河南省南陽(yáng)、信陽(yáng)等六市2024屆第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)試題階段性學(xué)情調(diào)研

河南省南陽(yáng)、信陽(yáng)等六市2024屆第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)試題階段性學(xué)情調(diào)研請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．12．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B．隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D．我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值3．已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．4．若,,,則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．5．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加6．已知向量，則（）A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若、M是線段AB的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．49．若，則的虛部是A．3 B． C． D．10．已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．11．已知等比數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．12．若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程可以為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_____.14．如圖,在梯形中，∥，分別是的中點(diǎn)，若，則的值為___________.15．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則的最小值為__________．16．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.19．（12分）函數(shù)，且恒成立.（1）求實(shí)數(shù)的集合；（2）當(dāng)時(shí)，判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.（參考數(shù)據(jù)：）20．（12分）如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.（1）求證:平面平面;（2）在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對(duì)數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．22．（10分）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先將，化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為，再得到下結(jié)論.【題目詳解】已知復(fù)數(shù)，所以，所以的虛部為-1.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在月日及以前，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

作出約束條件的可行域，在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值，作，平移直線即可求解.【題目詳解】作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分）令，則，作出，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最小，故，即的最小值為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩，C選項(xiàng)正確.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，得出結(jié)論.【題目詳解】∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例，故、不平行，故排除A；顯然，?3+2≠0，故、不垂直，故排除B；∴（﹣2，﹣1），顯然，和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例，故和不平行，故排除C；∴?（）＝﹣2+2＝0，故⊥（），故D正確，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)題意，求得的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，即可求得結(jié)果.【題目詳解】由已知可知，點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，易知點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓離心率的求解，難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，屬中檔題.8、C【解題分析】

根據(jù)對(duì)稱性即可求出答案．【題目詳解】解：∵點(diǎn)（5，f（5））與點(diǎn)（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．9、B【解題分析】

因?yàn)椋缘奶摬渴?故選B．10、B【解題分析】

根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算，代入即可求得.【題目詳解】在上投影為，即又本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解，通常先求解模長(zhǎng)的平方，再開平方求得結(jié)果；解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析，得到的最小值.11、B【解題分析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，選B.12、B【解題分析】

由點(diǎn)求得的值，化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，求得的對(duì)稱軸，由此確定正確選項(xiàng).【題目詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、70【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為：70.【題目點(diǎn)撥】本題考查的是二項(xiàng)式定理，屬基礎(chǔ)題。14、【解題分析】

建系，設(shè)設(shè)，由可得，進(jìn)一步得到的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【題目詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.15、16.【解題分析】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立，消去得設(shè)點(diǎn)由跟與系數(shù)的關(guān)系得，同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離∴，同理∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為16點(diǎn)睛：（1）與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．利用定義可將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可以使運(yùn)算化繁為簡(jiǎn)．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑；（2）圓錐曲線中的最值問(wèn)題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．16、【解題分析】因?yàn)閟inα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是．答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題意知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點(diǎn)1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題.“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ），，兩式相減化簡(jiǎn)整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（Ⅱ）由題設(shè)可得，可得，利用錯(cuò)位相減法即可得出．【題目詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，兩式相減可得，，故，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，∴，又，所以，故，所以；（Ⅱ）由題設(shè)可得，所以，所以，①則，②①－②得：，所以，得證.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）2個(gè)，證明見解析【解題分析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；（2）將圖像與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【題目詳解】（1）的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋?°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，時(shí)，使得，與條件矛盾；2°當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，若；若；而時(shí)，，要使恒成立，故.（2）原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)，圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，理由如下：由，即，令，因?yàn)?，所以是的一根；?°當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，即在上無(wú)實(shí)根；2°當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞遞增，又，所以在上有唯一實(shí)根，且滿足，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上無(wú)實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，故在上有唯一實(shí)根.3°當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，故，所以在上無(wú)實(shí)根.綜合1°，2°，3°，故有兩個(gè)實(shí)根，即圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】此題考查不等式恒成立問(wèn)題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，屬于較難題.20、（1）見解析；（2）存在，長(zhǎng)【解題分析】

（1）先證面,又因?yàn)槊?所以平面平面.（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系.列出各點(diǎn)的坐標(biāo)表示,設(shè),則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長(zhǎng).【題目詳解】解:（1）證明:因?yàn)樗倪呅螢榫匦?∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面（2）取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,,,設(shè),;∴,,設(shè)平面的法向量為