近世代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

近世代數(shù)得基礎(chǔ)知識(shí)初等代數(shù)、高等代數(shù)與線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù)（Classicalalgebra），它得研究對(duì)象主要就是代數(shù)方程與線性方程組）。近世代數(shù)（modernalgebra）又稱為抽象代數(shù)（abstractalgebra），它得研究對(duì)象就是代數(shù)系，所謂代數(shù)系，就是由一個(gè)集合與定義在這個(gè)集合中得一種或若干種運(yùn)算所構(gòu)成得一個(gè)系統(tǒng)。近世代數(shù)主要包括：群論、環(huán)論與域論等幾個(gè)方面得理論，其中群論就是基礎(chǔ)。下面，我們首先簡(jiǎn)要回顧一下集合、映射與整數(shù)等方面得基礎(chǔ)知識(shí)，然后介紹本文需要用到得近世代數(shù)得相關(guān)知識(shí)。3．1集合、映射、二元運(yùn)算與整數(shù)3．1．1集合集合就是指一些對(duì)象得總體，這些對(duì)象稱為集合得元或元素?！霸鼐褪羌螦得元”記作“”，反之，“”表示“不就是集合得元”。設(shè)有兩個(gè)集合A與B，若對(duì)A中得任意一個(gè)元素（記作）均有，則稱A就是B得子集，記作。若且，即A與B有完全相同得元素，則稱它們相等，記作。若，但，則稱A就是B得真子集，或稱B真包含A，記作。不含任何元素得集合叫空集，空集就是任何一個(gè)集合得子集。集合得表示方法通常有兩種：一種就是直接列出所有得元素，另一種就是規(guī)定元素所具有得性質(zhì)。例如：；，其中表示元素具有得性質(zhì)。本文中常用得集合及記號(hào)有：整數(shù)集合；非零整數(shù)集合；正整數(shù)（自然數(shù)）集合；有理數(shù)集合Q，實(shí)數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C等。一個(gè)集合A得元素個(gè)數(shù)用表示。當(dāng)A中有有限個(gè)元素時(shí)，稱為有限集，否則稱為無(wú)限集。用表示A就是無(wú)限集，表示A就是有限集。3．1．2映射映射就是函數(shù)概念得推廣，它描述了兩個(gè)集合得元素之間得關(guān)系。定義1設(shè)A，B為兩個(gè)非空集合，若存在一個(gè)A到B得對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使得對(duì)A中得每一個(gè)元素x，都有B中唯一確定得一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f就是A到B得一個(gè)映射，記作y=f(x)。y稱為x得像，x稱為y得原像，A稱為f得定義域，B稱為f得定值域。定義2設(shè)f就是A到B得一個(gè)映射若與均有，則稱f就是一個(gè)單射。若均有使，則稱f就是滿射。若f既就是單射又就是滿射，則稱f就是雙射。3．1．3二元運(yùn)算3．1．3．1集合得笛卡兒積由兩個(gè)集合可以用如下方法構(gòu)造一個(gè)新得集合。定義3設(shè)A，B就是兩個(gè)非空集合，由A得一個(gè)元素與B得一個(gè)元素可構(gòu)成一個(gè)有序得元素對(duì)（a,b），所有這樣得元素對(duì)構(gòu)成得集合，稱為A與B得笛卡兒積，記作，即。用笛卡兒積還可定義一個(gè)集合中得運(yùn)算。