生活中的正態(tài)分布

生活中的正態(tài)分布目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要 1\o"CurrentDocument"一、正態(tài)分布的起源和發(fā)展 1\o"CurrentDocument"二、 正態(tài)分布的概念 1（一） 正態(tài)分布定義 1\o"CurrentDocument"（二） 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn) 2\o"CurrentDocument"三、 正太分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用 2\o"CurrentDocument"（一）正態(tài)分布在考試成績(jī)的應(yīng)用 2\o"CurrentDocument"（二） 正態(tài)分布在人才招聘的應(yīng)用 3\o"CurrentDocument"（三） 正態(tài)分布在路線上的應(yīng)用 4\o"CurrentDocument"（四） 正太分布在工業(yè)生產(chǎn)的應(yīng)用 4\o"CurrentDocument"（五） 正太分布在測(cè)量的應(yīng)用 6\o"CurrentDocument"結(jié)論 7\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 8摘要正態(tài)分布是應(yīng)用最為廣泛的一種應(yīng)用型分布。它的出現(xiàn)，在我們?nèi)粘Ｉ钪衅鸬较喈?dāng)大的作用，幫助相關(guān)工作人員更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。本文以正態(tài)分布在生活中的實(shí)際運(yùn)用為例，分別在實(shí)際的考試成績(jī)、測(cè)量、路線規(guī)劃以及面試工作中，所起到的作用，并加以分析。關(guān)鍵詞:正態(tài)分布；數(shù)據(jù)分析；實(shí)際運(yùn)用一、正態(tài)分布的起源和發(fā)展拉罕棣莫弗在1733年，正式提出了正態(tài)分布這項(xiàng)發(fā)財(cái)，棣莫弗運(yùn)用正態(tài)分布計(jì)算拋硬幣出現(xiàn)正反面的相關(guān)概率，因此，又被稱(chēng)之為鐘形曲線，但是這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)直到1809年才被數(shù)學(xué)屆證實(shí)。當(dāng)年，莫弗在推導(dǎo)二項(xiàng)分布漸近公式中，逐步推算出正態(tài)分布定律其后，P.S.拉普斯和高在測(cè)量誤差的過(guò)程中，逐步分析出它所存在的特性。正態(tài)分布源于現(xiàn)實(shí)生活，因此其定義早在1733年第一次被世人提出所運(yùn)用。但是，由于正態(tài)分布運(yùn)用在基礎(chǔ)學(xué)科第一人所美國(guó)科學(xué)家Abuss，所以正態(tài)分布也稱(chēng)之為高斯分布。二、正態(tài)分布的概念正態(tài)分布定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度/(x)_（x-口）2e_202 ,一8<x<+8,其中，卩(-8＜卩＜+8),O(o＞0)為常數(shù)，則稱(chēng)X服從以PQ為參數(shù)的正態(tài)分布,記作X?N(PQ2)。當(dāng)卩=0，o=1時(shí)，得到一種特別地分布X~N(O,1),此時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正1 x2態(tài)分布，它的概率密度通常記為申(兀)=-=e_2。72兀

二）正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn)（1） 正態(tài)分布所對(duì)稱(chēng)形式的，關(guān)于直線x=R對(duì)稱(chēng)，其中，中間點(diǎn)位置最高，兩邊呈對(duì)稱(chēng)下降趨勢(shì)；（2） 正態(tài)曲線的面積固定為1。正態(tài)分布的主要變量有三個(gè)，分別為隨機(jī)變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小以及單位。正態(tài)分布包含了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差固定,標(biāo)準(zhǔn)差為1，平均數(shù)為0。三、正太分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用（一）正態(tài)分布在考試成績(jī)的應(yīng)用案例1：沙溪中學(xué)在錄取考生中，語(yǔ)文成績(jī)X=70分，b=8分；數(shù)學(xué)成績(jī)Y=80分,1b=10分，其中小明語(yǔ)文考了75分，數(shù)學(xué)88分；小紅語(yǔ)文考了72分，數(shù)學(xué)得了90分。2請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)學(xué)生的名次靠前？分析思路：在解決這道學(xué)校常見(jiàn)的問(wèn)題時(shí)，首先要將這兩名學(xué)生的兩科成績(jī)進(jìn)行歸納。