以求出任意數(shù)集上的概率為例11在例9中的⑵,求解由分佈律:所以:§2.3常見離散型隨機(jī)變數(shù)二項(xiàng)分佈泊松分佈均勻分佈幾何分佈超幾何分佈0-1分佈常見離散型分佈1.分佈如果隨機(jī)變數(shù)的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的分佈,記為分佈也可用下麵的式子或表格表示:凡是樣本空間只含有兩個(gè)樣本點(diǎn)的試驗(yàn)或貝努利試驗(yàn)都可以用服從分佈的隨機(jī)變數(shù)來刻劃.如產(chǎn)品的好壞,嬰兒的性別,天氣的晴雨等.2.二項(xiàng)分佈如果隨機(jī)變數(shù)的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分佈,記為其中⑴在次重複獨(dú)立試驗(yàn)中,事件發(fā)生的次數(shù)就服從二項(xiàng)分佈.⑵利用二項(xiàng)展開定理不難驗(yàn)證:⑶分佈是二項(xiàng)分佈在時(shí)的特例.例1設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的概率相等.若已知至少出現(xiàn)一次的概率為,試求事件在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.解設(shè),由題意所以例2設(shè)隨機(jī)變數(shù)的概率函數(shù)為記再記表示在三次重複獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),試求概率和

.解例3某市的血庫急需AB型血,要從體檢合格的獻(xiàn)血者中獲得AB型血.已知在體檢合格的獻(xiàn)血者中,AB型血的比例為百分之二,問至少需要多少位體檢合格的獻(xiàn)血者才能保證至少獲得一份AB型血的概率為0.95?解設(shè)至少需要

位體檢合格的獻(xiàn)血者才能保證至少獲得一份AB型血的概率達(dá)到0.95,記這

位體檢合格的獻(xiàn)

血者中AB型血人數(shù)為,則由此解得取例4抽查有3個(gè)孩子的家庭,設(shè)事件為“男孩和女孩都有”,事件為“至多一個(gè)女孩”.假設(shè)男、女出生率都為,則

,與

（填“是”或“不是”）相互獨(dú)立的;與

（填“是”或“不是”）互不相容的.解記為有三個(gè)孩子的家庭中女孩的個(gè)數(shù),則故兩事件“是”相互獨(dú)立的,“不是”互不相容的.但可知3.超幾何分佈同類產(chǎn)品個(gè),其中件次品.現(xiàn)從中任取個(gè)產(chǎn)品,（）.則這個(gè)產(chǎn)品中所含的次品數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變數(shù),且的概率分佈為我們稱服從超幾何分佈.定理記,則有在實(shí)際應(yīng)用中,只要,就用二項(xiàng)分佈來近似描述抽樣檢查中的不合格品個(gè)數(shù)的概率分佈.當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大時(shí),有放回抽樣和無放回抽樣可近似看作相同.例5某條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品,一級(jí)品率為90%.今從某天生產(chǎn)的1000件產(chǎn)品中,隨機(jī)地抽取20件做檢查.試求:⑴恰有18件一級(jí)品的概率;⑵一級(jí)品不超過18件的概率.解記

為隨機(jī)抽取的20件產(chǎn)品中一級(jí)品的個(gè)數(shù),這是的超幾何分佈,則⑴⑵4.泊松分佈若隨機(jī)變數(shù)的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的泊松分佈,記作.由無窮級(jí)數(shù)知識(shí)知:實(shí)例放射性物質(zhì)在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)放射的粒子數(shù)服從泊松分佈;公用電話亭在某時(shí)段內(nèi)打電話的人數(shù)服從泊松分佈;某交通道口在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)近似服從泊松分佈.泊松分佈的概率函數(shù)值可以查表得到.P257查法例設(shè),求查表得泊松定理設(shè),對(duì)於任意一