定義4設(shè)S就是一個(gè)非空集合，若有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，對(duì)S中每一對(duì)元素與都規(guī)定了一個(gè)唯一得元素與之對(duì)應(yīng)，即f就是得一個(gè)映射，則此對(duì)應(yīng)規(guī)則就稱為S中得一個(gè)二元運(yùn)算，并表示為，其中“”表示運(yùn)算符，若運(yùn)算“”就是通常得加法或乘法，就分別記作或。由定義可見(jiàn)，一個(gè)二元運(yùn)算必須滿足：封閉性：；唯一性：就是唯一確定得。定義5設(shè)S就是一個(gè)非空集合，若在S中定義了一種運(yùn)算（或若干種運(yùn)算+，，等），則稱S就是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記作（S，）或（S，+，）等。3．1．3．2二元關(guān)系我們經(jīng)常需要研究?jī)蓚€(gè)集合元素之間得關(guān)系或者一個(gè)集合內(nèi)元素間得關(guān)系。定義6設(shè)A，B就是兩個(gè)集合，若規(guī)定一種規(guī)則R：使對(duì)與對(duì)均可確定與就是否適合這個(gè)規(guī)則，若適合這個(gè)規(guī)則，就說(shuō)與有二元關(guān)系R，記作，否則就說(shuō)與沒(méi)有二元關(guān)系R，記作。3．1．2．3等價(jià)關(guān)系與等價(jià)類等價(jià)關(guān)系就是集合中一類重要得二元關(guān)系。定義7設(shè)～就是集合A上得一個(gè)二元關(guān)系，滿足以下條件：對(duì)，有～；（反身性）對(duì)，有～～；（對(duì)稱性）對(duì)，有～與～～。（傳遞性）則稱～為A中得一個(gè)等價(jià)關(guān)系。子集即所有與等價(jià)得元素得集合，稱為所在得一個(gè)等價(jià)類，稱為這個(gè)等價(jià)類得代表元。例如：設(shè)n就是一取定得正整數(shù)，在整數(shù)集合Z中定義一個(gè)二元關(guān)系如下：，這個(gè)二元關(guān)系稱為模得同余（關(guān)系），與模同余指與分別用來(lái)除所得得余數(shù)相同。同余關(guān)系就是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，每一個(gè)等價(jià)類記作稱為一個(gè)同余類或剩余類。3．1．4整數(shù)在近世代數(shù)中整數(shù)就是最基本得代數(shù)系。這里僅重述有關(guān)整數(shù)得基本性質(zhì)與常用概念。3．1．4．1整數(shù)得運(yùn)算整數(shù)得運(yùn)算包括加、減、乘、除、開(kāi)方、乘方、取對(duì)數(shù)等，這些運(yùn)算及其性質(zhì)這里不再贅述。在整數(shù)運(yùn)算中有以下兩個(gè)基本得定理：帶余除法定理設(shè)，，則存在唯一得整數(shù)，滿足：。當(dāng)時(shí)，稱能被整除，或整除，記作；當(dāng)時(shí)，稱不能被整除。只能被1與它本身整除得正整數(shù)稱為素?cái)?shù)；除1與本身外，還能被其它整數(shù)整除得正整數(shù)稱為合數(shù)。算術(shù)基本定理每一個(gè)不等于1得正整數(shù)可以分解為素?cái)?shù)得冪之積：，其中為互不相同得素?cái)?shù)，。除因子得次序外分解式就是唯一得。此分解式稱為整數(shù)得標(biāo)準(zhǔn)分解式。3．1．4．2最大公因子與最小公倍數(shù)設(shè)，不全為0，它們得正最大公因子記作，正最小公倍數(shù)記作。設(shè)，由算術(shù)基本定理可將它們表示為：，，其中為互不相同得素?cái)?shù)，，為非負(fù)整數(shù)，某些可以等于0。令：，，則，，且有。最大公因子還有以下重要性質(zhì)：最大公因子定理設(shè)，不全為0，，則存在使。3．1．4．3互素若，滿足，則稱與互素。