由于該問(wèn)題中，各科成績(jī)的加權(quán)比重不同，所以在解決這道問(wèn)題的時(shí)候，不能想當(dāng)然的把兩門(mén)成績(jī)相加進(jìn)行簡(jiǎn)單比較。因此，要想正確解決這道問(wèn)題，需要把原始成績(jī)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)成績(jī)，然后進(jìn)行對(duì)比。解答過(guò)程如下：把小明的初始成績(jī)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)成績(jī):所以,Z=1175所以,Z=1175-70=0.625,Z12+Z120.625+0.8二1.425把小紅的初始成績(jī)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)成績(jī):Z= =Z= =0.25,Z21890-80 ,==1由于 ZB=Z21+Z22二1.25兩者相對(duì)比，得出小明的1.45大于小紅的1.25，因此，小明分?jǐn)?shù)更高（二）正態(tài)分布在人才招聘的應(yīng)用案例2:廈門(mén)銀鷺集團(tuán)準(zhǔn)備通過(guò)招聘考試錄用30名技術(shù)崗位的員工，其中正式工25人，臨時(shí)工5人。經(jīng)過(guò)了解，本次報(bào)名人數(shù)達(dá)250人，考試滿(mǎn)分是500分。經(jīng)過(guò)招聘考試的信息匯總，參加考試者的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布，其參數(shù)為卩=150，b=92。已知某考生得分268分，請(qǐng)問(wèn)他能否被企業(yè)錄取，又是否能成為銀鷺集團(tuán)的正式員工？解題思路：先預(yù)測(cè)最低錄取分?jǐn)?shù)線，然后根據(jù)最低錄取分?jǐn)?shù)線預(yù)測(cè)該考生的名次,就能夠準(zhǔn)確的定位出該員工能否順利錄用。解題過(guò)程：設(shè)最低錄取分?jǐn)?shù)線為X°,則被錄取考生的分?jǐn)?shù)X應(yīng)該滿(mǎn)足X>X°，即30P(X>X)-300 250換言之，30P(X<X)-1-30-0.880 250所以，①(X0-150)-0.829492通過(guò)查表得知，X0-150沁0.95，X-237.4分920因此，該員工的成績(jī)?yōu)?68分，大于237.4分，該員工能夠順利被錄用。該考生成績(jī)X=268分，那么 P(X<268)"廿)=0.8944因此，在這次考試情況中，有0.8944*250^224人的成績(jī)是低于該員工的，那么他所在排名大致為第26名，很不幸排在第25名之后，無(wú)法成為銀鷺公司的正式員工，因此，來(lái)年還需要繼續(xù)努力才行。正態(tài)分布在路線上的應(yīng)用隨著當(dāng)今社會(huì)的不斷發(fā)展，越來(lái)越多的交通工具進(jìn)入我們的視野，供我們選擇?？墒?，我們時(shí)常會(huì)遇到這么一個(gè)問(wèn)題，就是不知道去往路程不是特別遠(yuǎn)的地點(diǎn)該乘坐什么交通工具出行。那么在同等條件下，我們將采用正太分布的來(lái)幫助市民解決這個(gè)出行問(wèn)題。案例3:假設(shè)小剛明天要去北京旅游，但是他必須要去機(jī)場(chǎng)乘機(jī)，而小剛從家里去機(jī)場(chǎng)的過(guò)程中可以選擇乘坐公交車(chē)和地鐵兩種方式。如果小剛乘坐公交車(chē)去機(jī)場(chǎng)，那么所需花費(fèi)的時(shí)間(單位：min)X~N(50,82)如果選擇地鐵出行，那么所需花費(fèi)的時(shí)O間為Y~N(55?)。如果小剛有65分鐘的出行時(shí)間，那么選用哪種方式出行較好？解題思路：很明顯此題的解題思路就在于計(jì)算出這兩種出行方式所需要耗費(fèi)的時(shí)間，然后進(jìn)行對(duì)比，所用時(shí)間短者優(yōu)先。解題過(guò)程：65_50P(X<65)=0( )=①(1.875)=0.9641865—55P(Y<65)=0( )=①(1.667)=0.94526想對(duì)比后，我們發(fā)現(xiàn)，選擇乘坐公交車(chē)的方式能夠節(jié)約更多的時(shí)間，因此，小剛應(yīng)該選擇乘坐公交車(chē)去往機(jī)場(chǎng)更為合適。正太分布在工業(yè)生產(chǎn)的應(yīng)用在我們?nèi)粘Ｉ钪?，常常?huì)發(fā)現(xiàn)即使是同一產(chǎn)家生產(chǎn)的尺子，也會(huì)有長(zhǎng)短之分。這是因?yàn)樵诠I(yè)化的生產(chǎn)過(guò)程中，也是會(huì)存在一定的產(chǎn)品誤差。在通過(guò)收集大量數(shù)據(jù)樣本之后，我們發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品誤差的分布往往都近似可看作為正態(tài)分布。所以，正態(tài)分布也被稱(chēng)為誤差分布。