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山東省濟(jì)南市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三下期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.32.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.在四邊形中,,,,,,點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,且,點(diǎn)在邊所在直線上,則的最大值為()A. B. C. D.4.已知,,,,則()A. B. C. D.5.設(shè),滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.8.已知復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()A. B. C. D.9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.若非零實(shí)數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.11.若集合,則=()A. B. C. D.12.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則()A.9 B.12 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則的最小值為_(kāi)_______.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)_______.15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,,(且),則__________.16.(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn),現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì),該公司每年為這一萬(wàn)名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬(wàn)元.年齡(單位:歲)保費(fèi)(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時(shí)的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元,如果參保,保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲,若購(gòu)買(mǎi)該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元;若沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)該項(xiàng)保險(xiǎn),針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算?18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿足(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過(guò),作直線交軌跡于,兩點(diǎn),若的面積是面積的2倍,求直線的方程.19.(12分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用(1)在一次全民健身活動(dòng)中,四個(gè)籃球館的使用場(chǎng)數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次抽取共25場(chǎng),在中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費(fèi)用為元,根據(jù)統(tǒng)計(jì),得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式:,20.(12分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng),規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開(kāi)展,參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來(lái)越多,該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù),得到統(tǒng)計(jì)表格如下:123456758810141517(1)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(2)該商店規(guī)定:若抽中“一等獎(jiǎng)”,可領(lǐng)取600元購(gòu)物券;抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購(gòu)物券;抽中“謝謝惠顧”,則沒(méi)有購(gòu)物券.已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為,獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動(dòng),且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立,求此二人所獲購(gòu)物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式:,,,.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.22.(10分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的最小值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【題目詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,∴,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】
討論,,三種情況,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,畫(huà)出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,故,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,,函數(shù)單調(diào)遞減;如圖所示畫(huà)出函數(shù)圖像,則,故.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.3、A【解題分析】
依題意,如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,表示出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)求出的坐標(biāo),求出邊所在直線的方程,設(shè),利用坐標(biāo)表示,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【題目詳解】解:依題意,如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,由,,,,,,,因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上,設(shè),解得,所在直線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線上,故設(shè)當(dāng)時(shí)故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積,關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系,屬于中檔題.4、D【解題分析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【題目詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.5、C【解題分析】
首先繪制出可行域,再繪制出目標(biāo)函數(shù),根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【題目詳解】由題知,滿足,可行域如下圖所示,可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,故目標(biāo)函數(shù)的最小值為,故的取值范圍是.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】
與中間值1比較,可用換底公式化為同底數(shù)對(duì)數(shù),再比較大?。绢}目詳解】,,又,∴,即,∴.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查冪和對(duì)數(shù)的大小比較,解題時(shí)能化為同底的化為同底數(shù)冪比較,或化為同底數(shù)對(duì)數(shù)比較,若是不同類型的數(shù),可借助中間值如0,1等比較.7、B【解題分析】
由可得,所以,故選B.8、B【解題分析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為利用模長(zhǎng)公式即得解.【題目詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,模長(zhǎng)公式和幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】
不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【題目詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、C【解題分析】
令,則,,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.【題目詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.11、C【解題分析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【題目詳解】由題意,,,則,故答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【題目詳解】設(shè)公差為d,則解得,所以.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,考查學(xué)生運(yùn)算求解能力,是一道基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號(hào)取得的條件。【題目詳解】由題意,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),取得最小值.【題目點(diǎn)撥】利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件:①各項(xiàng)都是正數(shù);②和(或積)為定值;③等號(hào)取得的條件。14、【解題分析】
先求得時(shí);再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,解得;由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.15、【解題分析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,進(jìn)而求得,再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值.【題目詳解】由于,,所以,則,∴,,.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、40【解題分析】
先求出的展開(kāi)式的通項(xiàng),再求出即得解.【題目詳解】設(shè)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開(kāi)式中含x3y3的項(xiàng)為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為:40【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)30;(2),比較劃算.【解題分析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望,,比較大小即可.【題目詳解】解:(1)由,解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購(gòu)買(mǎi)了此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為∴(元).②若該老人沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,為容易題.18、(1).(2)的方程為.【解題分析】
(1)令,則,由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達(dá)定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程。【題目詳解】解:(1)因?yàn)?,即直線的斜率分別為且,設(shè)點(diǎn),則,整理得.(2)令,易知直線不與軸重合,令直線,與聯(lián)立得,所以有,由,故,即,從而,解得,即。所以直線的方程為?!绢}目點(diǎn)撥】本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題。19、(1)見(jiàn)解析,12.5(2)①②20【解題分析】
(1)運(yùn)用分層抽樣,結(jié)合總場(chǎng)次為100,可求得的值,再運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式可求解果;(2)①由公式可計(jì)算的值,進(jìn)而可求與的回歸直線方程;②求出,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合單調(diào)性,可估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值.【題目詳解】解:(1)抽樣比為,所以分別是,6,7,8,5所以兩數(shù)之和所有可能取值是:10,12,13,15,,,所以分布列為期望為(2)因?yàn)樗?,,;②,設(shè),所以當(dāng)遞增,當(dāng)遞減所以約惠值最大值時(shí)的值為20【題目點(diǎn)撥】本題考查直方圖的實(shí)際應(yīng)用,涉及求概率,平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題,關(guān)鍵是要讀懂題意,屬于中檔題.20、(1);(2)見(jiàn)解析【解題分析】試題分析:(I)由題意可得,,則,,關(guān)于的線性回歸方程為.(II)由題意可知二人所獲購(gòu)物券總金額的可能取值有、、、、元,它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為:,,,.據(jù)此可得分布列,計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為元.試題解析:(I)依題意:,,,,,,則關(guān)于的線性回歸方程為.(II)二人所獲購(gòu)物券總金額的可能取值有、、、、元,它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為:,,,,.所以,總金額的分布列如下表:03006009001200總金額的數(shù)學(xué)期望為元.21、(1)證明見(jiàn)解
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