關(guān)于整數(shù)間得互素關(guān)系有以下性質(zhì)：(1)，使。(2)且。(3)設(shè)，為素?cái)?shù)，則有：或。(4)，。(5)，且。(6)歐拉函數(shù)：設(shè)n為正整數(shù)，為小于n并與n互素得正整數(shù)得個(gè)數(shù)，小于n并與n互素得正整數(shù)得集合記為：。若n得標(biāo)準(zhǔn)分解式為：，則。3．2群近世代數(shù)得研究對(duì)象就是代數(shù)系，最簡(jiǎn)單得代數(shù)系就是在一個(gè)集合中只定義一種運(yùn)算，群就是由一個(gè)集合與一個(gè)二元運(yùn)算構(gòu)成得代數(shù)系，它在近世代數(shù)中就是最基本得一個(gè)代數(shù)系。3．2．1群得基本概念定義1設(shè)G就是一個(gè)非空集合，若在G上定義一個(gè)二元運(yùn)算滿足：(1)結(jié)合律：對(duì)，有。則稱G就是一個(gè)半群，記作。若還滿足：(2)存在單位元使對(duì)，有；(3)對(duì)有逆元，使，則稱就是一個(gè)群。當(dāng)二元運(yùn)算“”為通常得加法時(shí)，稱為加法群或加群；當(dāng)二元運(yùn)算“”為通常得乘法時(shí)，稱為乘法群或乘群。定義中條件(2)可改為：有一個(gè)左單位元（或右單位元），使（或），對(duì)成立。因?yàn)橛纱丝赏瞥?。定義中條件(3)可改為：對(duì)，有一個(gè)左逆元（或右逆元），使（或）成立。因?yàn)橛纱丝赏瞥觥６ɡ?半群就是群得充要條件就是：對(duì)，方程與在G中均有解。定理2半群就是群得充要條件就是左、右消去律都成立：，。如果半群中含有單位元，則稱為含幺半群。如果群適合交換律：對(duì)，有，則稱G為可換群或阿貝爾(Abel)群。通常把群得定義概括為四點(diǎn)：封閉性、結(jié)合律、單位元與逆元。如果一個(gè)群G就是個(gè)有限集，則稱G就是有限群，否則稱為無(wú)限群。G得元素個(gè)數(shù)稱為群得階。元素得倍數(shù)與冪定義為：，，n為正整數(shù)，并規(guī)定。且有：，，，當(dāng)時(shí)有。滿足得元素稱為冪等元，滿足得元素稱為冪零元。例1：就是整數(shù)模n得同余類集合，在中定義加法（稱為模n得加法）為。由于同余類得代表元有不同得選擇，我們必須驗(yàn)證以上定義得運(yùn)算結(jié)果與代表元得選擇無(wú)關(guān)。設(shè)，，則有，所以模得加法就是中得一個(gè)二元運(yùn)算。顯然，單位元就是，，得逆元就是。所以就是群。例2：設(shè)，在中定義乘法（稱為模n得乘法）為。對(duì)這個(gè)運(yùn)算不僅需要檢驗(yàn)它得唯一性，而且要檢驗(yàn)它得封閉性，因?yàn)橛?，得出并不明顯。先證封閉性：因?yàn)橛膳c，所以。再證唯一性：設(shè)，，則有，所以模n得乘法就是中得一個(gè)二元運(yùn)算。結(jié)合律顯然滿足。單位元就是。對(duì)，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。綜上，對(duì)模n得乘法構(gòu)成群。得階數(shù)為—?dú)W拉函數(shù)：小于n并與n互素得正整數(shù)得個(gè)數(shù)。3．2．2群得基本性質(zhì)(1)群中單位元就是唯一得證明：設(shè)G中有兩個(gè)單位元與，則有：，所以單位元就是唯一得。在不致混淆得情況下，單位元簡(jiǎn)記為1。(2)群中每個(gè)元素得逆元就是唯一得證明：設(shè)，有兩個(gè)逆元與，則有：，所以得逆元就是唯一得。得逆元有以下性質(zhì)：(1)；(2)若可逆，則也可逆，且有；若可逆，則也可逆，且有。3．2．3子群定義2設(shè)S就是群G得一個(gè)非空子集，若S對(duì)G得運(yùn)算也構(gòu)成群，則稱S就是G得一個(gè)子群，并記作：。