個(gè)非負(fù)整數(shù),泊松定理告訴我們:二項(xiàng)概率可以用泊松分佈的概率值來近似.當(dāng)時(shí)近似效果比較理想.例6分析病史資料表明:因患感冒而最終導(dǎo)致死亡的比例占0.2%.試求,目前正在患感冒的1000個(gè)病人中:⑴最終恰有4個(gè)人死亡的概率;⑵最終死亡人數(shù)不超過2個(gè)人的概率.解記

為1000個(gè)患感冒的病人中最終死亡的人數(shù),則此時(shí)可近似看作參數(shù)為2的泊松分佈,⑴⑵（查表可得）

例7某物業(yè)管理公司負(fù)責(zé)10000戶居民的房屋維修工作.假定每戶居民是否報(bào)修是相互獨(dú)立的.且一段時(shí)間內(nèi)報(bào)修的概率都是0.04%.另外,一戶居民住房的維修只需一名修理工來處理.則在某個(gè)時(shí)段報(bào)修的居民數(shù)按泊松定理,可以近似認(rèn)為.試問:⑴該物業(yè)管理公司至少需要配備多少名維修工人,才能使居民報(bào)修後能得到及時(shí)維修的概率不低於99%?（這裏不考慮維修時(shí)間長短）⑵如果該物業(yè)公司現(xiàn)有4名修理工,那麼居民報(bào)修後不能得到及時(shí)維修的概率有多大?⑶如果採用承包方式,每兩個(gè)人負(fù)責(zé)5000戶居民房屋的維修,那麼居民報(bào)修後不能得到及時(shí)維修的概率有多大?公司至少需配備的工人數(shù),則將其近似看成參數(shù)為4的泊松分佈,問題即求滿足以下條件的正整數(shù)

查表可得:解⑴記

為10000戶居民中報(bào)修的戶數(shù),為物業(yè)管理故取⑵查表可得⑶記

分別為這兩個(gè)5000戶居民中報(bào)修的戶數(shù),

則可將其近似看成參數(shù)為2的泊松分佈,再記

所求即為:例8設(shè)每分鐘通過某交叉路口的汽車流量服從泊松分佈,且已知一分鐘內(nèi)沒有車輛通過與恰有一輛車通過

的概率相等,求在一分鐘內(nèi)至少有2輛車通過的概率.解由已知條件,隨機(jī)變數(shù).又即:故所求概率為5.幾何分佈如果隨機(jī)變數(shù)的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的幾何分佈.

背景

足球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射門,直到射中為止所需要的射門次數(shù)服從幾何分佈.到成功為止所需要的試驗(yàn)次數(shù)服從幾何分佈.6.均勻分佈稱具有下列分佈律的隨機(jī)變數(shù)服從集合古典概型即可用服從均勻分佈的隨機(jī)變數(shù)來描述.上的（離散型）均勻分佈:例9設(shè)是隨機(jī)變數(shù),且求解例10求方程有實(shí)根的概率.其中服從集合上的均勻分佈.解方程有實(shí)根,當(dāng)且僅當(dāng)判別式非負(fù),即因此,相應(yīng)的概率為例11某產(chǎn)品的次品率為0.1.檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次,每次隨機(jī)地取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如果發(fā)現(xiàn)其中次品數(shù)多於一件,就去調(diào)整設(shè)備.以表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù),試求的概率函數(shù).（設(shè)各產(chǎn)品是否為次品是相互獨(dú)立的）解記為一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù),為隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中次品的個(gè)數(shù),則

且§2.4二維隨機(jī)變數(shù)及其分佈

1.聯(lián)合概率函數(shù)

2.邊緣概率函數(shù)3.隨機(jī)變數(shù)的相互獨(dú)立性4.條件概率函數(shù)例如新生入學(xué)體檢有兩個(gè)指標(biāo):身高與體重,對(duì)每個(gè)學(xué)生測量一次,其結(jié)果就對(duì)應(yīng)一組有序數(shù)戰(zhàn)士打靶的彈著點(diǎn)的位置可以用平面上點(diǎn)的座標(biāo)來表示.一、聯(lián)合概率函數(shù)定義2.2給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),是它的樣本空間,如果