案例4：南昌機(jī)械廠現(xiàn)在要生產(chǎn)一批鋼圈，其內(nèi)部直徑我們記作X(單位：mm)，如果X?N(卩,1),其中卩是未定的平均內(nèi)部直徑，依據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定該種鋼圈內(nèi)徑的極值分別為15mm和10mm,也就是說(shuō)，如果車(chē)間生產(chǎn)的鋼圈內(nèi)徑大于15mm抑或是小于10mm，那么該產(chǎn)品都將是不合格的。此外，工廠的任何制造都需要支付一定的成本，如果該產(chǎn)品的質(zhì)量不合格，那么每生產(chǎn)一件小于10mm的鋼圈，工廠就要虧損4元，每生產(chǎn)一件大于15mm的鋼圈，就會(huì)虧損6元。如若合格一件產(chǎn)品，那么就能有20元的收益。那么南昌機(jī)械廠應(yīng)該制定多少范圍的內(nèi)徑，才能使工廠的利益最大化？解題過(guò)程：我們將銷(xiāo)售利潤(rùn)函數(shù)設(shè)為M(單位：元)則根據(jù)情況，其中M是X的函數(shù)，平均利潤(rùn)就是為期望利潤(rùn)。因?yàn)閮?nèi)徑X?N(r,1)，那么有X-X-r?N(0,1)M20-1-5PiP(10<X<15)P(X<10)P(X>15)那么平均利潤(rùn)E(M)=20P(10<X<15)-4P(X<10)-6P(X>15)=20P(10-R<X-r<15-r)一4P(X-r<10-r)一6P(X-r>15-r)=20[①(15-R)-①(10-R)]-40(10-R)-6[1-①(15-R)]=160①-112①r-6如果要令E(M)最大，就對(duì)E(M)求導(dǎo)，！EM)二0，即1600-112①r-(這里①(x),申(x)dR為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和概率密度函數(shù))。其中，①(x)=Jx申(t)dt=Jx 一e一2dt—g 一g2兀x2申(x)= e2一由此得到，(11R)2 (13R)222 T11L 26 T13 Le2 = e2丫2一 一解得， 一11-2in||?心呦)所以，當(dāng)工廠把產(chǎn)品的平均內(nèi)徑卩控制在11.9mm時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)最大。正太分布在測(cè)量的應(yīng)用陽(yáng)臺(tái)拉門(mén)最為人民日常生活中常見(jiàn)的居家裝飾之一，其設(shè)計(jì)的合理與否直接關(guān)系到廣大住戶(hù)的居家滿(mǎn)意程度。為了保障陽(yáng)臺(tái)拉門(mén)不會(huì)被客戶(hù)主人的生活造成如撞頭等影響，我們最后通過(guò)正太分布來(lái)研究陽(yáng)臺(tái)拉門(mén)高度的問(wèn)題。案例5一般規(guī)定門(mén)高碰撞概率按1.11以下來(lái)保證不被撞到的可能。現(xiàn)在，假設(shè)男子身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(177，38)，那么拉門(mén)需要如何計(jì)算才能最大限度保證一名正常的成年男子不被撞到？解題過(guò)程：假設(shè)拉門(mén)高度H(單位：cm)，按照設(shè)計(jì)要求，P(X>H)<0.01所以， P(X<H)>0.99男子身高X~N(175，36),X—175所以 ~N(0,1),6H—175則有， P(X<H)二①(-^—)>0.996通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知，①(2.33)二0.9901>0.99因而，取日—175二|.33，解得H=188.98?1896所以，將陽(yáng)臺(tái)拉門(mén)的高度設(shè)計(jì)為189厘米的高度最適合。結(jié)論在我們的日常生活中，有不少社會(huì)現(xiàn)象都存在正太分布，正態(tài)分布作為分析概率的科學(xué)方法，在社會(huì)生活中作用廣大。因此，正態(tài)分布常常被專(zhuān)家和學(xué)者作為一種科學(xué)工具來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。然而，從宏觀上分析，正態(tài)分布在指導(dǎo)使用者如何更好的進(jìn)行科學(xué)預(yù)判的時(shí)候，其自身也存在一定的不足之處，這就要求使用這種方法的人員要結(jié)合實(shí)際來(lái)進(jìn)行分析，是否需要運(yùn)用正態(tài)分布這種方法，要尊重科學(xué)，不能盲目迷信經(jīng)驗(yàn)。只要充分利用正態(tài)分布帶來(lái)的好處，人類(lèi)文明才能借此創(chuàng)造出更大的價(jià)值。因此，正態(tài)分布是價(jià)值觀和方法觀的結(jié)合，承載著人類(lèi)智慧的結(jié)晶，對(duì)社會(huì)的發(fā)展有著重要的促進(jìn)作用。本文通過(guò)運(yùn)用幾個(gè)生活中的實(shí)例，對(duì)正態(tài)分布進(jìn)行分析，從而得出結(jié)論，這在計(jì)算機(jī)技術(shù)日漸普及的今天，正太分布的運(yùn)用將會(huì)逐漸變廣。參考文獻(xiàn)[美]S.威洛比著，劉秀芳，唐守正，陳木法譯?概率和統(tǒng)計(jì)[M].文化教育出版社.2008年11月第1版，160—167頁(yè)。上海市中學(xué)教師進(jìn)修教材編寫(xiě)組.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].天津人民出版社.2005年