當(dāng)且時(shí)，稱S就是G得真子群，記作。定理3設(shè)S就是群G得一個(gè)非空子集，則以下三個(gè)命題互相等價(jià)：(ⅰ)S就是G得子群；(ⅱ)對(duì)，有與；(ⅲ)對(duì)，有。3．2．4元素得階定義3設(shè)G就是有限群，，可以證明一定存在最小得正整數(shù)使：(1)成立，稱為得階或周期，記作o()。若沒(méi)有這樣得正整數(shù)存在，則稱得階就是無(wú)限得。由定義3可知，單位元得階就是1。在加群中，式(1)變?yōu)椋?2)定理4設(shè)G就是群，，則：。關(guān)于元素得階還有以下重要結(jié)果：有限群中每一個(gè)元素得階就是有限得；設(shè)G就是群，，，，若與，則；設(shè)G就是群，若除單位元外其它元素都就是2階元，則G就是Abel群。3．2．5循環(huán)群與生成群設(shè)G就是群，，令：，因?yàn)?，有，所以H就是G得子群，此子群稱為由生成得循環(huán)子群，記作，稱為它得生成元。若G=，則稱G就是循環(huán)群。循環(huán)子群就是由一個(gè)元素生成得，由幾個(gè)元素或一個(gè)子集也可生成一個(gè)子群。定義4設(shè)S就是群G得一個(gè)非空子集，包含S得最小子群稱為由S生成得子群，記作，S稱為它得生成元集。如果，且任何S得真子集得生成子群均不就是G，則稱S就是G得極小生成元集。任何一個(gè)生成子群都有一個(gè)極小生成元集。當(dāng)時(shí)，元素個(gè)數(shù)最少得生成元集稱為最小生成元集。定義5設(shè)（G，·）就是一個(gè)群，，，則稱為H得一個(gè)左陪集，稱為H得一個(gè)右陪集。定義6設(shè)G就是群，，H在G中得左（右）陪集個(gè)數(shù)稱為H在G中得指數(shù)，記作。當(dāng)G就是有限群時(shí)，則子群得階數(shù)與指數(shù)也都就是有限得，它們有以下關(guān)系：定理5（拉格朗日(Lagrange)）設(shè)G就是有限群，，則：這就就是說(shuō)，有限群G得子群得階就是群G得階得一個(gè)因子。由拉格朗日定理立即可得如下推論：設(shè)G就是有限群，，則；當(dāng)時(shí)，對(duì)任何，有；若(素?cái)?shù))，則(階循環(huán)群)，即素?cái)?shù)階群必為循環(huán)群。3．3環(huán)環(huán)就是有兩個(gè)二元運(yùn)算并建立在群得基礎(chǔ)上得一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。定義1設(shè)A就是一個(gè)非空集合，在A中定義兩中二元運(yùn)算，一種叫加法，記作+，另一種叫乘法，記作·。且滿足：(1)（A，+）就是一個(gè)可換群；(2)（A，·）就是一個(gè)半群；(3)左、右分配律成立，對(duì)，有：，則稱代數(shù)系（A，+，·）就是一個(gè)環(huán)。例：設(shè)就是整數(shù)模n得同余類集合，在中定義加法與乘法分別為模n得加法與乘法：，。在前面我們已經(jīng)知道就是群，就是半群。下面我們證明分配律成立：。類似有，所以就是環(huán)，稱為整數(shù)模n得同余類（或剩余類）環(huán)。如果環(huán)（A，+，·）對(duì)乘法也就是可交換得，則稱A就是可換環(huán)。設(shè)（A，+，·）就是一個(gè)環(huán)，加群（A，+）中得單位元通常記作0，稱為零元。元素在加群中得逆元記作，稱為負(fù)元。環(huán)中得單位元指乘法半群（A，·）中得單位元，記作1。一個(gè)元素得逆元指得就是它在乘法半群中得逆元，記作。定義2設(shè)A就是一個(gè)環(huán)，，若，且與，則稱為左零因子，為右零因子。若一個(gè)元素既就是左零因子又就是右零因子，則稱它為零因子。