2023年初中數(shù)學(xué)教材中的化歸思想剖析

慎而思之，勤而行之。斯是陋室，惟吾德馨。第第2頁/共2頁精品文檔推薦2023年初中數(shù)學(xué)教材中的化歸思想剖析收拾小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的化歸思想剖析

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)知識(shí)題的解決是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，而幾乎所有問題的解決都離不開化歸，只是所體現(xiàn)的形式有所不同。計(jì)算題是利用規(guī)定的運(yùn)算法則舉行化歸，證實(shí)題是利用公理、定理或已經(jīng)證實(shí)白的命題舉行化歸，應(yīng)用題利用數(shù)學(xué)模型化歸，……因此，可以說，離開了化歸，數(shù)知識(shí)題將無法解決，化歸是解決數(shù)知識(shí)題的最基本的手段之一。而通過絕對的轉(zhuǎn)化過程，把待解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或比較容易解決的問題或這類問題的某種組合，這種思想被稱之為“化歸思想”。

在囫圇小學(xué)數(shù)學(xué)教材中無處不滲透著化歸思想，我們時(shí)常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數(shù)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，把幾何問題化為代數(shù)問題，化無理為有理等，可以說在小學(xué)的數(shù)學(xué)教材中，每一冊都有較多問題的解決需要用化歸的思想主意來完成，而在歷年的中考題中無數(shù)壓軸題的解決也需要用化歸的思想主意來完成，所以這種數(shù)學(xué)思想是小學(xué)數(shù)學(xué)中解決問題的一種異常重要的數(shù)學(xué)思想。

化歸思想的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)新問題舉行變形，使其轉(zhuǎn)化為另一個(gè)已經(jīng)解決的問題，從而使本來的問題得到解決。其普通模式是把所要解決的問題A經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問題A*，再通過問題A*的求解，把解得的結(jié)果還原于原有問題A，從而使原有問題得解。

化歸思想包含三個(gè)要素：化歸的對象、化歸的方向和化歸的方式主意。要準(zhǔn)確運(yùn)用化歸思想，就要分清化歸的對象，明確要化歸的方向，考慮實(shí)施化歸的主意。本文主要從化歸的方向?qū)πW(xué)教材中的化歸思想舉行舉例分析。

從化歸的方向上來看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：

一、新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有無數(shù)新知識(shí)的獲得或新問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)或已解決的問題來完成的，也就是將新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例來分析這種化歸的方向。

1、消元降次化歸，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化

(1)降次化歸解一元方程

解一元二次方程時(shí)有以下四種基本解法：

a、倘若方程的一邊是關(guān)于X的徹低平方式，另一邊是個(gè)非負(fù)的常數(shù)，則根據(jù)平方根的意義將形如方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程進(jìn)而得解，此為開平方。

b、倘若將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數(shù)的徹低平方式，另一邊為非負(fù)的常數(shù)，則其后的求解可由思路一完成，此為配主意。

c、倘若方程一邊為零，一邊能分解成兩個(gè)一次因式之積，就可以得到兩個(gè)因式分離為零的一次方程，它們的解都是原方程的'解，此為因式分解法。

d、倘若以上三條思路受阻，便可把方程收拾為普通形式，直接利用公式求解。

縱觀以上四種主意，不難發(fā)現(xiàn)，主意一即所謂開平主意，它是根據(jù)平方根的意義將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，完成了由“二次”向“一次”的轉(zhuǎn)化。主意二中的“配方”僅完成了方程的恒等變形，把問題轉(zhuǎn)移到“可開方”上來，并未完成“降次轉(zhuǎn)化”這一實(shí)質(zhì)性工作，但已經(jīng)為“二次”向“一次”轉(zhuǎn)化發(fā)明了條件，因而習(xí)慣上稱之為“配主意”，配主意的實(shí)質(zhì)就是通過轉(zhuǎn)化為開平方來解決的。主意三即因式分解法，其理論根據(jù)是“若干個(gè)因式之積為零時(shí)，則其中至少有一個(gè)因式為零”，據(jù)此，也順利地實(shí)現(xiàn)了由“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的目的。主意四即所謂公式法，對普通的一元二次方程,通過配方,轉(zhuǎn)化為開平方求得普通結(jié)論,即求根公式。公式法以強(qiáng)調(diào)結(jié)論，應(yīng)用結(jié)果為前提，而省略了公式的探索過程，實(shí)際上已將解方程轉(zhuǎn)化成為代數(shù)式的求值問題，而公式的得到則是化歸思想的典型體現(xiàn)。

從以上分析不難看到：將“一元二次”這個(gè)新知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“一元一次”這個(gè)已知知識(shí)點(diǎn)之際，也就是順利求解一元二次方程之時(shí)。因此，應(yīng)用化歸思想降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程，是解一元二次方程各主意之“宗”。

而對于高次方程，小學(xué)教材中的都是容易的一元高次方程，這類方程根據(jù)詳細(xì)方程的異常性可以通過一些常規(guī)的數(shù)學(xué)主意把它們轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程，即完成從新知識(shí)點(diǎn)到已知知識(shí)點(diǎn)的降次化歸過程，從而使此類方程問題得到解決。

(2)消元降次化歸解方程組

解二元一次方程組，其基本主意是通過加減消元或是代入消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即完成從新知識(shí)點(diǎn)到已知知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，從而得到求解。三元一次方程組，也通過消元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而使問題得解。而對于二元二次方程組，倘若要解的二元二次方程組是由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程構(gòu)成的，那么直接先消元轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二方程就可以求解了。倘若要解的二元二次方程組是由兩個(gè)二元二次方程組成的，則既要消元，又要降次，需轉(zhuǎn)化為兩個(gè)分離含有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組或四個(gè)二元一次方程組，即完成由新知識(shí)向已知知識(shí)的轉(zhuǎn)化，從而使二元二次方程組得到求解。

2、分式方程整式化、無理方程有理化,實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化

小學(xué)新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安頓在七年級上，后者安頓在八年級下。從此可以看出把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一已知的知識(shí)模塊是解分式方程的基本思路。小學(xué)教材中的無理方程基本上都可以通過對方程兩邊舉行平方或是換元把它轉(zhuǎn)化為整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，從而使無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程這一已知的模塊，從而得到求解。這里需要注意的是在分式方程整式化、無理方程有理化的變形過程中,有可能不是恒等變形，可能產(chǎn)生增根，所以分式方程和無理方程都必須要驗(yàn)根。

縱觀囫圇小學(xué)教材，不難發(fā)現(xiàn)除了解方程問題，還有無數(shù)知識(shí)的轉(zhuǎn)化都屬于新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化，如:異分母分?jǐn)?shù)的加減法，通過通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法;多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決、梯形的中位線問題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線來解決等，可以說小學(xué)教材中運(yùn)用化歸思想來解決的問題其化歸的方向大部分都屬于這種類型。

二、普通情況向異常情況的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)知識(shí)題中除了上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決異常條件或異常情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w主意把普通情況下的問題轉(zhuǎn)化為異常情況下的問題來解決，這也是解決新問題獲得新知識(shí)的一種重要的化歸方向。

普通解題時(shí)先解決異常條件或異常情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w主意把普通情況下的問題轉(zhuǎn)化為異常情況下的問題來解決，這也是順利解決某些問題的一種