對(duì)中的每一個(gè)樣本點(diǎn),有一對(duì)有序?qū)崝?shù)與之對(duì)應(yīng),則稱向量是二維隨機(jī)向量.如果一個(gè)二維隨機(jī)向量只可能取有限個(gè)或可列個(gè)值,則稱其為二維離散型隨機(jī)向量.稱設(shè)的值域?yàn)闉槎S隨機(jī)向量的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合分佈律.也可用表格形式表示顯然滿足下列條件⑴⑵例1一口袋中有4個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3.從袋

中任取一球後,不放回袋中,再從袋中任取一球.以分別記第一、第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求的聯(lián)合概率函數(shù)及概率值.解由題意,隨機(jī)變數(shù)的取值為由乘法公式比如等,類似可得:由概率函數(shù)表即得:利用聯(lián)合概率函數(shù),可求任意隨機(jī)事件的概率:例2袋中有1個(gè)紅球,2個(gè)黑球和3個(gè)白球.現(xiàn)有放回地

從袋中取2次球,每次取一個(gè)球,以分別表示取到的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù).求:⑴;⑵二維隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合概率函數(shù).解⑴因又所以⑵類似可以計(jì)算其他概率,由此得到概率分佈律例袋中有六球，編號(hào)為從袋中取3球,以

表示取到球的最小編號(hào)和最大編號(hào),求的聯(lián)合概率函數(shù).二、邊緣概率函數(shù)對(duì)於隨機(jī)向量,分量或本身是一個(gè)（一維）隨機(jī)變數(shù),它的概率分佈稱為的關(guān)於或的邊緣概率函數(shù)或邊緣分佈律.設(shè)隨機(jī)向量的聯(lián)合分佈為隨機(jī)變數(shù)的值域?yàn)?則的邊緣概律函數(shù)或邊緣分佈（律）定義為隨機(jī)變數(shù)的值域,定義的邊緣概率函數(shù)或邊緣分佈（律）為即有例3一口袋中有5個(gè)球,4個(gè)白的1個(gè)紅的,無放回抽樣連摸兩次,記第一次取到紅球,第一次取到白球,第二次取到紅球,第二次取到白球,試求:⑴的聯(lián)合概率函數(shù);⑵⑶分別求與的邊緣概率函數(shù).解⑴由乘法公式得到:⑵⑶在上題中,若作有放回抽樣,求問題⑴,⑶.解⑴同樣由乘法公式得到⑶以上例子說明,由聯(lián)合分佈可以決定邊緣分佈,但反之不然.例4設(shè)隨機(jī)變數(shù)與有相同的分佈律,且的概率函數(shù)為且,求.解由已知條件,知隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合分佈有下列形式:再由邊緣分佈得從而有因此例5設(shè)隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合概率函數(shù)如表所示:且已知,求的值.解由即知又由概率函數(shù)的性質(zhì)知:所以如果等式三、隨機(jī)變數(shù)的相互獨(dú)立性定義2.3設(shè)隨機(jī)變數(shù)與的聯(lián)合概率函數(shù)為對(duì)所有的都成立,則稱隨機(jī)變數(shù)與是相互獨(dú)立的.兩個(gè)邊緣概率值的乘積.獨(dú)立性意味著,在下表中,交叉點(diǎn)的元素是對(duì)應(yīng)的例3中,在有放回抽樣時(shí),隨機(jī)變數(shù)與是相互獨(dú)立的;而在無放回抽樣時(shí),與不獨(dú)立.由定義可知,如果隨機(jī)變數(shù)與相互獨(dú)立,那麼由邊緣分佈可以決定聯(lián)合分佈.定理2.2隨機(jī)變數(shù)與相互獨(dú)立的充分必要條件是:對(duì)於實(shí)數(shù)軸上的任意兩個(gè)集合與,總有

定義2.4如果隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合概率函數(shù)

恰為個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積,即有則稱這個(gè)隨機(jī)變數(shù)相互獨(dú)立.定理2.