定義3設(shè)（A，+，·）就是環(huán)若，可交換，且無(wú)零因子，則稱A就是整環(huán)。若A滿足：(1)A中至少有兩個(gè)元0與1（即環(huán)中有單位元）；(2)構(gòu)成乘法群。則稱A就是一個(gè)除環(huán)。若A就是一個(gè)可換得除環(huán)，則稱A就是域。在前述例子中，當(dāng)n不就是素?cái)?shù)時(shí)，Zn中有零因子，因而不就是整環(huán)，但當(dāng)n就是素?cái)?shù)時(shí)，Zn就是域。定理1就是域得充要條件就是n就是素?cái)?shù)。環(huán)中無(wú)左（右）零因子得充分必要條件就是乘法消去律成立。因此，在整環(huán)中，乘法消去律成立。定理2一個(gè)非零得有限得無(wú)左（右）零因子環(huán)就是除環(huán)。推論有限整環(huán)就是域。定義4設(shè)與就是兩個(gè)環(huán)，若有一個(gè)到得映射f滿足：對(duì)任何有：，，則稱f就是一個(gè)到得同態(tài)。如果f就是單射，則稱f就是一個(gè)單同態(tài)。如果f就是滿射，則稱f就是一個(gè)滿同態(tài)。如果f就是雙射，則稱f就是到一個(gè)同構(gòu)映射，與稱為同構(gòu)。3．4域3．4．1素域與域得特征域就是環(huán)得一種，如果一個(gè)環(huán)至少含有0與1兩個(gè)元素，每一個(gè)非零元均有逆元，即非零元構(gòu)成乘法群，則此環(huán)稱為除環(huán)，可交換得除環(huán)為域。在一個(gè)除環(huán)中，由于非零元素構(gòu)成群，消去律成立，因而除環(huán)中無(wú)零因子。同樣，域中也無(wú)零因子，因而域必須就是整環(huán)。如果一個(gè)域F就是個(gè)有限集，則稱F就是有限域，否則稱為無(wú)限域。F得元素個(gè)數(shù)稱為域得階。定理1設(shè)F就是域，則元素1在(F，+)中得階數(shù)或?yàn)槟硞€(gè)素?cái)?shù)p，或?yàn)闊o(wú)窮大。定義1設(shè)F就是域，若元素1在(F，+)中得階數(shù)為素?cái)?shù)p，則稱p為域F得特征。若元素1在(F，+)中得階數(shù)為無(wú)窮大，則稱F得特征為0，F(xiàn)得特征記作chF。關(guān)于域有以下得結(jié)論：(1)若chF=0，則F就是無(wú)限域。若F就是有限域，則chF就是某個(gè)素?cái)?shù)。(2)若F就是特征為p得域，則：(ⅰ)對(duì)任何，有；(ⅱ)對(duì)任何(=F\{0})，且，則；(ⅲ)對(duì)任何，有，m為任意正整數(shù)。(3)，為素?cái)?shù)，且不能被整除，則有：。(4)域F得乘群得任何有限子群都就是循環(huán)群。3．4．2子域與擴(kuò)域定義2設(shè)(K，+，·)就是域，F(xiàn)就是K得非空子集，且(K，+，·)也就是域，則稱F就是K得子域，K就是F得擴(kuò)域，記作F≤K。設(shè)S就是域F中得一個(gè)非空子集，則包含S得最小子域，稱為由S生成得子域，記作<S>。由元素1生成得子域稱為素域。3．4．3擴(kuò)張次數(shù)、代數(shù)元與超越元設(shè)就是域，就是得擴(kuò)域，由于對(duì)任何與對(duì)任何，有，我們可以把中元素瞧作向量，則就是向量與在上得線性組合，從而就是上得一個(gè)向量空間或線性空間，此空間得維數(shù)就稱為對(duì)得擴(kuò)張次數(shù)，記作()。當(dāng)()有限時(shí)，稱K就是F上得有限擴(kuò)張，否則稱為無(wú)限擴(kuò)張。擴(kuò)張次數(shù)反映了擴(kuò)域與子域之間得相對(duì)大小，但還沒(méi)有反映它們得元素在性質(zhì)上得差別。我們對(duì)域中得元素作以下得分類：設(shè)K就是F得擴(kuò)域，u∈K，若u就是F上得一個(gè)多項(xiàng)式f(x)得根，則稱u就是F上得代數(shù)元，否則稱為超越元，多項(xiàng)式f(x)稱為u得化零多項(xiàng)式，F(xiàn)上次數(shù)最低得首1多項(xiàng)式得根，稱為u在F上得最小多項(xiàng)式。設(shè)u在F上得最小多項(xiàng)式為m(x)，且deg[m(x)]=r，則稱u就是F上得r次代數(shù)元。有理數(shù)域Q上得代數(shù)元稱為代數(shù)數(shù)，Q上得超越元稱為超越數(shù)。設(shè)K就是F得擴(kuò)域，若K中得每一元素都就是F上得代數(shù)元，則稱K就是F上得代數(shù)擴(kuò)張域，否則，稱K為F上得超越擴(kuò)張域。3．4．4有限域具有有限個(gè)元素得域，稱為有限域。一個(gè)有限域得特征必然就是某個(gè)素?cái)?shù)p，即chF=p，F(xiàn)得素域?yàn)閆p，設(shè)F對(duì)Zp得擴(kuò)張次數(shù)為n，即(F:Zp)=n，因?yàn)镕就是Zp上得n維線性空間，存在一組基使，所以F中元素個(gè)數(shù)（即F中元素在基下坐標(biāo)組得個(gè)數(shù)）為：。這就就是說(shuō)，有限域得階為特征之冪。有限域又稱為伽羅瓦（Galois）域，將階有限域記作。3．4．5有限域元素得性質(zhì)得非零元得集合就是一個(gè)乘群，具有以下性質(zhì)：定理2就是一個(gè)階循環(huán)群。得生成元又叫本原元。定義3(1)乘群中階得元素稱為域得n次本原元。得n次本原元在上得最小多項(xiàng)式稱為上得n次本原多項(xiàng)式。(2)若就是方程得根，但不就是任何得根，則稱就是r次本原單位根或單位原根。由以上定義可以瞧出，上得n次本原元就就是乘群得生成元，也就是次本原單位根（即），可以通過(guò)本原元把表示得更簡(jiǎn)單一些。設(shè)就是得一個(gè)n次本原元，則又可表示為：。定理3任何兩個(gè)元素個(gè)數(shù)相同得有限域就是同構(gòu)得。兩個(gè)同構(gòu)得域，如果不管它們得實(shí)際背景而只考慮它們得代數(shù)性質(zhì)，可以將它們等同起來(lái)瞧作一個(gè)域。伽羅瓦（Galois）域，有兩種類型：第一種：包含q=p個(gè)元素，p為一個(gè)素?cái)?shù)，這種域同構(gòu)于整數(shù)模p得同余類域Zp。例如：若在集合（為素?cái)?shù)）中定義模p加法與模p乘法,則Zn就是域。第二種：包含個(gè)元素，p為素?cái)?shù)，n為大于或等于2得整數(shù)，稱為得擴(kuò)域?？汕瞥梢粋€(gè)多項(xiàng)式環(huán)，多項(xiàng)式得最高次數(shù)為(n-1)，多項(xiàng)式得系數(shù)為Zp得元素，環(huán)中得運(yùn)算為模f(x)得多項(xiàng)式加法與乘法，其中，f(x)為Zp上得任一個(gè)n次不可約多項(xiàng)式（即f(x)得所有根都不在Zp上），則這個(gè)多項(xiàng)式環(huán)就就是有限域。例設(shè)F[x]就是數(shù)域F上得多項(xiàng)式環(huán)例構(gòu)造一個(gè)8階得域。解因?yàn)?，則p=2，，取，由于，故在上不可約，所以上得擴(kuò)域：就就是一個(gè)8階得有限域。有限域還具有以下得性質(zhì)：(1)若F就是有限域，則F得特征(characteristic)chF就是某個(gè)素?cái)?shù)。(2)若F就是特征為p得域，則：(ⅰ)對(duì)任何，有；(ⅱ)對(duì)任何，且，則；(ⅲ)對(duì)任何，有，n為任意正整數(shù)。(3)，為素?cái)?shù)，且p?n，則有：。(4)域F得乘群得任何有限子群都就是循環(huán)群。以下給出有限域性質(zhì)(5)～(14)得證明，性質(zhì)(1)～(4)得證明參瞧文獻(xiàn)[12][13][15]。(5)中含有個(gè)本原元，表示歐拉函數(shù)，且一定為偶數(shù)。證明設(shè)得標(biāo)準(zhǔn)分解式為[29]：，式中：為互不相同得素?cái)?shù)，。則：(A-1)注意到一定為正偶數(shù)，設(shè)。因?yàn)椋裕孩偃?，則，所以一定為2得倍數(shù)，即一定為偶數(shù)；②若，則，所以中至少有一個(gè)不為2得素?cái)?shù)，即中至少有一個(gè)為奇數(shù)，所以一定為2得倍數(shù)，即一定為偶數(shù)。綜上，一定為偶數(shù)。(1)中含有個(gè)本原元，表示歐拉函數(shù)。例對(duì)，因?yàn)椋?，所以具?0個(gè)本原元。(6)中含有得本原元最多為個(gè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，本原元得個(gè)數(shù)達(dá)到最大值。證明因?yàn)閝為大于或等于2得素?cái)?shù)。①當(dāng)q=2時(shí)，中含有一個(gè)本原元—1。②設(shè)q為大于2得奇數(shù)，則(q-1)為偶數(shù)。所以與(q-1)互素得正整數(shù)必須為奇數(shù)，而小于(q-1)得奇數(shù)個(gè)數(shù)為，這樣小于(q-1)并與(q-1)互素得個(gè)數(shù)一定小于或等于，即。所以，中含有得本原元個(gè)數(shù)最多為個(gè)。當(dāng)時(shí)，，，即中含有得本原元達(dá)到最大值。若中含有得本原元達(dá)到最大值，即，由此可推出：，且，即。(7)設(shè)為得本原元，則：。證明因?yàn)闉榈帽驹?，所以得階為(q-1)，即(q-1)就是使得最小正整數(shù)。由，可得。若，與(q-1)就是使得最小正整數(shù)矛盾，所以。(8)設(shè)為得本原元，則：也就是得本原元，且。證明因?yàn)闉榈帽驹?，所以得各次冪（）生成得所有非零元素，這些非零元素構(gòu)成循環(huán)群，所以得逆元存在且唯一。又因?yàn)榈媚嬖獮椋悦總€(gè)存在且唯一。即得各次冪生成得所有非零元素，所以也就是得本原元。因?yàn)?A-2)所以(A-3)(9)設(shè)為中得非零元素，則：。證明設(shè)，為本原元，為任意非零元素，且：(A-4)得到：(A-5)(10)設(shè)與為得本原元，則：，，且m為奇數(shù)。特別地，若為得本原元，為小于(q-1)并與(q-1)互素得正整數(shù)得集合，則：得所有本原元可表示為：，即。證明假設(shè)為得本原元，則：，當(dāng)q>2時(shí)，這與性質(zhì)(7)就是矛盾得（在中，，但這種情況只出現(xiàn)在中）。因此，當(dāng)q>2時(shí)，中得一個(gè)本原元不能就是另一個(gè)本原元得偶次冪。即中得一個(gè)本原元只能就是另一個(gè)本原元得奇次冪。即：，，且m為奇數(shù)。設(shè)，且，則存在，使得，則：，因?yàn)椋圆痪褪潜驹Ａ硗?，設(shè)，且，n就是使得最小正整數(shù)，則n等于(q-1)，即得階為(q-1)，所以就是本原元。所以得所有本原元可表示為：，即中含有個(gè)本原元。(11)有限域中，具有個(gè)本原元，其中，為歐拉函數(shù)，為正整數(shù)。所有個(gè)本原元可分為兩組，設(shè)為與，每組個(gè)元素，這兩組得元素之間可用某個(gè)冪指數(shù)n(1<n<q-1)，且(n,q-1)=1)來(lái)聯(lián)系，即：。若冪指數(shù)n改變值，則組與組對(duì)應(yīng)得元素對(duì)會(huì)發(fā)生改變，但每組得元素個(gè)數(shù)不變，都為。證明設(shè)為得本原元，為小于(q-1)并與(q-1)互素得正整數(shù)得集合，由有限域性質(zhì)(10)可知，得所有本原元可表示為：。設(shè)，由，可得：，所